WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 23 |

Подставляя (4) в целевую функцию центра, получаем условие оптимальности (3). • В предельном случае (при переходе к соответствующей детерминированной АС) теорема 7.2.1 переходит в теорему 4.2.1, а выражение (4) в ( y*).

c i iI 7.2.3. НЕЧЕТКАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Рассмотрим следующую модель многоэлементной АС с нечеткой внешней неопределенностью и симметричной информированностью участников. Пусть: вектор результатов деятельности АЭ z n принадлежит компакту A0 в ; затраты АЭ зависят от результатов деятельности и несепарабельны, а функция дохода центра зависит от действий АЭ.

Информированность участников АС следующая: на момент принятия решений и центр, и АЭ имеют нечеткую информацию о состоянии природы и «технологических» зависимостях {zi(, )}. В соответствии с принципом обобщения [35] этого достаточно, что~ бы определить нечеткую информационную функцию P (z, y), ~ P : A0 A’ [0; 1], ставящей в соответствие вектору действий АЭ нечеткое подмножество множества результатов деятельности.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Обозначим ~ (1) Q(z) = {y A’ | P (z, y) = 1}.

~ (2) Z(y) = {z A0 | P (z, y) = 1}.

Введем следующие предположения.

~ А.7.3. Нечеткие функции P (z, y) 1-нормальны [35, 41, 44], то ~ ~ есть y A’ z A0: P (z, y) = 1 и z A0 y A’: P (z, y) = 1.

Если выполнено предположение А.7.3, то y A’ z AQ(z), Z(y).

Более сильным, чем А.7.3 является следующее предположение:

А.7.4. А.7.3 и Q(z) = A’, Z( y) = A0.

zA0 yA' А.7.5. Целевые функции АЭ и нечеткая информационная ~ функция P (z, y) полунепрерывны сверху1.

z Обозначим EN ( ) - множество равновесных по Нэшу результатов деятельности АЭ:

z (3) EN ( ) = {zN A0 | i I, zi A0i N N (zN) – ci(zN) (zi, z-i ) – ci(zi, z-i )}.

i i Обозначим EN( ) – множество равновесных по Нэшу при использовании центром системы стимулирования векторов действий АЭ.

Лемма 7.2.1. Если выполнены предположения А.7.3–А.7.5, то (4) EN( ) = Q(z).

z zEN ( ) Доказательство. Фиксируем i I. Целевая функция i-го АЭ и ~ нечеткая информационная функция P (z, y) индуцируют на множестве A’ нечеткое отношение предпочтения (НОП) i-го АЭ. В теории принятия решений при нечеткой исходной информации рациональным считается выбор АЭ максимально недоминируемых по его НОП альтернатив (действий).

Очевидно, что, если затраты АЭ непрерывны, и центр использует компенсаторную систему стимулирования, то целевая функция АЭ полунепрерывна сверху.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Определение индуцированного НОП и максимально недоминируемых альтернатив для задач стимулирования приведено в работах [35, 41, 44]. Однако, непосредственное использование максимально недоминируемых альтернатив в задачах стимулирования затруднительно в силу громоздкости их определения. В одноэлементных АС с нечеткой внешней неопределенностью на основании подхода, предложенного С.А. Орловским, использовался следующий метод решения задач стимулирования: формулировалась задача четкого математического программирования (ЧМП) и доказывалось, что максимально недоминируемыми альтернативами являются решения этой задачи и только они. Поступим аналогичным образом и в рассматриваемой многоэлементной модели.

Для фиксированной обстановки игры можно, по аналогии с результатами, приведенными в [42, 44], доказать, что в рамках предположений А.7.4 и А.7.5 четко недоминируемыми альтернативами являются те и только те действия АЭ, функция принадлежности нечеткого результат деятельности от которых равна единице в точке максимума целевой функции АЭ. Следовательно, если некоторый результат деятельности zi i-го АЭ принадлежит при обстаz новке z-i множеству EN ( ) (см. выражение (3)), то множество четко недоминируемых действий этого АЭ есть Q(z). Вычисляя объединение по всем точкам Нэша, в силу предположения А.7.4, получаем выражение (4). • Теорема 7.2.3. Если выполнены предположения А.7.4–А.7.5, то система стимулирования * * ci (zi, z-i ) + i, zi = zi (5) (z*, zi) =, i I, i * zi zi 0, где (6) z* = arg max { min H(y) - (z) }, c i zA0 yQ( z) iI гарантированно -оптимальна.

