WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

2 2 м й y(i)- 5a0 - a1 - a2 2 ъ = п- 2ке еi е(i) щ лi=-2 i=-2 i=-2 ы п 2 2 2 п й п 2 = н- 2к еiy(i)- a0 еi - a1е(i) - a2 е(i) щ.

ъ лi=-2 i=-2 i=-2 i=-2 ы п п 2 2 2 й п- 2к 2 y(i)- a0 2 - a1 3 - a2 4 ъ = еi е(i) е(i) е(i) щ п лi=-2 i=-2 i=-2 i=-2 ы о Далее решив полученную систему уравнений, используя следствие замены, p p из которой, и то, что оценка уровня ряда определяется в еi =0 еi =i=- p i=- p средней точке усредняемого интервала i=0 можно найти следующие значения параметров аппроксимирующего полинома второй степени:

2 2 2 4 y(i)е(i) Ч е е(i) Ч еi y(i) i=-2 i=-2 i=-2 i=-a0 = = 2 4 5 з ч е(i) - же(i) ц i=-2 иi=-2 ш 2 34 y(i)-10 y(i) е е(i) i=-2 i=-= = ;

170 -= [- 3y(- 2)+12y(-1)+17y(0)+12y(1)- 3y(2)] еiy(i) i=-a1 = = [- 2y(- 2)- y(-1)+ y(1)+ 2y(2)];

е(i) i=-2 2 2 5 y(i)- y(i) е(i) е(i) Ч е i=-2 i=-2 i=-a2 = = 2 4 5 - з ч.

е(i) же(i) ц i=-2 иi=-2 ш = [2y(- 2)- y(-1)- 2y(0)- y(1)+ 2y(2)] Таким образом, окончательно сглаженные значения ряда для каждого интервала сглаживания m могут быть найдены из следующего соотношения:

) f (t) = a0 + a1i + a2i2 = a0 = [- 3y(- 2)+12 y(-1)+17 y(0)+12 y(1)- 3y(2)] Или в общем виде:

) f (t) = [- 3yt-2 +12yt-1 +17yt +12yt+1 - 3yt+2].

Этот метод похож на предыдущий. Его отличие заключается в том, что, если при вычислении простой скользящей средней мы каждому значению интервала сглаживания придавали равный вес, то здесь для каждого m значения рассчитывается свой вес. Причем вес зависит от того, насколько далеко отстоит взвешиваемый уровень от центра интервала сглаживания.

Аналогичным образом рассчитываются формулы для прочих значений интервалов сглаживания. Запишем их, например, для значений m=7 и m=9:

) f (t) = [- 2yt-3 + 3yt-2 + 6yt-1 + 7 yt + 6yt+1 + 3yt+2 - 2yt+3] ;

) f (t) = [- 21yt -4 +14yt -3 + 39yt-2 + 54yt-1 + 59yt + 54yt+1 + 39yt+2 +14yt +3 - 21yt+4].

Величину модельной дисперсии можем найти следующим образом:

m m 2 2 D = D y(t) = s = s h,где y еwt еwt t=1 t m h = еwt.

t=Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом взвешенного скользящего среднего можно оценить следующим образом:

) yN +1 = f ± ta S 1+ h.

N Экспоненциальное сглаживание Брауна Довольно часто при исследовании временных рядов используют методы экспоненциального сглаживания (модели Брауна) [3, 25, 31, 36, 68. Это объясняется тем, что они позволяют более обоснованно и сбалансированно учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение St-1 и фактическое значение временного ряда уt. В практике моделирования динамических рядов используется множество разновидностей моделей Брауна. Для примера поясним принципы построения и оценки параметров модели экспоненциального сглаживания, а также использования ее в качестве генератора прогнозной информации для т.н. простой формы модели Брауна.

Запишем формулу для расчета St - сглаженного значения для t-го уровня ряда:

St = axt + (1- a)St- (2.3.2) где St – значение экспоненциальной средней в момент t;

St-1 – значение экспоненциальной средней в момент t-1;

a - параметр сглаживания, т.н. сглаживающий фильтр.

Величина a изменяется в пределах: 0 < a < 1. Вариации a имеют серьезное влияние на характеристики самого сглаживания, и выбор оптимального значения зависит сразу от нескольких из них, причем противоречащих друг другу.

