WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 21 |

основанием обычного требования о том, что для обосноПриняв некоторую гипотезу относительно формы n > m ванности спецификации должно быть по крайней мекривой, описывающей взаимосвязь переменных, требуется ре в 3-5 раз, а из двух объясняющих переменных хi, хj при однозначно подобрать параметры уравнения, т.к. через область, в которой расположены точки, соответствующие отrx x 0,8 одну следует исключить.

i j дельным наблюдениям, можно провести множество криПредпосылка 7. Эта предпосылка находит свое вывых. Ясно при этом, что, чем больше наблюдений, тем точражение в том, что предполагается односторонняя зависинее будут оценки.

мость.

Необходимо так подобрать кривую, чтобы расчетВ результате статистического наблюдения имеются ные значения были максимально близки данным наблюдеэмпирические значения независимых переменных и завиний. Различные методы оценивания параметров исходят из симой переменной. Проблема заключается в определении разных критериев и дают разные оценки параметров для параметров уравнения регрессии. Имеющиеся данные наодних и тех же наблюдений. Оценки при этом обладают блюдений представляют выборку ограниченного объема, различными статистическими свойствами. Сравнительный по которой невозможно получить истинные значения паанализ подходов к определению параметров регрессии раметров. Расчетные значения являются лишь статистичеприведен в работе С. Лизер.скими оценками истинных параметров.

При оценивании параметров также осуществляется Получаемые при расчете МНК оценки параметров проверка по отношению к ним выдвинутых гипотез отнопри условии, что приведенные выше предпосылки справедливы, обладают ценными для применения регрессий в прогнозировании свойствами. Лизер С. Эконометрические методы и задачи (Пер. с англ.). М., "Статистика", 1971, с.15-21.

77 сительно характера взаимосвязи, ее адекватности природе жду ними криволинейная и описывается параболой, т.е.

закономерностей в изменении переменных, возможностям полиномом второй степени, с параметрами а0,а1,а2 :

прогнозирования на основе зависимости и т.п.

y = a0 + a1x + a2x2, Значительный вклад в развитие новых методов пото задача сводится к отысканию неизвестных трех паралучения статистических выводов при исследовании эконометров.

мических явлений и процессов вносит эконометрическая При числе наблюдений (количестве уровней в рятеория. Стоит отметить, что достижения именно в области дах) n, значения величин x и y представлены двумя рядаэконометрики отмечены Нобелевскими премиями: Рагнар ми данных:

Фриш и Ян Тинберген (1969), Лоуренс Клейн (1980), y1, y2,..., yn Трюгве Хаавельмо (1989), Джеймс Хекман и Даниэл МакФадден (2000), Роберт Энгл и Клайв Гренджер (2003).

x1, х2,..., хn Если бы все значения, полученные по данным на4.4.Метод наименьших квадратов блюдения, лежали строго на линии, описываемой уравнеи его оценки нием параболы, то для каждой точки было бы справедливо следующее равенство:

Создание метода наименьших квадратов восходит к yt - a0 - a1xt - a2xt2 = 0.

трудам Карла Фридриха Гаусса в конце ХV111 и начале Однако в действительности Х1Х века в области исследований по астрономии. Матемаyt - a0 - a1xt - a2xt 2 = t, тический метод был открыт в связи с необходимостью обработки неравноценных наблюдаемых данных.

которое существует вследствие ошибок измерения и слуВ дальнейшем применил способ наименьших квадчайных неучтенных факторов. Необходимо найти такие ратов и развил теорию ошибок Пьер Симон Лаплас. Также коэффициенты регрессии, чтобы ошибка была минимальсущественный вклад в развитие метода внес Адриен Мари ной. Можно минимизировать сумму абсолютных (по модуЛежандр.

лю) отклонений или сумму кубических отклонений или Этот метод приобрел самую широкую известность наибольшую абсолютную ошибку. Однако оптимальным благодаря фундаментальным трудам многих статистиков и подходом является минимизация квадрата отклонений n математиков9 и его применению в экономикоS= min.

t статистических расчетах.

t=Рассмотрим метод наименьших квадратов на проМинимизация квадратов отклонений обладает тем стом примере зависимости между двумя переменными x и свойством, что число нормальных уравнений равно числу y, причем y зависит от x. Если установлено, что связь менеизвестных параметров. Минимизация суммы n n 9 Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математикоS= = yt - a0 - a1xt - a2xt2 min ( t статистической теории обработки наблюдений. М., Физматгиз, 1962. t=1 t=Перегудов В.И. Метод наименьших квадратов и его применение в исдает три уравнения для каждого из трех параметров. Для следованиях. М., Статистика, 1965.

