WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 23 |

В соответствии с результатами раздела 4.6 на первом шаге решения задачи стимулирования определим множество векторов действий АЭ, приводящих к заданному результату деятельности и требующих минимальных затрат на стимулирование по своей n реализации: Y*(z, ) = Arg min ci(y). Фиксируем произволь yY (z, ) i=ный вектор y*(z, ) Y*(z, ) Y(z, ). Тогда при использовании центром системы стимулирования ci ( y*(x( )), z = x( ) * (5) (x( ), z) =, i I, i z x( ) 0, PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory где x( ) A0 – параметр (план), результат деятельности x( ) Aреализуется с минимальными затратами центра на стимулирование (см. теорему 4.6.1).

Возможно использование более простых, чем (5) конструкций, учитывающих специфику рассматриваемой модели. Например, система стимулирования max ci ( y) +, z = z( y, ) yY (z, ) i * (6) (x( ), z) =, i I, i z z( y, ) 0, где x( ) A0 – параметр (план), реализует результат деятельности x( ) A0 как равновесие Нэша1 (естественно, система стимулирования (6) имеет не более высокую эффективность, чем оптимальная система стимулирования (5)). Очевидно, что эффективности совпадают в случае, когда по наблюдаемому результату деятельности и состоянию природы центр в состоянии восстановить действия АЭ, то есть, например, когда выполнено: i I y1, y2 A’, y1 y2, zi(y1, ) zi(y2, ) и i I y A’,,, 1, zi(y, ) zi(y, ).

1 2 1 Наиболее выгодный для центра результат деятельности АС x*( ) A0, который может рассматриваться как гибкий (зависящий от состояния природы – см. выше) план, определяется как решение задачи оптимального согласованного планирования:

x*( ) = arg max [H(z) - (z, )].

zAТаким образом, второй вариант может рассматриваться как частный случай модели S6. Аналогичным образом можно показать, что третий вариант совпадает с моделью, описанной в разделе 4.7.

Итак, для рассматриваемой модели в условиях полной информированности решение задачи стимулирование дается теоремами 4.2.1, 4.3.1, 4.4.1, 4.5.1, 4.6.1. Отметим, что системы стимулирования (5) и (6) реализуют соответствующие вектора действий АЭ как равновесия Нэша. Гораздо сложнее обстоит дело с реализацией По аналогии с результатами, полученными для модели S2, можно потребовать строгой положительности констант, тем самым обеспеi чить единственность равновесия Нэша, перейти к индивидуальному стимулированию и т.д. (см. разделы 4.2 и 4.4).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory определенных действий АЭ как равновесий в доминантных стратегиях. Для этого (опять же в соответствии с теоремами, приведенными в четвертом разделе) необходимо, чтобы центр мог компенсировать каждому АЭ затраты независимо от обстановки игры при условии, что данный АЭ выбрал требуемое действие. Для этого, как минимум, необходимо, чтобы центр был в состоянии наблюдать или однозначно восстанавливать действие каждого АЭ. В рассматриваемой (детерминированной!) модели это возможно далеко не всегда (в общем случае – невозможно). Тем более затруднительна идентификация индивидуальных действий в условиях, когда присутствует неопределенность относительно состояния природы1. Поясним последнее утверждение.

Единственным достаточно подробно исследованным классом задач стимулирования в многоэлементных АС с неопределенностью являются задачи теории контрактов [63, 65], то есть задачи с внешней вероятностной неопределенностью и симметричной информированностью (см. классификацию в [44] и обзоры [9, 34]).

Для этого класса задач в рамках обобщения двушагового метода [58-60] для конечных допустимых множеств задача стимулирования сводится к набору задач выпуклого программирования, обладающих чрезвычайно высокой вычислительной сложностью.

Таким образом, общих подходов к аналитическому2 решению многоэлементной задачи стимулирования в условиях неопределенности, описанной выше, на сегодняшний день, к сожалению, не существует. Следовательно, необходимо упрощать модель, стре Решение широкого класса задач теории контрактов, использующее идею определения множеств действий АЭ, которые в условиях вероятностной неопределенности могут приводить к наблюдаемым результатам деятельности, приведено в находящейся в печати статье А.Д. Халезова "Общее решение дискретной задачи центр-агент с симметричной информацией в условиях риска".

Для теории активных систем характерно стремление к поиску именно аналитических решений, позволяющих исследовать зависимость оптимального решения от параметров модели АС (общие результаты о структуре оптимального решения, конечно, также представляют теоретический интерес, однако их использование на практике затруднительно хотя бы в силу высокой вычислительной сложности соответствующих алгоритмов) [21, 44].

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory мясь получать конструктивные и содержательно интерпретируемые теоретические результаты, которые могли бы в дальнейшем найти применение на практике.

