WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

Пример 8. Определяем s = min rij= 2.

(i,j)Q 1 шаг. Решаем задачу алгоритмом двойной индексации, рис. 17.

[8,0] 2 [38] [10,10] 0 2 [4] 4 10 1,[15,24] 6 [0,18] Рис. 17.

Поясним получение индекса u5 = 38. В алгоритме двойной индексации этот индекс был равен 40. Вычитая затраты s = 2 на снижение риска операции (1,5), получаем 38. Фактические затраты на снижение риска операции (1,5) равны 8. Поэтому фактический доход равен 32.

2 шаг. Рассматриваем сеть ВО без операции (1,5) (рис. 18).

[8,0] 2 [34] [10,10] 0 2 [4] 4 10 1,[15,24] 6 [0,18] Рис. 18.

Поясним получение индекса u5 = 34. Это индекс определяется выражением u5 = max (u4k45 – s; v3k35-s) = 36 – 2 = 34.

Оптимальная схема (0,1,2,3,5) включает операцию (2,3) повышенного риска с затратами r23 = 2 на снижение риска до приемлемого. Так как r23 = s,то полученное решение является оптимальным на множестве всех схем.

8. Спекулятивные обменные схемы Спекулятивными обменными схемами называются схемы, в которых оператор выступает чистым посредником и организатором всей цепочки обменов и, в отличие от продуктовой обменной схемы, сам не имеет ресурса, участвующего в обмене. В принципе, спекулятивная обменная схема может превратиться в продуктовую, если в качестве оператора выступит один из агентов схемы, владеющий ресурсом. Это и определяет повышенный риск спекулятивных обменных схем. Действительно, как только информация о схеме станет известна участникам (или хотя бы одному участнику), посредник (фирма-оператор) может выпасть из цепочки, и его место займет участник, реально участвующий в обмене. Такой риск превращения спекулятивной обменной схемы в продуктовую особенно велик в случае, если спекулятивная схема используется регулярно. Наибольшие шансы занять место оператора, безусловно, имеет участник, получающий ресурс от оператора. Этого участника будем называть псевдо-оператором. Если в задаче определения продуктовой обменной схемы требуется найти контур обмена, включающий оператора, то в задаче определения спекулятивной обменной схемы требуется найти контур обмена, не включающий оператора, а затем определить место разрыва этого контура, куда и включается посредник (фирма-оператор).

Рассмотрим сначала вторую задачу. Пусть определен контур (1,2, …,n,1), соответствующий замкнутому продуктовому циклу обмена с усилением контура K(µ) > 1. Подключение посредника-оператора к этому контуру означает разрыв контура в некоторой дуге (i, i+1) (если i = n, то n+= 1 по определению) и включение посредника в этот разрыв. Если обозначить оператора номером 0, то спекулятивную схему обмена можно представить в виде пути (0,i+1, …,n,1, …,i,0). Обменный коэффициент k0,i+= ki,i+1, а обменный коэффициент ki,0 = 1. Пусть допустимый поток по пути µ равен x0,i+1 = x(µ). Тогда оператор отдает участнику (i+1) ресурс в количестве x(µ), получая этот ресурс от псевдо-оператора i в количестве K(µ)x(µ). Доход оператора составит Д0 = ci x(µ)[K(µ) – 1], (8.1) где ci – доход оператора на единицу i-го ресурса. Поскольку x(µ) зависит от места разрыва, то возникает задача определения места разрыва, для которого доход оператора максимален.

Обозначим Qij – усиление пути из вершины i в вершину j (Qi,i = K(µ) по определению). Если место включения оператора в обменную схему определяется дугой, исходящей из вершины i, то максимальный поток, соответствующий количеству ресурса i-го элемента, получаемого следующим по контуру элементом через посредника-оператора, будет определяться выражением a j xi = min. (8.2) j Qi,j Доход оператора от организации спекулятивной обменной схемы µ составит, согласно (8.1) Д(µ) = cixi(K(µ) – 1).

Таким образом, оптимальное место включения оператора в схему определяется псевдо-оператором i, для которого cixi максимальна.

Определить такой элемент проще всего путем перебора всех вершин контура µ.

