WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 23 |

Содержательно, при использовании системы стимулирования (1б) центр говорит i-му активному элементу – выбирай действие * yi, а я компенсирую тебе затраты, считая, что остальные АЭ * также выбрали соответствующие компоненты - y-i, если же ты выберешь любое другое действие, то вознаграждение будет равно нулю. Используя такую стратегию, центр, фактически, декомпозирует игру элементов (см. модели S10 и S1M).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Идея декомпозиции игры активных элементов за счет использования соответствующих компенсаторных функций стимулирования типа (1а) и (1б) оказывается ключевой для всего набора рассматриваемых в настоящей работе моделей стимулирования в многоэлементных активных системах.

Здесь же уместно качественно пояснить необходимость введения неотрицательных констант { } в выражении (1) (см. также i раздел 4.1). Если требуется реализовать некоторое действие как одно из равновесий Нэша, то (как видно из формулировки и доказательства теоремы) эти константы могут быть выбраны равными нулю (см. также системы стимулирования (1) и (3) в разделе 4.1).

Если же мы хотим, чтобы равновесие было единственным (в частности, чтобы АЭ не выбирали нулевые действия), то элементам следует доплатить сколь угодно малую, но строго положительную величину за выбор именно того действия, которое предлагается центром. Более того, величины { } в выражении (1) (и других i подобных конструкциях, встречающихся ниже при исследовании модели S4 и др.) играют важную роль и с точки зрения устойчивости компенсаторной системы стимулирования (1) по параметрам модели. Например, если функция затрат i-го АЭ известна с точностью до / 2, то система стимулирования (1) все равно реалиi i зует действие y* (см. доказательства и подробное обсуждение в [37]).

Пример 3. Рассмотрим АС, состоящую из двух АЭ с функция( yi + y-i )ми затрат ci(y) =, i = 1, 2. Легко проверить, что данные 2ri функции затрат удовлетворяют условиям (2) и (3).

Единственность равновесия Нэша можно доказать непосредственно следующим образом. Пусть центр использует систему стимулирования (1) и имеются два различных равновесия Нэша: y* и y'. Записывая определения равновесий Нэша, получаем, что должна иметь место следующая система неравенств:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory ' * y1 y' * * ' ( y1)2 + ( y2 )2 2 y1 y2 (1- y1 - y2 ) * ', * ' ' * ' * ( y1)2 + ( y2 )2 2 y1 y2 (1- y1 - y2 ) ' * y1 y которая несовместна, то есть, если выполнено первое неравенство, то не выполнено второе, и наоборот. • Вектор оптимальных реализуемых действий АЭ y*, фигурирующий в качестве параметра в выражении (1), определяется в результате решения следующей задачи оптимального согласованного планирования: y* = arg max {H(t) – c(t)}, а гарантированная tA эффективность системы стимулирования (1) равна следующей n величине: K1 = H(y*) - ( y*) + ).

(c i i i=Теорема 4.2.2. Класс (с параметром y*) систем стимулирования n (1) является -оптимальным в модели S2, где =.

i i=Доказательство. Теоремы 4.2.1а и 4.2.1б утверждают, что при использовании систем стимулирования (1а) и (1б), соответственно, действие y* является равновесием (Нэша или РДС). При = 0, i i I, эта система стимулирования характеризуется минимально возможными затратами на стимулирование1, следовательно, по теореме о том, что оптимальным является класс систем стимулирования, реализующих действия с минимальными затратами на стимулирование [42, 44], класс систем стимулирования (1) имеет максимальную эффективность в задачах стимулирования как первого, так и второго рода.

При использовании системы стимулирования (1) затраты центра на стимулирование по реализации действия y* равны следуюНапомним, что в силу предположений А.3 и А.4 центр должен обеспечить АЭ неотрицательную полезность (условие индивидуальной рациональности гласит, что АЭ всегда имеет возможность выбрать нулевое действие, которое даже при нулевом вознаграждении обеспечивает ему нулевую полезность).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory n щей величине: ( y*) + ).

(c i i i=Предположим, что существует другая система стимулирования, которая реализует то же действие y*, но с меньшими затратами на стимулирование. Из условия индивидуальной рациональности АЭ следует, что затраты на стимулирование по реализации вектора n действий y* не могут быть меньше, чем ( y*). Так как функция c i i=стимулирования входит в целевую функцию центра аддитивно, то потери эффективности при использовании центром системы стиn мулирования (1) не превышают =. • i i=Отметим, что при доказательстве теоремы 4.2.2 не использовалась сепарабельность затрат АЭ, то есть результат этой теоремы справедлив, не только для модели S2, но и для ряда других моделей АС с несепарабельными затратами (см. ниже).

