WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

Как правило, самым распространенным способом восстановления оценок априорно заданной модели временного ряда является МНК, используемый в рамках однофакторной либо многофакторной регрессионной модели [1, 4, 11, 13, 19, 25, 25, 31, 32, 52, 68, 69 и др.]. К алгоритмическим методам выделения тенденции ряда относят различные алгоритмы усреднения данных по ряду [25, 31, 32, 36, 68, 69 и др.].

В любом случае, вне зависимости от группы методов выбранных исследователем, они базируются на одном и том же постулате: сглаживающая кривая должна быть так построена, чтобы, сохраняя основную тенденцию ряда уменьшить диапазон его колебаний, т.е. дисперсию фактического ряда.

Сглаживающие модели временных рядов позволяют довольно успешно справляться с обоснованием и конструированием безусловных прогнозов развития разнообразных социально-экономических явлений. При этом ясно, что построение точечного прогноза носит понятный механический характер при удовлетворительных результатах идентификации и оценки модели развития.

Для отыскания прогнозного интервала предсказания поведения ряда с заданным уровнем значимости a и соответствующим числом степеней n свободы будем использовать тот факт, что величина ошибки прогноза, т.е.

p = y - (x ), в любой точке x также имеет нормальный (близкий к нормальному) закон распределения.

В этом случае среднее значение случайной составит:

p M [] = M [ y - (x )] =, а дисперсия ряда соответственно p p 2 p D[] = D[ y - (x )] = Dy + D(x ) = s + D(x ).

Таким образом, для получения удовлетворительного интервального прогноза искомой величины на заданную дату либо за предусмотренный промежуток времени необходимо рассчитать дисперсию ошибки прогноза D[] = D, которая будет складываться из модельной дисперсии D и f дисперсии случайной De по ряду, то есть иначе мы можем записать:

p ) Dy = D( f (x ) + et ) = D + De.

f Здесь xp – прогноз экзогенных переменных модели.

Имея в виду возможность проведения для данного динамического ряда оценки дисперсии (s2) случайной составляющей временного ряда, т.е.

De = s » s2 s, и оценить модельную дисперсию, значение которой f определяется спецификой конкретного модельного представления систематической составляющей ряда, можем получить оценку s = s2 + sсреднеквадратической ошибки прогноза, которая составит.

f При этом, как известно, величина среднеквадратической ошибки ряда может быть оценена по формуле:

N (yi - i ) е i =s =, где n i - сглаженное значение ряда;

n - число степеней свободы.

Соответственно, интервальный прогноз рассчитываем как точечный прогноз плюс минус среднеквадратическая ошибка прогноза, умноженная на tстатистику Стьюдента с заданным уровнем значимости a и соответствующим числом степеней свободы, определяемых из числа уровней исследуемого ряда за вычитанием количества параметров сглаживающей модели. Таким образом, окончательно интервальный прогноз временного ряда на l периодов вперед можно оценить следующим образом:

) yN +l = f ± ta (n )s N +l (2.3.1), где f - значение точечного прогноза динамики ряда на (N+l)-й момент N +l времени.

2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания временных рядов К классу алгоритмических методов выявления тенденций во временных рядах относятся разнообразные процедуры усреднения данных по ряду, т.е.

построению их сглаженных усредненных значений. Способ усреднения ряда, как правило, и определяет наименование метода. В практике эконометрического моделирования алгоритмические методы сглаживания могут применяться с двумя целями:

- выявление общей тенденции развития ряда;

- прогнозирование тенденции в ряду.

Наиболее широкое применение методы алгоритмического сглаживания находят либо в условиях, когда исследователь имеет дело с так называемыми короткими рядами, либо в условиях высокой нестабильности, хаотичности исследуемой системы, что впрочем, по последствиям, практически адекватно предыдущему случаю.

Методы сглаживания отличаются от традиционно используемых современных методов эконометрического моделирования. Они, например, не требуют подбора "оптимальной модели, " и они вообще не производят "оптимальные прогнозы". Скорее, они просто способ, объясняющий компьютеру как провести сглаженную линию через данные и экстраполировать ее разумным способом, также как мы сделали бы это вручную, исходя из неких интуитивно-визуальных соображений.