Поэтому упростим модель, введя предположение о том, что результат деятельности каждого АЭ зависит только от его собственного действия и соответствующей компоненты состояния природы, то есть будем считать1, что zi = zi(yi, ), i I.

i В этом случае возможно комбинированное применение идеи декомпозиции игры АЭ и результатов исследования моделей стимулирования в одноэлементных АС, функционирующих в условиях неопределенности. Проиллюстрирует это утверждение, рассмотрев ряд моделей многоэлементных АС с интервальной, вероятностной и нечеткой внешней неопределенностью при симметричной информированности участников.

7.2.1. ИНТЕРВАЛЬНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Предположим, что всем участникам АС на момент принятия решений известны множества { } возможных значений неопредеi ленного параметра, а также «технологические» зависимости {zi(, )}. Пусть: затраты АЭ несепарабельны и зависят от действий АЭ, а центр использует стимулирование каждого АЭ, зависящее от результатов деятельности всех АЭ. Тогда целевые функции центра и АЭ имеют, соответственно, вид:

(z, y) = H(y) - (z), i iI (2) f(z, y) = (z) – ci(y).

i Фиксируем некоторое значение параметра и запишем определение равновесия Нэша:

(3) EN(, ) = {yN A’ | i I, yi Ai Данное предположение частично декомпозирует игру АЭ – результат деятельности каждого из них зависит уже только от его собственных действий и состояния природы (но не зависит от действий других АЭ), в то время как другие переменные – стимулирование и затраты – попрежнему зависят, соответственно, от результатов деятельности и действий всех АЭ.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory N N N (zi( yiN, ), z-i( y-i, ))–ci(yN) (zi(yi, ), z-i( y-i, ))–ci(yi, y-i )}.

i i -i i i -i Предположим, что и центр, и АЭ при устранении неопределенности используют принцип МГР. Однако одного этого предположения оказывается недостаточно для корректного определения равновесия Нэша в рамках рассматриваемой модели. Действительно, в выражении (3) можно брать min fi(y, ) или решать систему i i неравенств (для i I) и т.д.

Другими словами, поиск решения игры в условиях неопределенности сталкивается с множеством как методологических, так и «технических», трудностей, происхождение которых качественно можно объяснить тем, что, фиксируя M и записывая определение множества решений игры при данной системе стимулирования, мы обрекаем себя на поиск системы стимулирования, оптимальной в соответствующем подмножестве M функционального пространства, что само по себе является нетривиальной задачей.

Вспомним, что помимо метода анализа множеств реализуемых действий для решения задачи стимулирования может использоваться не менее эффективный метод анализа минимальных затрат на стимулирование [44], который заключается в том, что для каждого вектора действий АЭ ищется минимальная система стимулирования, его реализующая, а затем на этапе согласованного планирования определяется оптимальный вектор реализуемых действий.

То есть при использовании метода анализа минимальных затрат на стимулирование оптимизация производится в более простом проn странстве ( ), чем пространство кусочно-непрерывных положительнозначных функций, которое приходится использовать при применении метода множеств реализуемых действий.

Введем следующее предположение.

А.7.2. zi(, ) – непрерывные однозначные строго монотонные функции своих переменных, i I.

Обозначим Zi(yi, ) = {zi A0i | zi = zi(yi, ), } – мноi i i i жество тех результатов деятельности i-го АЭ, которые могут реализоваться при выборе им действия yi Ai и всевозможных состояниях природы.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Теорема 7.2.1. Если выполнено предположение А.7.2, то система стимулирования * * * ci ( yi, y-i ), zi Zi ( yi,i ) (4) (y*, zi) =, i I, i * zi Zi ( yi, i ) 0, реализует (как равновесие Нэша) вектор действий y* A’, который оптимален при условии (5) y* Arg max {H(y) - ( y) }.

c i yA' iI Доказательство. Фиксируем произвольный вектор y* A’ действий АЭ и запишем условия его гарантированной реализуемости как равновесия Нэша системой стимулирования { }:

i * * (6), i I, yi Ai (y*, zi( yi, ), z-i( y-i, )) – ci(y*) i i -i * * (y*, zi(yi, ), z-i( y-i, )) – ci(yi, y-i )}.

i i -i Из условий индивидуальной рациональности АЭ (напомним, что условие индивидуальной рациональности АЭ гласит, что в равновесии значение его целевой функции должно быть неотрицательно) следует, что должно быть выполнено:

* * (7), i I (y*, zi( yi, ), z-i( y-i, )) ci(y*), i i -i то есть левая часть неравенств (6) неотрицательна.

Так как системы неравенств (6) и (7) должны иметь место при любом значении неопределенного параметра, то, если использовать систему стимулирования { (z)} (в которой вознаграждение i каждого АЭ зависит от результатов деятельности всех АЭ), то придется брать минимум в левых частях выражений (6) и (7) по всему множеству. Поэтому лучше (с точки зрения гарантированной эффективности стимулирования) использовать систему индивидуального стимулирования { (zi)}. При ее использовании услоi вие (7) примет вид:

* (8) i I, (y*, zi( yi, )) ci(y*).

i i i i Система стимулирования (4) удовлетворяет ограничениям (8) как равенствам. Докажем, что при ее использовании y* - точка Нэша.