Так как теорема 4.2.2 гласит, что оптимален класс систем стимулирования (1), то есть оптимальная функция стимулирования принадлежит этому классу, а сам класс задан параметрически (с параметром – y*), то остается найти оптимальное значение параметра. Другими словами, необходимо определить какое действие следует центру реализовывать системой стимулирования (1).

Если на систему стимулирования, используемую центром, не наложено никаких ограничений, то решение задачи стимулирования второго рода заключается в вычислении на основании (1) n минимальных затрат на стимулирование: (y*) = ci(y*) и поис i=ке вектора действий x* A’, максимизирующего целевую функцию центра: x* = arg max [H(y) - (y)].

yA' Если на функции стимулирования наложено следующее ограничение M, то на первом шаге решения задачи стимулирования необходимо найти множество действий АЭ, реализуемых системами стимулирования вида (1), при заданных ограничениях. Делается это следующим образом: ищется множество действий АЭ AM, PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory затраты от выбора которых после подстановки в (1) не нарушают ограничений на стимулирование: AM = {y* A’ | i I (y*, yi) Mi, i y* P( )}. Второй шаг решения задачи остается без изменений (необходимо только учесть, что максимизация ведется по множеству AM):

x* = arg max [H(y) - (y)].

M yAM Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование предложенного подхода.

Пример 4. Рассмотрим задачу стимулирования первого рода в ( yi + y-i )АС с двумя АЭ, имеющими функции затрат: ci(y) =, 2ri i=1, 2, где - некоторый параметр. Пусть функция дохода центра H(y) = y1 + y2, а фонд заработной платы ограничен величиной R (глобальное ограничение). Если центр использует систему стимулирования (1), то задача стимулирования первого рода сводится к поиску оптимальных реализуемых действий:

H ( y) max y(5).

( y) + c2( y) R cПредполагая существование внутреннего решения и применяя метод множителей Лагранжа, получаем, что решение задачи (5) имеет вид:

2R r2 - r1 * 2R r1 - r* (6) y1 =, y2 =.

r1 + r2 2 - r1 + r2 2 - Отметим, что при =0 выражение (6) переходит в оптимальное решение, полученное в примере 1 для модели S1M. • В заключение настоящего подраздела отметим, что чрезвычайно интересным и перспективным направлением будущих исследований представляется изучение модели S2 в предположении возможности образования коалиций активными элементами. Допущение кооперативного поведения, несомненно, породит новые свойства модели (и, естественно, новые трудности ее анализа), однако, как отмечалось выше, их рассмотрение выходит за рамки настоящей работы.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory 4.3. МОДЕЛЬ S3: СТИМУЛИРОВАНИЕ АЭ ЗАВИСИТ ОТ ДЕЙСТВИЙ ВСЕХ АЭ, ЗАТРАТЫ СЕПАРАБЕЛЬНЫ Предположим, что индивидуальные затраты i-го АЭ зависят только от его собственных действий: ci = ci(yi) (случай сепарабельных затрат). Тогда при заданной системе коллективного (то есть – зависящего от действий всех АЭ) стимулирования = { (y)} i множество решений игры P( ) АЭ является множеством EN( ) равновесий Нэша, определяемым следующим образом:

(1) EN( ) = {y* A' | i I, yi Ai (y*) - ci(yi*) (y-i*, yi,) - ci(yi)}.

i i Суммарные затраты центра на стимулирование равны:

n (2) (y, ) = ( y).

i i=Обозначим (y), y A’ - значение целевой функции в слеmin дующей задаче:

( y, ) min M (3).

E N y ( ) Если для некоторого y' A' решения задачи (3) не существует, то положим (y') = +. Содержательно, (y) - минимальные min min затраты на стимулирование по реализации действия y A'. Вычислив минимальные затраты на стимулирование, можно определить действие, реализация которого наиболее выгодна для центра, то есть максимальная эффективность коллективного стимулирования в данной модели в рамках гипотезы благожелательности равна:

(4) K = max {H(y) - (y)}.

min yA Решение задачи (2)-(4) чрезвычайно трудоемко с вычислительной точки зрения, и даже для простых примеров редко удается получить ее аналитическое решение. Поэтому рассмотрим возможности «упрощения» этого класса задач стимулирования, то есть сведения их к более простым с точки зрения, как процесса решения, так и исследования зависимости оптимального решения от параметров модели, задачам.

Перейдем к рассмотрению индивидуального стимулирования.