При использовании алгоритмических методов сглаживания, мы не пытаемся найти модель, которая лучше всего описывают данные; скорее, мы подгоняем предопределенную модель к данным. Некоторые ученые по этой причине не любят методы сглаживания, однако, они использовались успешно много лет и по серьезным причинам. Эти методы наиболее полезны в ситуации, когда более «мудрые» методы моделирования не могут использоваться. Вопервых, доступные выборки данных иногда очень маленькие. Предположим, например, что мы должны произвести прогноз, основанный на выборке ретроспективных данных, содержащих только четыре наблюдения. Эта ситуация кажется чрезвычайной, но она возникает иногда в практических случаях, например, при прогнозе продаж нового продукта на рынке товаров или услуг. Здесь, число степеней свободы мало настолько, что невозможно оценить значимость любой подобранной модели. Методы алгоритмического сглаживания в предельном случае, напротив, не требуют никакой оценки, или минимальной оценки.

Во-вторых, задача при прогнозировании иногда огромна. Предположим, например, что каждую неделю мы должны предсказать цены огромного числа сырья, материалов и комплектующих некого продукта, например авиалайнера.

Снова, такие предположения чрезвычайны, но они происходят на практике. В таких предположениях, даже если ретроспективные данные обширны (хотя в общем случае, конечно, они могут и не быть такими), то нет просто никакого способа обеспечить достаточное внимание, требуемое для оценки и обслуживания множества различных моделей прогноза. Методы сглаживания, напротив, требуют небольшого внимания. Они - один из примеров того, что иногда называют "автоматическими" методами прогноза, и они часто полезны при прогнозировании на основе обширных, часто обновляющихся данных.

Наконец, методы сглаживания производят оптимальные прогнозы в некоторых условиях, которые, оказывается, глубоко связаны с присутствием единичных корней в ряде, по которому строится прогноз, т.е. его скрытыми математическими свойствами. Кроме того, более обоснованные методы производят оптимальные прогнозы только при известных условиях, типа правильной спецификации модели для прогноза.

В заключение следует сказать, что построение доверительных интервалов прогнозов, построенных методами алгоритмического сглаживания, скорее дань традиции, чем строго обоснованная процедура. Процедура их подсчета часто несет в семе элементы эвристик. Рассматриваемые методы могут производить оптимальные точечные прогнозы при некоторых специальных процессах получения данных, но обычно в общем случае мы не предполагаем, что специальные процессы получения данных действительно присутствуют. Вместо этого, методы алгоритмического сглаживания используются как "черные ящики", чтобы произвести точечные прогнозы без попытки выявить стохастическую структуру данных, без выявления наиболее подходящей модели, которая могла бы использоваться, чтобы произвести вероятностно обоснованный надежный интервальный прогноз или прогнозы плотности распределения в дополнении к точечному прогнозу. Однако в дальнейшем будут даны практические рекомендации по оценке доверительных интервалов прогноза, по крайней мере, на один шаг упреждения.

Методы взвешенного скользящего среднего Общая идея этих методов заключается в том, что мы выбираем интервал сглаживания m (m

Следует иметь ввиду, что процедура сглаживания может осуществляться, как для интервалов четной (m=2p), так и нечетной (m=2p+1) длинны. Предельным случаем алгоритмического сглаживания является сглаживание на основе простой арифметической средней по ряду.

T Обозначим исходные данные {yt} или yt и сглаженные {yt} или yt или t=) f (t). Запишем общий вид расчетной формулы точечного прогноза для взвешенных значений временного ряда yt:

p ) f (t) = y(t + i) еwi,где i=- p ) f (t) - взвешенное значение для t-го уровня ряда, t = p +1, p + 2,...,m - p -1,m - p.

wi - является весом для i-го значения интервала сглаживания при условии, wi і 0, = что.

еwi i Обычно сглаженное значение, в зависимости от процедуры может относиться к середине интервала, к последнему моменту времени рассматриваемого интервала (т.н. адаптивное сглаживание), либо к первому моменту времени, последующему за охваченным интервалом сглаживания.

Очевидно, что при таком расчете исходный ряд укорачивается на 2pзначений. Как уже отмечалось, интервал сглаживания может содержать как четное, так и нечетное количество членов. Нечетное количество членов, если так можно сказать удобнее, так как в этом случае сглаженное значение легко сопоставляется фактическому моменту времени. Если же сглаживание производится четным интервалом (это может быть необходимым, например, при расчете среднеквартальных годовых, среднемесячных недельных и так далее), когда в силу естественных причин мы не можем выбрать нечетный интервал, тогда сглаженное значение оказывается между фактическими уровнями ряда [3]. Например, для значения t рассчитываем сглаженное значение (берем фактические уровни с t-p по t+p интервал сглаживания m=2p).

В итоге получаем, что наше расчетное значение лежит между уровнями t-1 и t.

1 Определим этот момент, как t - (обозначим за половину единичного такта).

