WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

Заметим, что в данном случае подсеть с дугой (0,2) можно было бы исключить, проведя дугу (0,2) в подсети с начальной дугой (0,1) (эта дуга показана пунктиром на рис. 12). При этом мы получаем преобразованную сеть с тем же числом вершин. Однако, если бы в исходной сети была дуга (1,6) (показанная пунктиром на рис. 11), то такое преобразование уже не допустимо.

1 1 2 2 2 6 Рис. 12.

Вообще, проблема построения сети без контуров, эквивалентной исходной и имеющей минимальное число вершин является гораздо более сложной.

5. Оптимизация обменных схем по доходу Выше мы рассмотрели задачу определения обменной схемы по критерию маргинальной прибыли.

Довольно часто в качестве критерия оптимальности выступает не маргинальная прибыль, а доход, получаемый оператором при реализации обменной схемы, то есть величина Д = K(µ)x(µ). Например, если фирма оператор получила за свою продукцию или услуги от заказчика не деньги, а какую-либо продукцию, векселя или зачеты, то ее основная задача – реализовать уже полученный ресурс с максимальным доходом. Опишем алгоритм построения обменной схемы, оптимальной по критерию дохода.

Предполагаем, что вершины преобразованной сети ВО имеют правильную нумерацию.

0 шаг. Присваиваем входной вершине индекс u0 = a0.

q-й шаг. Присваиваем вершине k индекс uq = minaq;max u kjq (5.1) j j

Индекс вершины n будет равен максимальному доходу оператора.

Для обоснования алгоритма покажем, что индекс вершины j n равен максимальному количеству ресурса, который можно получить от j-го элемента. Докажем этот факт по индукции.

Для выходной вершины j = 0 это очевидно. Пусть этот факт имеет место для всех вершин j < q. Докажем, что это справедливо и для вершины q.

Действительно, величина kjquj определяет максимальное количество ресурса, которое отдает элемент q, получив от элемента j ресурс в количестве uj, а значит выражение (5.1) определяет максимальное количество ресурса, которое может отдать элемент q, то есть существует обменная схема, в которой элемент q отдает uq единиц ресурса, и не существует обменной схемы, в которой элемент q отдает ресурса больше, чем uq. Теперь очевидно, что максимальный доход оператора будет равен max u k = un.

j jn j Пример 5. Рассмотрим сеть ВО, показанную на рисунке 13.

[8] [10] 0 2 [4] [48] 4 10 1,[24] 6 [18] Рис. 13.

Индексы вершин указаны в квадратных скобках. Максимальный доход равен 48. Для того, чтобы определить оптимальную обменную схему, модифицируем алгоритм обратного хода, описанный в параграфе 2 для задачи определения пути с максимальным усилением. А именно, начиная с вершины n определяем дугу (i,n), такую что un = uikin.

Далее находим дугу (i2,i1), такую что max uikii = ui ki ii

i<Следовательно, искомый оптимальный путь µ0 = (0,1,4,5), поток по этому пути x0 = x01 = 3.

6. Учет риска Риск является весьма существенным фактором, который следует учитывать при выборе обменной схемы. Как правило, риск обменной схемы зависит от рисков отдельных операций, входящих в схему. Качественно риск операции является оценкой фирмой-оператором степени опасности того, что эта операция на осуществится (продукция не будет поставлена, зачет не будет произведен, курс бумаг упадет и т.д.).

Риск операции зависит от многих факторов, которые зачастую трудно оценить. Поэтому, на практике применяют дискретные шкалы для измерения риска. Наиболее принята дискретная трехоценочная шкала – низкий риск, средний риск, высокий риск. Низкий риск, как правило, характерен для операций с уже проверенными, надежными партнерами, в достаточно стабильной (прогнозируемой) экономической ситуации (по крайней мере, на период реализации обменной схемы). Средний риск характерен для операций с новыми партнерами (но имеющими хорошую репутацию) в достаточно стабильной экономической ситуации, либо с проверенными, надежными партнерами хотя и в неустойчивой экономической ситуации.