Обозначим ~ (y) = ( ~1 (y1), ~2 (y2),..., ~n (yn)) - систему индивидуPDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory ального стимулирования. При использовании индивидуального n стимулирования множество решений игры есть P( ~ )= Pi ( ~i ), i=где (5) Pi( ~i ) = Arg max { ~i (yi) - ci(yi)}.

yi Ai Суммарные затраты на индивидуальное стимулирование равны:

n ~ (6) ( ~,y) = ( ).

yi ~ i i=~ Обозначим (y), y A’ - значение целевой функции в слеmin дующей задаче:

~ ( ~, y) min ~M (7).

y P( ~) Если для некоторого y' A' решения задачи (7) не существует, ~ то положим (y') = +. Максимальная эффективность индивиmin дуального стимулирования в модели S3 в рамках гипотезы благожелательности равна:

~ ~ (8) K = max {H(y) - (y)}.

min yA Следующая теорема дает ответ на вопрос о сравнительной эффективности использования индивидуального и коллективного стимулирования в рассматриваемой модели.

Теорема 4.3.1. В модели S3 для любой системы коллективного стимулирования найдется система индивидуального стимулирования не меньшей эффективности.

Доказательство теоремы. Так как множество всех допустимых систем коллективного стимулирования включает в себя множество всех допустимых систем индивидуального стимулирования (последние могут рассматриваться как частный случай, так как имеет ~ место P( ~) EN ( ) ), то, очевидно, что K K. Поэтому ~M M ~ ~ докажем, что K = K, то есть, что не может иметь места K > K.

Выражения (4) и (8) отличаются лишь минимальными затраPDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory тами на стимулирование. Обозначим y* = arg max {H(y) - (y)}1, min yA * (y) - оптимальную систему коллективного стимулирования (для * которой выполнено y* EN( ) и для которой величина (, y*) * минимальна). Фиксируем произвольный номер i I. Из y* EN( ) следует, что * * (9) yi Ai (y*) - ci( yi ) ( y-i, yi) - ci(yi).

i i Выберем индивидуальную систему стимулирования ~i* (yi) следующим образом (частный случай y*-трансформации игры элементов в терминологии [22]):

* * (10) i I ~i* (yi) = ( y-i, yi).

i * Так как M, то ~* M. Подставляя (10) в (9), получим, что * * (11) i I yi Ai ~i* ( yi ) - ci( yi ) ~i* (yi) - ci(yi), то есть y* P( ~* ), причем из (2), (6) и (10) следует, что выполне~ * но: (y*, ) = (y*, ~* ), то есть по теореме 2.2, приведенной в работе [42], система стимулирования ~* обладает эффективностью, не меньшей, чем исходная система стимулирования. • Таким образом, теорема 4.3.1 утверждает, что в случае сепарабельных затрат для любой системы коллективного стимулирования можно построить систему индивидуального стимулирования, которая будет обладать той же эффективностью. Переход от одной системы стимулирования к другой осуществляется достаточно просто - индивидуальное вознаграждение каждого АЭ в случае индивидуального стимулирования равно его же индивидуальному вознаграждению в случае коллективного стимулирования при Отметим, что множество Arg max {H(y) - (y)} может содерmin yA жать более одной точки, однако для каждой из них можно построить систему индивидуального стимулирования, в том числе и для той, по которой определяется эффективность (или гарантированная эффективность) исходной системы коллективного стимулирования.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory условии, что все остальные элементы выбирают равновесные по Нэшу действия.

Итак, в соответствии с теоремой 4.3.1 для любой системы коллективного стимулирования (в том числе и для оптимальной системы коллективного стимулирования) существует система индивидуального стимулирования не меньшей эффективности.

Следовательно, при решении задачи синтеза оптимального механизма стимулирования в модели S3 можно ограничиться классом индивидуальных систем стимулирования (то есть классом моделей типа S1).

Следует отметить, что выше мы не акцентировали внимание на том, что множество решений игры может содержать более одной точки - при фиксированной системе стимулирования может существовать несколько равновесий Нэша. Поэтому в случае множественности равновесий отдельного внимания заслуживает вопрос о том, что понимать под гипотезой благожелательности выбор элементами равновесия, наиболее благоприятного с точки зрения центра (такому предположению в (3) и (7) соответствовала бы дополнительная минимизация по y P( )) из множества всех реализуемых действий, или из множества Парето эффективных реализуемых действий и т.д.

Также необходимо подчеркнуть, что приведенный выше результат об "эквивалентности" систем индивидуального и коллективного стимулирования (с точки зрения их потенциальной эффективности) справедлив лишь для случая сепарабельных затрат. Если индивидуальные затраты АЭ не сепарабельны (см. модель Sниже), то есть, если затраты каждого АЭ могут зависеть от действий всех элементов, то замены типа (10) оказывается недостаточно.

Построим оптимальную систему индивидуального стимулирования (которая в силу теоремы 4.3.1 будет оптимальна в модели S3). В теореме 4.3.1 для исходной системы стимулирования построена эквивалентная система индивидуального стимулирования.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.