2 ) Тогда значение f (t) для t-го уровня находится как среднее из сглаженных значений ряда для t и t+1 уровня, то есть можно записать:

) )ж 1 ц )ж 1 цч 1 ж ц f (t) = з f t - ч з чч + f t + з з 2 2 и ш и ш и ш Стоит заметить, что вопрос выбора длины интервала сглаживания касается не только четности или нечетности. Величина m влияет на сглаживающие свойства модели. Далее будет показано что, чем больше m, тем сильнее модель гасит колебания. Это следует из формулы модельной дисперсии. В то же время, увеличивая интервал сглаживания, мы увеличиваем потерю данных.

Расчет весовых коэффициентов wi для методов скользящих средних проводится, опираясь на предположении теории аналитических функций о том, что любая гладкая функция в ограниченном интервале (в нашем случае это 2p+1 значений временного ряда) может быть представлена полиномом степени q f (t) = a0 + ti q. Т.е. в виде.

еai i=Соответственно, значения и структура весов будут зависеть от длины интервала сглаживания и степени аппроксимирующего полинома, использованного на этом интервале. Оценки коэффициентов выбранного полинома подбираются из условия минимизации суммы квадратов отклонений значения полинома и фактического значения в данной точке.

Для примера рассмотрим процедуры оценки весов для полиномов первого и второго порядков. Это соответственно метод простого скользящего среднего и метод взвешенного скользящего среднего [3].

Метод простого скользящего среднего Пусть для данного заданного интервала сглаживания m=2p+1 мы строим оценку фактического уровня ряда, используя полином первого порядка:

f (t) = a0 + a1t, t=1, 2, …, 2p+1.

Обычно время t в модели изменяется от начального момента к конечному.

В данном случае, для упрощения записи время изменяют таким образом, чтобы нулевой уровень соответствовал центру интервала сглаживания:

i = - p,...,0,...,+ p Параметр t специально заменен, чтобы была возможность легче отличать новый порядок изменения времени.

aЗапишем условие, из которого предстоит определить оценки и a1 :

p е(x(i)- a0 - a1i) ® min i=- p aaИспользуя, например МНК, находим частные производные по и.

Получаем следующую систему:

p p м (2m +1)a0 + a1 = y(i) еi е п i=- p i=- p п н p p p пa + a1.

0 еi е(i) =еiy(i) п i=- p i=- p i=- p о Далее, используя следствие замены, из которой p еi = и то, что оценка уровня ряда определяется в средней точке i=0, i=- p окончательно можно записать решение построенной системы в следующем виде:

p t+ p ) 1 f (t) = a0 + a1i = a0 = y(i) = y(i).

е е 2 p +1i=- p m i=t- p Таким образом, рассчитанное сглаженное значение t-го уровня ряда определяется по формуле:

i=t + p i=t + p yi yi е е i=t- p i=t - p yt = =, 2 p +1 m либо его можно найти, используя следующее рекуррентное соотношение:

yt + p + yt -( p+1) yt = yt-1 +.

m Этот метод относится к наиболее простым. Его использование позволяет сгладить циклические и случайные колебания в ряду.

Следовательно, точечный прогноз на t+1 период мы получаем yt+1 = f(t), то есть как последнее расчетное значение скользящей средней.

Для осуществления интервального прогноза необходимо рассчитать дисперсию прогноза, которая будет складываться из дисперсии модельной и случайной в соответствии со сделанными ранее замечаниями.

Величину модельной дисперсии можем найти следующим образом:

йi=t+ p щ yi е к ъ m 1 s Dy = Dкi=t- p ъ = = еDyt.

к ъ m m mt=к ъ л ы Соответственно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз рассчитываем как точечный прогноз плюс минус среднеквадратическая ошибка прогноза, умноженная на t-статистику Стьюдента с заданным уровнем n a значимости и соответствующей степенью свободы. Таким образом, окончательно имеем ) yN +1 = f ± ta (n )S 1+ N.

m Обобщенное представление методов взвешенного скользящего среднего Теперь допустим, что для данного заданного интервала сглаживания размером в m=2p+1-значений мы строим оценку фактического уровня ряда, используя полином второго порядка вида:

f (t) = a0 + a1t + a2t.

Проведем аналогичную показанной ранее замену для времени:

i = -2,...,0,...,2.

В этом случае параметры оценки коэффициентов аппроксимирующей параболы будут находиться из условия:

p (y(i)- a0 - a1i - a2i2) ® min.

е i=- p Определим частные производные данной функции по a0, a1 и a2, приравняв их к нулю, получим следующую систему равенств.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.