Наконец, высокий риск характерен для операций с новыми партнерами в неустойчивой экономической ситуации.

Конечно, степень риска зависит и от применяемых механизмов перераспределения риска (страхование риска) а также от имеющихся рычагов влияния на участников сделок (гарантии государства, банков и т.д.).

В первую очередь нас, безусловно, интересуют обменные схемы, включающие операции с низким риском. Однако, если такие обменные схемы недостаточно эффективны, то имеет смысл рассмотреть более рисковые обменные схемы, включающие одну или две операции со средним риском, обращая особое внимание на среднерисковые операции и разрабатывая специальные компенсационные меры (меры снижения риска).

Наконец, допустимо включение в обменную схему операции с высоким риском, если такая схема имеет высокую эффективность. Безусловно, в этом случае высокорисковая операция особо контролируется, и обязательно прорабатывается система компенсационных мер.

Рассмотрим методы определения оптимальных обменных схем в случае, если допускаются среднерисковые и высокорисковые операции (не более одной). Если число таких операций (со средним или высоким риском) мало, то проще всего задачу решить методом перебора. А именно, включаем в сеть ВО операцию повышенного риска (среднего или высокого) и определяем оптимальную обменную схему. Затем исключаем эту операцию, включаем другую и т.д., пока не рассмотрим все операции повышенного риска. Сравнивая полученные схемы по критерию маргинальной прибыли или дохода, определяем оптимальную схему.

При большом числе операций повышенного риска метод перебора становится достаточно трудоемким. В этом случае целесообразно разработать алгоритмы, не требующие перебора всех операций с повышенным риском. Опишем один такой алгоритм для задачи выбора оптимальной обменной схемы по критерию дохода.

Алгоритм двойной индексации Обозначим Uq – множество (возможно, пустое) дуг, соответствующих операциям с низким риском, заходящих в вершину q; Vq – множество (возможно, пустое) операций с повышенным риском, заходящих в вершину q.

0 шаг. Присваиваем входной вершине индекс u0 = v0 = a0.

1 шаг. Если дуга (0,1) U1 (операция с низким риском), то присваиваем вершине 1 индексы u1 = min(a1; a0k01) и v1 = 0.

Если дуга (0,1) V1 (операция повышенного риска), то присваиваем вершине 1 индексы u1 = 0 и v1 = min(a0; a0k01).

q-й шаг. Пусть получены индексы ui, vi, i < q.Присваиваем вершине q индексы uq = minaq;(max uikiq, (6.1) i,q)Uq vq = minaq;max(max vikiq;(max uikiq. (6.2) i,q)Uq i,q)Vq n-й шаг. Присваиваем вершине n индекс un = max(max uikin;(max uikin;(max vikin;.

(6.3) i,q)Un i,q)Vn i,q)Un Если какое-либо множество является пустым, то соответствующий максимум в (6.1) – (6.3) равен 0 по определению.

Докажем, что индекс un определяет максимальный доход фирмыоператора среди всех обменных схем, включающих не более одной операции с повышенным риском. Как и ранее, доказательство проведем по индукции.

Предварительно введем определение i-части обменной схемы.

Определение. i-частью обменной схемы, включающей элемент i, называется начальная часть схемы, которой соответствует путь в сети ВО, соединяющий вход 0 с вершиной i.

Заметим, что для любой допустимой обменной схемы, включающей элемент i, ее i-часть может либо не иметь ни одной операции повышенного риска, либо иметь только одну такую операцию. Соответственно, i-часть, не имеющую операций повышенного риска, будем называть i-частью низкого риска, а имеющую – повышенного риска.