Доказательство. В силу теоремы 4.4.1 система стимулирования (5) при > 0, i I, обеспечивает максимизацию целевой функции i * каждого АЭ при (единственном!) результате деятельности zi при любой обстановке игры (и минимальных затратах центра на стимуPDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory лирование). Из леммы 7.2.1 следует, что множество равновесий Нэша при этом есть Q(z*). Предположение А.7.5 гарантирует, что изменением z* A0 любой допустимый вектор действий АЭ может быть сделан точкой Нэша.

При определении гарантированной эффективности системы стимулирования (5) следует вычислить гарантированный доход центра: min H(y), то есть взять минимум функции дохода центра yQ( z) по множеству равновесий Нэша. Оптимальной окажется (результат решения задачи оптимального согласованного планирования) система стимулирования, максимизирующая целевую функцию центра – см. выражение (6). • Исследуем влияние неопределенности. Сравнивая выражение (6) с эффективностью max {H(y) - ( y) } стимулирования в c i yA' iI детерминированном случае (см. раздел 4.4), можно сделать вывод, что гарантированная эффективность стимулирования в АС с нечеткой внешней неопределенностью не выше, чем соответствующих детерминированных АС (например, за счет вычисления min H(y) yQ( z) – см. выражение (6)). Очевидно, что с ростом нечеткой неопределенности (в смысле, определенном в [44]) множество Q(z), по которому вычисляется минимум, не сужается, следовательно, не возрастает и гарантированная эффективность стимулирования.

В предельном случае (при переходе к соответствующей детерминированной АС) теорема 7.2.3 переходит в теорему 4.4.1. В том числе, например, когда в рамках предположений А.7.3–А.7.нечеткие информационные функции сепарабельны и однопиковые с точками максимума в действиях АЭ, множества равновесий Нэша и эффективности в четком и нечетком случаях, очевидно, совпадают.

В заключение настоящей главы отметим, что перспективными представляются следующие направления исследований многоэлементных АС с неопределенностью. Во-первых, это класс АС, в которых результат деятельности каждого АЭ зависит от действий всех АЭ. Во-вторых, исследование условий на информированность игроков (например, свойства плотности совместного распределеPDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory ния состояний природы), при которых можно без потери эффективности использовать индивидуальные системы стимулирования и т.д. В третьих, представляет интерес рассмотрение механизмов с платой за информацию в многоэлементных АС с неопределенностью и асимметричной информированностью.

В целом, из проведенного в настоящей главе анализа многоэлементных АС с неопределенностью можно сделать вывод, что в тех случаях, когда соответствующие одноэлементные модели исследованы достаточно полно, и для них получены аналитические решения, то идея декомпозиции игры АЭ в многоэлементной АС позволяет достаточно просто получить оптимальное решение задачи стимулирования. В случае, когда соответствующие одноэлементные модели исследованы недостаточно подробно (когда, например, для них не получены даже достаточные условия оптимальности простых систем стимулирования), существенно продвинуться в изучении их многоэлементных расширений не удается.

8. МОДЕЛИ СТИМУЛИРОВАНИЯ С ГЛОБАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МНОЖЕСТВА ДОПУСТИМЫХ ДЕЙСТВИЙ АЭ Рассмотрим АС, состоящую из n АЭ с целевыми функциями fi(y), i I, y = (y1, y2, …, yn). Предположим, что, помимо индивидуальных ограничений на множества допустимых стратегий: yi Ai, i I, существуют глобальные ограничения Aгл на выбор состояний n АЭ, то есть y A’ Aгл, где A’ = Ai.

i=Можно выделить несколько методов учета глобальных ограничений, то есть методов сведения теоретико-игровых моделей с глобальными ограничениями на множества допустимых стратегий игроков к моделям, для которых имеет место гипотеза независимого поведения.

«Метод штрафов». Данный метод заключается в том, что в случае, когда вектор действий АЭ оказывается вне множества Aгл (то есть y Aгл), целевые функции игроков считаются равными PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory минус бесконечности – игроки штрафуются за нарушение ограничений [15, 24, 66]. Далее можно рассматривать игру с «новыми» целевыми функциями, в которой отсутствуют глобальные ограничения. В зависимости от информированности игроков и того, кто из игроков нарушает глобальные ограничения, строятся гарантирующие стратегии [24].

«Метод расширения стратегий». В исходной игре все АЭ выбирают свои стратегии одновременно и независимо, не обмениваясь информацией с другими игроками1. Можно рассмотреть игру, в которой каждый из игроков делает предположения о выборе других игроков или реакции других игроков на выбор им той или иной стратегии. В подобных играх используют концепцию П-решения [15] (см. также Байесовское равновесие, равновесие Штакельберга и др. [56, 66]), которая включает в себя максиминные равновесия, равновесия Нэша и ряд других как частные случаи, и заключается в следующем.