Первое, что необходимо отметить в сглаживании Брауна – это принципиально другое оценивание весов предыдущих значений ряда. Если записать значение сглаженного ряда St и последовательно раскрывать значения St-1, St-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y0=S0, используя рекуррентное соотношение (3.2), то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

St = ayt + (1 -a)St -1 = ayt + (1-a)[ayt -1 + (1-a)St-2]= ayt + a(1 -a) yt -1 +a(1-a)2 yt-2 +.

... +a(1 -a)k yt-k +... + (1-a)t yВ итоге получаем следующее рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом Брауна:

t-i St = a (2.3.3), е(1-a) yt-i + (1-a)t yi=где t в данном случае число членов ряда;

y0 - является начальным уровнем временного ряда.

Вопрос о выборе начального уровня может быть решен несколькими путями. В первом случае, если имеются прошлые данные, то можно использовать среднюю арифметическую этих данных или их части. Если такими данными мы не располагаем, то в качестве нулевого уровня может быть использована средняя арифметическая нескольких начальных значений исходного ряда, либо просто первое значение ряда. Также начальное значение может быть оценено исходя из уже полученной формулы, из которой следует, (1-a)t что начальному значению после t итераций придается вес. Стоит отметить, что правильный выбор начального уровня может иметь существенное значение, так как заведомо неверное значение при небольшом количестве наблюдений может привести к большим ошибкам прогнозов. В этой ситуации можно придать a большое значение и тем самым быстро погасить влияние нулевого уровня, но при большом a снижаются сглаживающие свойства модели.

Рассмотрим полученную формулу (2.3.3). Допусти, что в нашем распоряжении достаточно большой временной ряд, т.е. N ® Ґ, тогда значение (1-a)N yвторого слагаемого формулы (2.3.3) быстро стремиться к 0 за счет свойств сглаживаемого ряда. Соответственно, приближенная оценка t-го члена сглаженного ряда может быть получена из следующего соотношения:

N -i St = a (2.3.4), е(1-a) yt-i i=то есть величина St – сглаженное значение ряда, является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом величины весов в зависимости от того насколько далеко отстоит уровень от сглаживаемого будут убывать экспоненциально, что очевидно из соотношения (2.3.4). Вес значения уровня t составит a, вес для a(1-a) a(1-a)уровня t-1, для уровня t-и так далее, для y0 соответственно - (1-a)N ® 0 при бесконечно большом N.

Определим модельную дисперсию ряда, заданного соотношением (2.3.4).

Ґ Ґ й щ i 2 2i 2 D(St ) = Dкa = a s.

е(1-a) yt -i е(1-a) s = a ъ 2 -a л i=0 ы t=Так как значение параметра сглаживания ряда динамики колеблется в 0 < a < пределах, то легко показать, что сглаженный ряд имеет то же a < математическое ожидание, что и исходный, но меньшую дисперсию.

2 -a Также можно заметить, что, изменяя значение сглаживающего фильтра a, мы влияем на силу сглаживания. Чем больше величина a приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Выбор величины постоянной сглаживания требует особого внимания.

Рассмотрим критические значения a, чтобы пронаблюдать, что будет происходить с процессом в этих крайних точках. Если взять a = 0, то получим St = Sa =, то есть адаптация модели отсутствует. Если принять, то St = yt получим, то есть модель, в которой сглаженное значение равно фактическому уровню временного ряда.

На практике подбор допустимого значения параметра сглаживания рекомендуется производить эмпирическим путем, то есть, итеративно перебирая его возможные значения и выбирая оптимальный уровень коэффициента по критерию минимизации дисперсии ошибки прогноза на тестовом наборе данных. Этот способ предлагается как наиболее достоверный.

На выбор постоянной сглаживания будут влиять конкретные специфические характеристики временного ряда. Опыт исследователей показывает, что наибольшая точность при прогнозировании экономических временных рядов может быть достигнута при практически любом допустимом значении a.

Основываясь на опыте исследований [36] можно отметить, что в случае, когда параметр принимает значения близкие к 1, следует подвергнуть сомнению законность выбора данной модели. Так как это может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Для таких рядов следует использовать другие модели, более эффективные. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза, вероятно, следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения.

Простое экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим образом (N +1) = S.

N Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом простого экспоненциального сглаживания можно оценить следующим образом:

) yN +1 = S ± tq S.