Пример 9. Рассмотрим контур µ = (1,2,3,4,5,1) из пяти вершин, данные об усилениях дуг kij, ограничениях на ресурс ai и удельных доходах ci которого приведены в таблице 2. В таблице указано усиление дуги, заходящей в соответствующую вершину. Определим усиление путей Qij:

Q12 = k12 = 1; Q13 = k12k23 = 3; Q14 = k12k23k34 = 6;

Q15 = k12k23k34k45 = 3; Q11 = K(µ) = 12.

Таблица 2.

№ вершины 1 2 3 4 ki-1,i 4 1 3 2 0,ai 12 10 20 16 ci 2 2 1,5 1 Остальные Qij определяются аналогично. Значения Qij приведены в таблице 3.

Таблица 3.

j 1 2 3 4 i 1 12 1 3 6 2 12 12 3 6 3 4 4 12 2 4 2 2 6 12 0,5 4 4 12 24 Согласно выражению (8.2) вычисляем:

x1 = min (12/12; 10/1; 20/3; 16/6; 6/3) = 1;

x2 = min (12/12; 10/12; 20/3; 16/6; 6/3) = 5/6;

x3 = min (12/4; 10/4; 20/12; 16/2; 6/1) = 12/3;

x4 = min (12/2; 10/2; 20/6; 16/12; 6/0,5) = 11/3;

x5 = min (12/4; 10/4; 20/12; 16/24; 6/12) =.

Определим 5 3 5 4 max cixi = max(2 1;2 ; ;1 ;3 )= 2,5.

6 2 3 3 i Следовательно, оптимальное место включения оператора это операция (3, 4). Оператор обещает элементу 4 обеспечить его ресурсом, имеющимся у псевдо-оператора 3 в количестве x3 = 5/3. В результате цепочки обмена (0, 4, 5, 1, 2, 3, 0) оператор получает от псевдо-оператора 3 ресурс в количестве 5/12 = 20. Отдавая 5/3 единиц элементу 4, оператор имеет доход (20 - 5/3) 3/2 = 27,5.

Рассмотрим теперь первую задачу, то есть задачу выбора оптимального контура обмена. Ее решение сводится к перебору возможных псевдооператоров, для каждого из которых решается задача определения обменной схемы по критерию прибыли. Рассмотрим метод решения на примере.

Пример 10. Рассмотрим сеть ВО, приведенную на рис. 19.

1,1,Рис. 19.

Выберем в качестве псевдо-оператора участника 1 и решим для него задачу определения обменной схемы, оптимальной по критерию прибыли.

Эквивалентная сеть без контуров для случая псевдо-оператора 1 приведена на рис. 20.

[1] [2] [3] 2 1,[1] 7 [3] [6] 1 1,5 Рис. 20.

Путь с максимальным усилением µ1 = (1,2,3,4,5,1), K1 = 6, поток по нему x1 = min (5/6; 7/1; 6/2; 8/3; 10/3) = 5/6.

В данном случае, в отличие от продуктовой схемы, следует учитывать ограничения на количество ресурса, которое может отдать псевдо-оператор, поскольку он отдает ресурс K1x1 реальному оператору.

Прибыль псевдо-оператора (точнее псевдо-прибыль, поскольку реально псевдо-оператор оставляет себе ресурс, полученный от участника 5, но его это устраивает, поскольку условия обмена выполнены) П = x1(K1 – 1) = 5/65 = 41/6.

Удаляя насыщенную вершину 4, получаем всего один путь µ2 = (1,2, 5,1) с усилением K2 = 3, потоком x2 = 5/3 и прибылью 5/32 = 31/3.

Таким образом, оптимальный путь это путь µ1. Определим для этого пути оптимальное место включения оператора. Величины коэффициентов Qij приведены в таблице 4.

Таблица 4.

j 1 2 3 4 i 1 6 1 2 3 2 6 6 2 3 3 3 3 6 1,5 1,4 2 2 4 6 5 2 2 4 6 Имеем:

x1 = min (5/6; 7/1; 6/2; 8/3; 10/3) = 5/6;

x2 = min (5/6; 7/6; 6/2; 8/3; 10/3) = 5/6;

x3 = min (5/3; 7/3; 6/6; 8/1,5; 10/1,5) = 1;

x4 = min (5/2; 7/2; 6/4; 8/6; 10/1) = 11/2;

x5 = min (5/2; 7/2; 6/4; 8/6; 10/6) = 1.