Пусть все активные элементы, за исключением i-го, выбрали свои стратегии y-i A-i. Введем множества: Ai(y-i) = {yi Ai | y A’ Aгл}, i I, Ai(y-i) – множество стратегий i-го АЭ, при которых вектор действий удовлетворяет глобальным ограничениям2. Предположим, что i-ый АЭ делает предположение (yi) A-i о множеi стве возможных «реакций» остальных АЭ на выбор им стратегии yi Ai, i I. Тогда, например, рациональным можно считать поведение игроков, заключающееся в стремлении к максимизации выбором собственной стратегии из множества Ai(y-i) y-ii ( yi ) гарантированного по множеству (yi) значения своей целевой i функции, то есть yiп = arg max min fi(y), i I.

yi Ai ( y-i ) y-ii ( yi ) y-i i ( yi ) Возможны и другие определения рациональности поведения Возможность и целесообразность обмена информацией (информационное расширение игры) в играх с запрещенными ситуациями рассматривалась в работе [24].

В общем случае нельзя исключать из рассмотрения следующие ситуации: i I, y-i A-i: Ai(y-i)=.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory г игроков, например: введем множества Y-i (yi) = Arg min fi(y), y-ii ( yi ) ~ Ai = Ai(y-i), yiп = arg max min fi(y), i I, и т.д.

~ yiAi y-ii ( yi ) г y-iY-i ( yi ) Если предположения всех АЭ оправдываются, то есть i I п y-i ( yiп ), то ситуацию игры y A’ Aгл называют Пi равновесием.

Существует несколько частных случаев, в которых учет глобальных ограничений производится «автоматически». Если у каждого из игроков имеется доминантная стратегия (или в игре существует единственное равновесие Нэша) и игра характеризуется полной информированностью, то каждый из игроков может вычислить доминантные стратегии всех остальных игроков (соответственно – точку Нэша). Если при этом вектор доминантных стратегий (или точка Нэша) удовлетворяют глобальным ограничениям, то проблем их учета не возникает.

Отметим, что метод расширения стратегий, во-первых, требует от исследователя операций введения трудно обосновываемых предположений о принципах поведения игроков, а, во-вторых, не всегда П-решение оказывается П-равновесием, или, вообще, существует.

Если в методе штрафов и в методе расширения стратегий никак не оговаривалось наличие управления со стороны центра, то следующие два метода учета глобальных ограничений существенно используют управляющие возможности центра.

«Метод согласования». Основная идея метода согласования заключается в следующем (см. также двухшаговый метод решения вероятностных [58] и др. задач стимулирования и метод согласованного планирования [15]). На первом шаге решения задачи управления (стимулирования) центр для каждого вектора действий, принадлежащего множеству A’ (без учета глобальных ограничений) ищет допустимое управление, при котором данный вектор действий принадлежит множеству решений игры активных элементов. Результатом первого шага, например, в задаче стимулирования, является множество AM действий АЭ, реализуемых при данных ограничениях M на систему стимулирования, AM A’.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Затем на втором шаге центр ищет множество A* действий АЭ, которые, во-первых, реализуемы, во-вторых, удовлетворяют заданным глобальным ограничениям Aгл, и на которых достигается максимум его целевой функции. Итак, на втором шаге центр решает следующую задачу:

(1) A* = Arg max (y).

yAM Aгл Максимальная эффективность управления при этом равна (y*), где y* - произвольный элемент множества A*.

«Метод изменения порядка функционирования». Выше предполагалось, что АЭ выбирают, при известной стратегии центра, свои действия одновременно и независимо. Если центр как метаигрок может изменить порядок функционирования, то есть последовательность получения информации и выбора стратегий активными элементами, то, варьируя последовательность выбора стратегий АЭ, можно существенно упростить задачу учета глобальных ограничений. Если существует нумерация АЭ, такая что Ai = Ai(y1, y2, …, yi-1), то каждый АЭ должен при выборе своей стратегии учитывать ограничения, наложенные совместно глобальным ограничением и уже выбранными к настоящему моменту стратегиями АЭ с меньшими номерами.

Например, допустимой с рассматриваемой точки зрения является последовательность функционирования АС, имеющая вид сетевого графика (без контуров). Частным случаем является последовательный выбор стратегий активными элементами – так называемые производственные цепочки (см. также раздел 9) [15, 26].

Еще раз подчеркнем, что возможность использования метода изменения порядка функционирования должна быть предусмотрена «правилами игры», то есть, учтена в модели активной системы.

Закончив перечисление методов учета глобальных ограничений, перейдем к систематическому описанию различных вариантов взаимозависимости и взаимосвязи игроков в многоэлементных АС.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.