Докажем сначала, что индекс ui > 0 (i n) равен количеству ресурса, такому что участвуя в любой схеме с i-частью низкого риска элемент i отдает не более ui единиц ресурса, и существует i-часть низкого риска, в которой элемент i отдает ровно ui единиц ресурса. Соответственно, индекс vi > (i n) равен количеству ресурса, такому что, участвуя в любой схеме с iчастью повышенного риска, элемент i отдает не более vi единиц ресурса, и существует i-часть повышенного риска, участвуя в которой элемент i отдает ровно vi единиц ресурса.

Для вершины i = 0 это очевидно (u0 = v0 = a0). Предположим, что этот факт имеет место для всех j < q. Докажем его для вершины q n. Очевидно, что все q-части низкого риска должны заканчиваться дугами (i,q) Uq. Но тогда выражение (6.1) определяет максимальное количество ресурса (не более), которое отдает элемент q, участвуя в обменных схемах с q-частью низкого риска. Очевидно, что, если uq > 0, то существует q-часть низкого риска, участвуя в которой элемент q отдает ровно uq единиц ресурса. Далее, все q-части повышенного риска состоят либо из i-части низкого риска и дуги (i,q) Vq, либо из i-части повышенного риска и дуги (i,q) Uq.В обоих случаях выражение (6.2) определяет количество ресурса, не более которого отдает элемент q, участвуя в обменных схемах с q-частями повышенного риска. Столь же очевидно, что существует q-часть повышенного риска, участвуя в которой элемент q согласен отдать ровно vq единиц ресурса. Если теперь проанализировать выражение (6.3), то по аналогии с предыдущим анализом нетрудно показать, что любая обменная схема может состоять либо из i-части низкого риска и операции (i,n) низкого риска (первое выражение в квадратных скобках), либо из i-части низкого риска и операции (i,n) повышенного риска (второе выражение в квадратных скобках), либо из iчасти повышенного риска и операции (i,n) низкого риска (третье выражение в квадратных скобках). Следовательно, un определяет максимальный доход оператора. Для определения оптимальной обменной схемы применяем алгоритм обратного хода по аналогии с алгоритмом из параграфа 5.

Пример 6. Рассмотрим сеть из примера 5, в которой все операции с обменными коэффициентами выше 2 и операция (4,5)имеют повышенный риск (эти операции изображены на рис. 14 жирными дугами).

[8,0] 2 [10,10] 0 2 [4] 4 10 1,[15,24] 6 [0,18] Рис. 14.

0 шаг. u0 = 4.

1 шаг. u1 = min (10, u0k01) = 8;

v1 = 0.

2 шаг. u2 = min (10, u1k12) = 10;

v1 = min (10, u0k02) = 10.

3 шаг. u3 = 0;

v3 = min (18, u0k03; u2k23) = 18.

4 шаг. u4 = min (24, u2k24) = 15;

v4 = min (24, max (u1k14, v3k34)) = 24.

5 шаг. u5 = max (u1k15, u4k45, v3k35) = 40.

Оптимальный путь, очевидно, µ0 = (0, 1, 5).

Заметим, что описанный алгоритм можно обобщить на случаи, когда допускается более одной операции повышенного риска. Достаточно ввести не 2 индекса в вершине, а (m+1), где m – число операций повышенного риска, которое допускается в обменной схеме.

7. Управление риском Выше уже отмечалось, что риск операций можно уменьшить, применяя различные компенсационные меры, то есть риском можно управлять.

Безусловно, снижение риска требует затрат, уменьшающих доход от обменной схемы. Рассмотрим задачу выбора оптимальной обменной схемы (по критерию дохода) с учетом затрат на снижение риска до требуемого (приемлемого) уровня.

Обозначим через rij затраты на снижение риска операции (i,j) до приемлемого уровня. Тогда доход оператора от реализации обменной схемы µ будет равен Д = K(µ)x(µ) - R(µ), где R(µ) = - суммарные затраты на снижение риска. Ограничим число rij (i, j)µ операций повышенного риска (выше, чем приемлемый риск) в обменной схеме. Обозначим это число через m. Для случая m = 1 опишем алгоритм множественной индексации, обобщающий алгоритм двойной индексации, описанный в параграфе 6. Идею алгоритма поясняет рис.15.