Примем с1 = 1, с2 = 1,5, с3 = 2, с4 = 3, с5 = 4. В этом случае max cixi = c5x5 = 6.

i Оптимальным для оператора является выбор в качестве псевдо-оператора участника 5. Его доход при этом составит Д0 = 6(6–1) = 30. Поскольку мы определили еще один контур µ2 = (1,2, 5,1), то имеет смысл найти оптимальное место включения оператора и для этого контура. Величины Qij для него приведены в таблице 5.

Таблица 5.

j 1 2 i 1 3 1 1,2 3 3 1,5 2 2 Имеем:

x1 = min (5/3; 7/1; 10/2) = 5/3;

x2 = min (5/3; 7/3; 10/1,5) = 5/3;

x5 = min (5/2; 7/2; 10/3) = 5/2.

Доход оператора Д0 = с5х5 (3–1) = 20.

Очевидно, что выбор в качестве псевдо-оператора участника 5 и обменной схемы (5,1,2,3,4,5) обеспечивает оператору больший доход, чем при обменной схеме (5,1,2,5). Осталось проверить последний контур µ3 = (2,3,4). Сразу определим оптимальное место включения оператора. Не повторяя вычислений, приведем значения xi:

x2 = 7/9; x3 = 2/3; x4 = 8/9;

max cixi = c4x4 =.

i Доход оператора Д0 = 8/3 (9–1) = 211/3.

Таким образом, оптимальной является спекулятивная обменная схема µ0 = (0,1,2,3,4,5,0), в которой оператор отдает участнику 1 ресурс псевдо-оператора в количестве 1,5, получая от псевдо-оператора этот ресурс в количествеединиц. Доход оператора составляет 4(9-1,5) = 30.

Методы учета и управления риском в спекулятивных обменных схемах аналогичны методам, рассмотренным при анализе продуктовых схем.

Поэтому мы не будем их здесь рассматривать.

9. Теоретико-игровой анализ обменных схем В этом параграфе мы рассмотрим проблемы, связанные с активным поведением участников обменной схемы. В первую очередь, активность участников проявляется в стремлении занизить величину обменного коэффициента при заключении договора об участии в обменной схеме, то есть в стремлении получить требуемый ресурс в обмен за меньшее количество своего ресурса.

Нас будут интересовать механизмы взаимоотношений оператора с потенциальными участниками обменной схемы, которые побуждают их к сообщению достоверной (истинной) оценки обменного коэффициента или, по крайней мере, уменьшают тенденцию завышения оценок. Рассмотрим сначала, с одной стороны, самый простой случай взаимодействия оператора с одним участником обменной схемы, а с другой – самый сложный, поскольку это случай монопольного (единственного) агента, который может диктовать свои условия. Вспомним, что обменные коэффициенты отражают относительную ценность получаемого и отдаваемого ресурсов и представим интересы оператора и агента в виде линейных целевых функций:

0 = x2 – cx1, (9.1) 1 = kx1– x2, (9.2) где x1 – количество ресурса, отдаваемое оператором, x2 - количество ресурса, отдаваемое агентом, с – ценность для оператора ресурса агента относительно своего ресурса, k – ценность для агента своего ресурса относительно ресурса оператора.

Примем, что оператору известна величина с, а относительно k он знает только область [a,b] возможных значений. Представим механизм взаимодействия (переговоров) оператора с агентом следующим образом.

Агент сообщает оператору оценку s [a,b] коэффициента k. Оператор определяет количество ресурса x1(s), которое он отдает агенту и количество ресурса x2(s), которое он получает от агента. Зависимости [x1(s), x2(s)] назовем механизмом обмена. Механизм обмена выбирается оператором и сообщается им агенту до начала переговоров. Основное требование к механизму обмена состоит в том, что он должен обеспечивать агенту неотрицательный доход (точнее маргинальную прибыль), в противном случае агент откажется участвовать в обменной схеме. Примем далее, что ресурс оператора ограничен величиной R, а ресурс агента неограничен.

Задача заключается в том, чтобы определить механизм обмена, который гарантированно обеспечивает оператору максимальный относительный доход. Будем предполагать, что а с. В противном случае, при х = а, складывая 0 и 1, получаем 0 + 1 = (а – c)x1 < 0.