нахождения значений неизвестных параметров необходимо 79 приравнять нулю частные производные указанной суммы Метод наименьших квадратов может быть испольпо этим параметрам: зован и в случаях, когда имеются данные косвенных наблюдений, являющиеся функциями многих неизвестных.

S =-2 y - a0 - a1x - a2x2) = ( МНК является основой регрессионного анализа, исполь a зуемого при выполнении предпосылок, рассмотренных S выше. Также условием его применения является линей= -2 y - a0 - a1x - a2x2)x = 0. (4.10) ( a1 ность уравнений регрессии относительно параметров. Ис ходя из классификации видов регрессии МНК применим S = -2 ( y - a0 - a1x - a2x2)x2 = для линейных и нелинейных регрессий первого класса.

a4.5.Прогнозирование на основе анализа одиночных Проведение простейших преобразований приводит к временных рядов системе нормальных уравнений:

Экстраполяция тренда. Понятие временных рядов na0 + a1 + a2 2 = y x x и их роль в анализе социально-экономических процессов a0 + a1 2 + a2 3 = yx. (4.11) x x x даны в главе 3. Экстраполяцию уровней временного ряда 23 a + a1 + a2 = yx0 x x x yt можно представить в виде:

yt+L = f ( y, L), t Решение системы линейных относительно неизвестгде yt+L - экстраполируемое значение уровня;

ных параметров уравнений любым из способов дает значеL- период упреждения;

ния а0,а1,а2. Обычно полиномы выше третьей степени пракyt - уровень, принятый за базу экстраполяции.

тически не используются, то система нормальных уравнений такого полинома будет состоять соответственно из че- Экстраполяция представляет продление в будущее тырех уравнений. тенденции, наблюдавшейся в прошлом или в ретроспекМНК даже при сравнительно небольшом числе на- тивном периоде, т.е. периоде, за который имеются эмпириблюдений приводит к получению достаточных оценок. ческие результаты наблюдения, позволившие эту тенденОценки могут быть точечными и интервальными. Точеч- цию выявить. При этом предполагается, что размер признаные оценки обладают свойствами несмещенности, эффек- ка, характеризующего явление, формируется под воздейсттивности, состоятельности, описанными в предыдущем па- вием множества факторов, выделить отдельное влияние кораграфе. торых сложно. Поэтому развитие явления связывается с теОднако любая оценка истинного значения парамет- чением времени. Простейшие приемы экстраполяции прира по выборочным данным может быть произведена только ведены в 2.4.

с определенной степенью достоверности. Степень этой Экстраполяция исходит из предпосылок:

достоверности определяется путем построения довери• устойчивости траектории в прошлом и наличия тельных интервалов.

значительной инерции в развитии;

81 3) тренд характеризует некий средний уровень на • неизменности объекта и сохранения структуры;

каждый момент времени и имеют место отклонения от не• целостности объекта.

го.

Применение экстраполяции основано на допущениВ отличие от прогноза на основе регрессионных или ях:

,например, балансовых моделей, прогноз по тренду не по• развитие явления может быть с достаточным осзволяет осуществлять имитацию, варьируя факторы и иснованием описано основной тенденцией - трендом;

пользуя их в качестве параметров уравнения.

• условия развития объекта не претерпят сущестРасчет доверительных интервалов. При опредевенных изменений.

лении прогнозных значений при помощи экстраполяции Важно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динанаибольший интерес представляет не столько сама экстрамики в принципе носит не только приближенный, но и усполяция, сколько определение доверительных интервалов ловный характер. При разработке прогнозов социальнопрогноза. Прогноз является точечным, в то время как экоэкономических явлений привлекается дополнительная инномические переменные непрерывны. Некоторые из них формация, на основе которой в полученные методом экстявляются моментными, например, стоимость капитала, а раполяции количественные оценки вносятся соответнекоторые являются кумулятивными, например, прибыль.

ствующие коррективы. Кроме того, упрощенная, несколько Вопрос о доверительном интервале связан с выбовидоизмененная модель экстраполяции, используемая в ром измерителя колеблемости. Обычно таковым является стандартных средствах Excel, несколько снижает качество среднее квадратическое отклонение фактических наблюдепрогнозных оценок, однако простота в эксплуатации, многоний от расчетных, полученных при аналитическом выраввариантность расчетов и применение в статистическом ананивании ряда. Среднее квадратическое отклонение от лизе основополагающих принципов построения, базируютренда равно:

щихся на построении математических моделей, говорят в n пользу их применения для текущего оперативного кратко€ ( yt - yt )срочного прогнозирования социально-экономических явлеt= =, (4.12) y ний.

k Методические подходы к выбору вида кривой под€ где yt, yt - фактическое и расчетное значения члена ряда;

робно представлены в предыдущей главе. Совпадение факk - число степеней свободы, k = n - m, где n - число тических данных и прогнозных точечных оценок, полученнаблюдений, m - число параметров.