N 2 -a Вследствие успешности практического использования этой модели она была развита Р. Г. Брауном и Р. Ф. Майером для процессов, которые описывались моделями, состоящими из многих полиномиальных членов [3, 31, 36]. За исходную гипотезу принимается то, что временной ряд описывается полиномом N порядка, а прогноз на t периодов вперед будет иметь вид:

N ai i ) yN +t = a0 + t е, iЧ! i=a0, a1,...,aN коэффициенты полинома.

где Таким образом, рассмотренный ранее пример простого экспоненциального сглаживания для модели общего вида может быть представлен как ) (N + 1) = a0, N = SN, т.е. прогноз по константе.

Приведение модели Брауна к виду (2.3.2) позволяет определить процедуру многократного экспоненциального сглаживания. Процедура многократного экспоненциального сглаживания фактически является применением простого экспоненциального сглаживания к результатам сглаживания порядка p-1. Ее можно записать так:

St[p] = aStp-1 + (1-a)St[p], -St[0] = yt где, p = 1, 2, …, n – порядок сглаживания, [ [ S0, S02],...,S0n] - начальные значения экспоненциальных средних соответствующего порядка.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания, доказанная Брауном и Маейром [3, 36], утверждает, что между коэффициентами предсказывающего полинома и экспоненциальными средними сглаживающей модели существует связь, выраженная через постоянную сглаживания следующим образом:

n yt(k ) p Ґ ( p -1+ j)! a k j St[p] = jk (1-a).

е(-1) k! (p -1)!е j! k =0 j=St[p] То есть, имеются n+1 уравнение, в которых сглаженные значения yt(k ) выражены через линейные комбинации производных уровней.

Эта идея основана на том, что исходный ряд yt может быть разложен в ряд Тейлора с n+1 количеством членов:

k ) k ) k Ґ n n yt+t = = = еt yt(k еt yt(k еt at+1.

k! k! k! k=0 k =0 k =В общем случае предполагается, что процесс может быть представлен как:

yt = xt + et, n ai+xt = ti е, i! i=где et - случайные отклонения с математическим ожиданием равным нулю и конечной дисперсией.

В случае, когда порядок i нулевой, мы имеем простое экспоненциальное сглаживание. Для первого порядка – линейное экспоненциальное сглаживание, для второго квадратичное экспоненциальное сглаживание и т.д. В практике, как правило, используют сглаживания порядка не выше двух. Однако конкретно, каждый раз данный вопрос решается эмпирически с учетом влияния порядка сглаживания на выбранную систему критериев качества модели, а также с учетом степени роста сложности вычислений по алгоритму.

Обратимся к более подробному рассмотрению информационных и прогностических возможностей линейного и квадратичного экспоненциального сглаживания [27, 31, 36].

Линейное экспоненциальное сглаживание Пусть модель сглаживающего прогноза на основе модели Брауна имеет вид:

xt = a1 + a2t (2.3.5), а начальные условия для сглаживающего полинома определены как:

1-a S0 = a1 - aa 2(1-a) [ S02] = a1 - a.

a Для того чтобы выразить коэффициенты a1 и a2 необходимо yt = a1 + a2t воспользоваться коэффициентами уравнения тренда, полученными методом наименьших квадратов.

Тогда экспоненциальные средние моделей первого и второго порядков могут быть оценены как:

St = ayt + (1-a)St -, St[2] = aSt + (1 -a)St[2].

-Оценки параметров коэффициентов модели (2.3.5) составят:

) [ a1,T = 2ST - ST2], a ) [ a2,T = (ST - ST2]).

1-a Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего первого порядка на момент времени T:

[2] (1 ) 1, 2, а оценки коэффициентов модели могут быть оценены из следующих соотношений:

) [ [ a1,T = 3ST - 3ST2] + 3ST3], [2] [3] [ 3 ) ] 2, ) ) t = a1,t + ta2,t, где 1t = 1,t-1 +nt.

2t = 2,t-1 +ht времени условия функционирования, учитывают неодинаковую ценность различных членов временного ряда для настоящего момента времени.

В связи с принципами формальной организации процедур подстройки параметров моделей, способы адаптации условно можно разделить на алгоритмические и эвристические. Наибольшего качества в своем развитии адаптационные механизмы находят в нейросетевых, генетических и гибридных технологиях моделирования и прогнозирования.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.