[u1; v11(s11); v12(s12)] akk2 [u2; v21(s21)] a2 ak[u3; v31(s31)] aРис. 15.

Индекс ui определяет максимальное количество ресурса, которое может отдать элемент i, участвуя в обменных схемах с i-частью низкого риска. Индексы vij(sij) определяют максимальное количество ресурса, которое может отдать элемент i, участвуя в обменных схемах с i-частью повышенного риска с затратами на снижение риска равными sij. При этом vi> vi2 > vi3 и, соответственно, si1 > si2 > si3.

Зная индексы вершин 1, 2, 3 можно определить индекс вершины 4.

Действительно, u4 = min[a4; max(u1k14; u3k34)], v41 = min[a4; max(u2k24; v11k14; v31k34)].

Предположим, что v41 = v11k14. Тогда s41 = s11. Далее определяем v42 = min[a4; max(u2k24; v12k14; v31k34)].

Предположим, что v42 = u2k24 < v41. Тогда, если r24 < s11, то помечаем вершину 4 вторым индексом v42, s42 = r24. Действуем таким образом, пока не проверим все допустимые комбинации индексов вершин 1, 2, 3.

Пример 7. Рассмотрим сеть ВО из примера 6. Затраты на снижение риска до приемлемого уровня для операций с повышенным риском указаны в круглых скобках у соответствующих дуг (см. рис. 16).

[8] 5(8) 2 4(3) [10] 0 3(3) 2 4 2(2) 4 10 1,[15,24(3),18(2)] 3(2) 6(7) [0,18(2)] Рис. 16.

0 шаг. u0 = 4.

1 шаг. u1 = min (10, 42) = 8;

2 шаг. u2 = min (10, 812) = 10;

v21 = min (10, 43) = 10.

Так как v21 = u2, то индекс v21 не присваиваем.

3 шаг. u3 = 0;

v3 = min (18, max (46; 103)) = 18, s31 = 2.

В данном случае s31 = 2, так как обе 3-части (0,1,2,3) и (0,3) обеспечивают количество ресурса больше 18. Поэтому выбираем 3-часть с меньшими затратами на снижение риска.

4 шаг. u4 = min (24, 101,5) = 15;

v41 = min (24, max (84, 181)) = 24.

В данном случае s41 = r14 = 3, так как 4-часть (0, 1, 2, 3, 4) не обеспечивает количество ресурса 24, хотя и имеет меньшие затраты на снижение риска.

v42 = min (24, 181) = 18, s42 = 2.

5 шаг. Окончательно имеем:

u5 = max (85-8, 152-2, 182-2) = 34.

Этот максимум обеспечивает обменная схема (0, 1, 2, 3, 5).

Этот алгоритм можно обобщить и на случай m > 1. Однако система множественной индексации становится при этом излишне громоздкой.

Рассмотрим метод ветвей и границ для решения задачи управления риском. Обозначим через Q множество операций с повышенным риском и определим s = min rij. Примем, что затраты на снижение риска равны s для (i,j)Q всех операций множества Q и решим задачу выбора оптимальной по критерию дохода обменной схемы для этого случая. При одинаковых затратах на снижение риска задача решается методом множественной индексации, описанным в параграфе 6 (при небольшой его модификации, учитывающей затраты s при индексации конечной вершины n). Очевидно, что полученное решение дает оценку сверху для исходной задачи.

Определяем в полученной обменной схеме операцию с повышенным риском и максимальными затратами на его снижение и рассматриваем два подмножества обменных схем. В первом подмножестве эта операция присутствует в сети ВО, а во втором – нет. Сравнивая оценки сверху для обоих подмножеств, выбираем подмножество с большей оценкой и т.д., согласно схеме ветвей и границ. Дадим иллюстрацию метода ветвей и границ на сети ВО из примера 7.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.