ных путем экстраполяции кривых – явление маловероятное.

Если тренд представляет линейную зависиСоответствующая погрешность имеет источники:

€ мость yt = a + bt, то использование метода наименьших 1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма;

квадратов приводит к упрощенным формулам расчета па2) оценивание параметров кривых производится на раметров. Сумма квадратов отклонений приводится к виду:

основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту;

83 nn Выражение (4.14) показывает, что сумма квадратов € - € € ( yt - yt )2 = ( yt2 2 yt yt + yt2) = отклонений от линейного тренда меньше, чем от средней t=1 t=арифметической. Этим выражением можно воспользоватьn ся от определении характеристик колебаний вокруг тренда = yt2 - 2 yt(a + bt) + (a + bt)2 = (4.13) t=1 до определения самого тренда.

nn n n Сумма квадратов отклонений от линий тренда, т.е = yt2 - 2a yt - 2bytt + a2n + 2ab + b2 t t € ( yt - yt )2, и среднее квадратическое отклонение от t=1 t=1 t=1 t=Выражение (4.13) можно упростить, приняв начало тренда (4.12) являются основой при определении средy n ней квадратической ошибки отдельных параметров уравотсчета в середине ряда, тогда = 0. Параметры a и b t нения тренда и их доверительных интервалов, а также t=ошибки и доверительных интервалов тренда и прогноза.

для линейного тренда равны:

Определение доверительных интервалов требует yt 2 ytt t - t a = учета отличия выборочных данных от уровней временного n - ( t t) ряда. Предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии n ytt - yt t.

b = 22 не может безоговорочно утверждаться при анализе вреn - ( t t) менных рядов. Это осталось проблемой после дискуссий в n статистической науке в середине прошлого века.

При = t Получаемые параметры не свободны от погрешноt=сти, связанной с тем, что объем информации, на основе коyt yt t a =, b =. (4.14) торой производится оценивание, ограничен и в некотором n t смысле представляет выборку. Смещение периода наблюПосле упрощений выражение (4.13) имеет вид:

дения всего на единицу времени приводит к изменению численных оценок параметров.

n Доверительный интервал в общем виде для тренда ( yt )2 ( ytt) € ( yt - yt )2 = yt2 - -.

2 находится как n t=t € yt ± t, € y Разность первых двух членов выражения справа € где - средняя квадратическая ошибка тренда; yt - расравна сумме квадратов отклонений от средней арифмети- y € n четное значение y ; t - значение t-статистики Стьюдента.

t € ческой, т.е ( yt - yt )2. Тогда Экстраполяция на период (t+L) (L=1,2,... является t=n периодом упреждения) представляет расчет ( yt)t € € ( yt - yt )2 = ( yt - yt )2. (4.15) yt+L = a + b(t + L). Доверительный интервал для прогноза t=t должен учитывать не только неопределенность, связанную со спецификацией тренда, но и вероятность отклонений от 85 тренда. Если обозначить соответствующую среднюю квад- сумму квадратов этих отклонений можно получить по формуле ратическую ошибку прогноза, то доверительный инр тервал прогноза составит -1) € yt+L ± t.

p.

(t - t )2 = n(nДоверительные интервалы для линейного тренда n +1 n + 2L -y = a + bt + определяются, исходя из того, что параметры Величина tpacч - t = n + L - =. Учитыa, b являются выборочными оценками, для которых можно вая отмеченное, корень выражения (4. ) можно обознанайти средние квадратические ошибки. В общем виде для чить К и записать следующим образом:

регрессии y = a + bх + n +1 3(n + 2L -1) K =+. (4.18) (xp ) = 1+ +, (4.16) n n(n2 -1) p y n (x )Значение К зависит только от n и L, т.е. продолжи где xp = xt+L - x, где хt+L – расчетное, а x - среднее тельности периода наблюдения и периода упреждения и может быть протабулировано. Доверительный интервал значение независимой переменной, - средний квадрат р € yt+L ± t K. (4.19) y отклонений эмпирических yt от расчетных, а (x) - С увеличением ретроспективного периода значения сумма квадратов отклонений фактических значений переК уменьшаются, а с увеличением L растет.

менной от их средней.

Методика расчетов временных трендов с применеПоскольку независимой переменной в тренде являнием статистического пакета "STATISTICA" и варианты ется время t, то произведя замены, получим:

заданий для самостоятельной работы даны в работе ( 1).

Прогнозирование сезонных колебаний. Уравнения (tрасч - t )n + = +, (4. 17 ) p y n тренда y = f (t) могут использоваться при изучении цик€ n (t - t )лических колебаний в динамике социально-экономических t=явлений с сезонным характером проявления.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.