Из предположения А.7.2 следует, что i I y1 y2 Ai симметрическая разность множеств Zi(y1, ) и Zi(y2, ) непуста:

i i PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory Zi(y1, ) Zi(y2, ), то есть при использовании центром сисi i * темы стимулирования (4) и выборе i-ым АЭ действия yi yi всегда найдется такое состояние природы, при котором вознаi i граждение АЭ будет равно нулю. Следовательно, система стимулирования (4) гарантированно реализует вектор y* A’ как равновесие Нэша1.

Выражение (5) означает, что центр побуждает АЭ выбрать наиболее выгодное для себя (то есть максимизирующее разность между доходом и затратами на стимулирование) гарантированно реализуемое действие. • Исследуем роль неопределенности. Сравнивая выражения (4) и (1) (из раздела 4.2), замечаем, что затраты центра на стимулирование одинаковы в детерминированной модели и в рассматриваемой модели АС с внешней интервальной неопределенностью.

Содержательно это можно объяснить симметричной информированностью центра и АЭ и «осторожностью» АЭ (использованием ими МГР)2. Например, если бы сепарабельные затраты i-го АЭ зависели от результата его деятельности, то центр был бы вынужден компенсировать ему max ci (zi ).

* ziZi ( yi,i ) В предельном случае (при переходе к соответствующей детерминированной АС) теорема 7.2.1 переходит в теорему 4.2.1.

7.2.2. ВЕРОЯТНОСТНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Пусть затраты всех АЭ несепарабельны и зависят от результатов деятельности, то есть ci = ci(z), i I. Предположим, что на По аналогии с тем, как это делалось в теореме 4.2.1, можно в выражение (4) добавить константы { }, обеспечивающие единственность i равновесия Нэша, или наложить дополнительные ограничения (см. пункты а)-в) в теореме 4.2.1), обеспечивающие существование РДС (при условии, что АЭ использует МГР) и т.д.

Если предположение центра, что АЭ используют МГР не оправдывается, то результат теоремы 7.2.1 не имеет места (см. для сравнения анализ влияния неопределенности в разделе 7.1.1).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory момент принятия решений участники АС обладают одинаковой информацией о распределениях вероятностей {pi(zi, yi)} результатов деятельности АЭ в зависимости от его действия, и «технологических» зависимостях {zi(, )}.

К сожалению, на сегодняшний день даже для одноэлементных АС, функционирующих в условиях внешней вероятностной неопределенности, не получены общие аналитические решения задач стимулирования второго рода. Поэтому в настоящем разделе мы рассмотрим модель, для которой решения одноэлементных задач известны, проиллюстрировав эффективность использования идеи декомпозиции игры АЭ в многоэлементной вероятностной АС.

Предположим, что распределения вероятностей (интегральные функции распределения) имеют следующий вид (так называемая модель простого АЭ):

Fi (zi ), zi < yi (1) Fi (zi, yi ) = 1, zi yi, i I.

Для одноэлементной модели простого АЭ доказана оптимальность компенсаторных систем стимулирования [16, 44].

Теорема 7.2.2. В рамках ГБ система стимулирования * * ci (zi, z-i ), zi yi (2) (y*, zi) =, i I, i * zi > yi 0, реализует (как равновесие Нэша) вектор действий y* A’, который оптимален при условии(3) y* Arg max {H(y) - E (z) }.

c i yA' iI Доказательство. В работах [16, 44] доказано, что в модели простого АЭ стационарные точки полезности АЭ и его ожидаемой полезности совпадают. По аналогии можно показать, что в многоэлементной АС при фиксированной обстановке игры совпадают стационарные (по стратегии данного АЭ) точки полезности АЭ и его ожидаемой полезности.

В соответствии с результатом теоремы 4.2.1 при использова Напомним, что “E” обозначает оператор вычисления математического ожидания.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory нии центром системы стимулирования (2) вектор z* A0, z* = y*, является «равновесием Нэша», то есть доставляет максимум целевой функции АЭ при фиксированных результатах деятельности остальных АЭ. Следовательно, при фиксированной обстановке игры он доставляет максимум и ожидаемой полезности АЭ, то есть y* - равновесие Нэша. При этом компенсаторная система стимулирования (2) является минимальной, то есть характеризуется минимальными затратами центра на стимулирование.

Ожидаемые затраты центра на стимулирование равны:

* yi (4) E (z) = { ci (zi, z-i ) pi (zi ) dzi + c i iI iI A0-i * * * [1 - Fi( yi )] ci( yi )} p-i(z-i, y-i ) dz-i.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.