Учитывая, что должно быть 0 0, 1 0, получаем противоречие, то есть обмен не состоится.

Чтобы определить относительный доход оператора заметим, что максимальный доход оператора при обменном коэффициенте k равен (k – c)R. Действительно, из условия kx1 – x2 0 получаем, что kx1 x2.

Поэтому x2 – сx1 (k – c)xи достигает максимума при x1 = R. Гарантированный относительный доход определяется выражением x2 - cxQ = min.

(9.3) k (k - c)xОдна из центральных теорем теории активных систем гласит, что в системе центр – активный элемент (центр это оператор, определяющий механизм обмена, а активный элемент это агент, сообщающий оценку обменного коэффициента) всегда существует оптимальный механизм обмена, который является механизмом «честной игры» [2]. Механизмы честной игры являются неманипулируемыми механизмами, то есть создают заинтересованность у агентов в сообщении достоверной (истинной) оценки обменного коэффициента k. Для того, чтобы определить механизм честной игры, нужно задать в области возможных значений x = (x1, x2) некоторое множество X. Это множество оператор сообщает агенту и гарантирует ему, что обмен (x1, x2) будет обеспечивать максимум целевой функции агента на множестве X. Понятно, что поскольку изменить множество X агент не может, то для максимизации своего дохода ему достаточно сообщить истинное значение обменного коэффициента k. Таким образом, задача определения оптимального механизма обмена свелась к определению оптимального множества X. Решим эту задачу, предполагая, что оценки s обменного коэффициента k могут принимать целочисленные значения от a до b. Обозначим a0 = a, ai = a + i, i = 1,m, am = b. Идею построения оптимального множества X поясняет рис. 21.

Заметим, что максимум целевой функции агента 1 = aix1 – x2 - в т. xi, поскольку угловой коэффициент отрезка прямой [xi-1, xi] равен ai (рис. 21).

xxyaX y2 xaxyay0 axxz0 z1 zR Рис. 21.

Эффективность обмена xi = (zi, yi) определяется выражением yi - czi µi =, (9.4) (ai - c)R а гарантированная эффективность µ = minµi. (9.5) 0im Задача свелась к определению точек «излома» zi, i = 1,m -1. Нетрудно показать, что максимум гарантированной эффективности достигается в случае, если все µi будут равны между собой. Из этого факта получаем последовательно:

a0z0 = a1z0 - 1, z0 = 1, a0z0 - cz0 z0 µ = = =.

(a0 - c)R R R Далее по аналогии a1z1 - 1= a2z2 - 2, z1 = 2 - 1, a1z1 - 1 - cz1 z1 µ = = -.

(a1 - c)R R (a1 - c)R В общем случае i m-Zi = i+1 - i, (9.6) zi i µ = -.

R (ai - c)R Для i = m имеем amR - m - cR m µ = = 1-.

(9.7) (am - c)R (am - c)R Из полученной системы уравнений определяем i как функцию µ.

Обозначим pi = 1 +. Последовательно получаем ai - c 1 = µR, (9.8) i = µR[1 + pi-1 + pi-1 pi-2 + + pi-1 pi-2 p1], i = 2,m -1.

Из последнего уравнения (9.7) имеем (1- µ)R m =.

pm -Окончательно определяем µ =. (9.9) 1+ (pm -1)(1+ pm-1 + pm-1pm-2 ++ pm-1pm-2 p1) Пример 11. Пусть m = 1, а0 = 4, а1 = 5, с = 3, R = 30. Имеем p1 = 3/2, 1 µ = = ;

p m 1 = Rµ = 20; z0 = 1 = 20.

Итак, при сообщении оценки a0 = 4 агент получает 20 единиц ресурса от оператора, отдавая взамен 80 единиц своего ресурса. Сообщая a1 = 5, агент получает 30 единиц ресурса от оператора, отдавая взамен 150 – 20 = единиц своего ресурса. Покажем, что манипулируя информацией, агент ничего не выигрывает. Действительно, если истинный коэффициент обмена равен a1 = 5, а агент занижает оценку и сообщает s = 4, то он получает единиц ресурса в обмен на 80 единиц своего ресурса. Его доход составит Д1 = 520 – 80 = 20, то есть ровно столько же, сколько он получает, сообщая истинную оценку.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.