WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 21 |

ставляют результат одновременно и совокупно дейст- Существует различие между функциональной завивующих причин. В таких случаях отделяются главные при- симостью и регрессией. Кроме того, что переменная х при чины от второстепенных, несущественных. функциональной зависимости у = f(x) полностью определяМежду явлениями различают два вида зависимо- ет значение функции у, функция обратима, т.е. существует стей: функциональную, или жестко детерминированную, и обратная функция x = f(y). Функция регрессии таким свойстатистическую, или стохастически детерминированную. ством не обладает. Только в предельном случае, когда стоПри функциональной зависимости каждому значению не- хастическая зависимость переходит в функциональную зазависимой переменной x однозначно соответствует вполне висимость, из одного уравнения регрессии можно перейти определенное значение зависимой переменной y. Эту зави- в другое.

симость можно описать в виде равенства y = f(x). Приме67 Формализация вида уравнения регрессии неадек- 2. Множественная регрессия, т.е. зависимость ватна целям, связанным с измерениями в экономике и с между переменной y и несколькими причинно обуслованализом тех или иных форм зависимостей между пере- ленными объясняющими переменными x1, x2,...,xm. Функменными. Решение подобных задач становится возможным € ция регрессии y = f (x1, x2,..., xm). С помощью функции в результате введения в экономические соотношения сторегрессии количественно оценивается усредненная завихастического члена:

симость между исследуемыми переменными.

€ y = f (x) + u.

Случайная переменная u, При изучении зависимостей следует иметь в виду, € u = y - y, что функция регрессии только формально устанавливает характеризует величину отклонения переменной y от велисоответствие между переменными, в то время как они мо€ € чины y, вычисленной по функции регрессии y=f(x). Слугут не состоять в причинно-следственных отношениях. В чайная переменная u называется возмущающей или, кратэтом случае могут возникнуть ложные регрессии вследстко, возмущением. Она включает влияние неучтенных факвие случайных совпадений в вариациях переменных, кототоров, случайных помех и ошибок измерения. Отдельные рые не имеют содержательного смысла. Поэтому обязазначения возмущающей переменной ведут себя случайным тельным этапом перед подбором уравнения регрессии явобразом или рандомизированно.

ляется качественный анализ зависимости между незавиЗависимую переменную y можно представить в висимой переменной х и зависимой переменной у, основанде:

ный на предварительных гипотезах.

€ y = y + u, или с учетом (2.1) 4.2. Классификация видов регрессии y = f (x1, x2,..., xm) + u.

Такой вид записи позволяет интерпретировать слуОтносительно числа явлений (переменных), учитычайную переменную u как учитывающую неправильную ваемых в регрессии, различаются:

спецификацию функции регрессии, т.е. неправильный вы1. Простая (парная) регрессия, т.е. регрессия бор вида уравнения, описывающего зависимость.

между двумя переменными. Одна переменная, подлежащая Благодаря введению случайной переменной u, пеобъяснению, является зависимой, результативной переременная y также становится случайной, поскольку ей менной или регрессандом. Другая независимая переменнельзя при заданных значениях объясняющих переменных ная, предсказывающая изменение зависимой, является x1, x2,..., xm поставить в соответствие только одно опредефакторным признаком или регрессором. Таким образом, ленное значение.

простая регрессия есть односторонняя стохастическая заОтносительно формы зависимости между переменвисимость результативной переменной только от одной ными различаются:

объясняющей переменной. В уравнении € 1. Линейная регрессия с линейной зависимостью y=f(x) (4.1) мжду переменными. В случае парной линейной регрессии справа находится оценка зависимой переменной, полученуравнение имеет вид:

ная на основе уравнения при некоторых усредненных условиях.

69 € функцию для удобства можно представить в виде линейy = a0 + a1x, (4.2) ной множественной регрессии, проведя замену переменгде х – объясняющая переменная. Коэффициенты а0 и аных. Например, в полиноме y = a + b x + c x2 + d x3 + u являются оценками соответствующих параметров регрессии заменим x = z1; x2 = z2; x3 = z3; a = a0;b = a1;c = a2;d = a3.

При исследовании зависимости одной переменной Тогда уравнение можно записать в виде:

от нескольких объясняющих переменных x1, x2,..., xm при € y = a0 + a1z1 + a2z2 + a3z3.

линейной зависимости уравнение регрессии принимает Второй класс регрессий характеризуется нелинейвид:

ностью по оцениваемым параметрам. Эти регрессии назыy = a0 + a1x1 + a2x2 +... + amxm. (4.3) ваются существенно нелинейными регрессиями. Оценить Переменные x1, x2,..., xm оказывают совместное параметры обыкновенным методом наименьших квадратов влияние на зависимую переменную y.

невозможно, т.к. имеют место нелинейные уравнения от2. Нелинейная регрессия с нелинейными зависимоносительно неизвестных параметров.

стями в уравнении регрессии. Различают два класса нелиСущественно нелинейными регрессиями являются нейных регрессий. К первому классу относят регрессии, следующие функции, наиболее часто используемые для нелинейные относительно включенных в уравнение объописания экономических процессов:

ясняющих переменных хк, но линейных относительно оце€ степенная функция y = axb ; (4.5) ниваемых параметров ак. Эти регрессии называются квазилинейными или существенно линейными регрессиями.

€ показательная функция y = abx ; (4.6) Преимущество таких уравнений в том, что для них остаются в силе все предпосылки классического линейного регрессионного анализа. Параметры оцениваются непоa € логистическая функция y =, средственно обыкновенным методом наименьших квадра1+ be-cx тов.

a Примером данного типа регрессий являются поли- или y = (4.7) 1+ eb-cx номы разных степеней y = a + b x + c x2 + d x3 + u ; гиИспользование регрессий данного класса связано с b вычислительными трудностями, т.к. эти уравнения не доперболы y = a + + u.

x пускают непосредственного применения обыкновенного В общем виде квазилинейная регрессия записываетметода наименьших квадратов. Линеаризация уравнения ся в виде:

осуществляется посредством логарифмирования, для € y = a0 + a1F1(x) + a2F2(x) +... + apFp(x), (4.4) функции (4) преобразование имеет следующий вид:

€ log y = log a + b log x. (4.8) где F1(x), F2(x),... - функции от объясняющих переменных.

€ € При замене log y = z ; log a = b0 ; log x = u, уравнеОни не содержат других параметров. Это могут быть ние (4.8) принимает вид линейной функции функции: F1(x) = sin x, F2(x) = и пр. Квазилинейную z = b0 + bu.Логарифмирование показательной функции x 71 € € (4.6) приводит к выражению log y = log a + x logb, а логи- y = + x, (4.9) стической соответственно: где и - постоянные неизвестные и подлежащие оцен€-1) ln(a / y = ln b - cx, ке коэффициенты (параметры), х -независимая переменная €-1) ln(a / y = b - cx. (регрессор), y - зависимая переменная (регрессанд).

Нелинейные регрессии второго класса представляют В действительности, на практике между х и y небольшой экономический интерес. Наибольшую извествозможно установить жесткую зависимость. Если она моность из них приобрели производственные функции. Более жет быть представлена, например, в виде линейной взаиподробно с точки зрения прикладных аспектов они расмосвязи, то отдельные наблюдения y будут в большей смотрены в следующем разделе в главе "Прогнозирование или меньшей мере отклоняться от линейной взаимосвязи в экономического роста".

силу воздействия различных неучтенных факторов, случайных причин, помех и т.п. Отклонения от теоретических 4.3. Исходные предпосылки регрессионного значений, естественно, могут возникнуть и в силу непраанализа и свойства оценок вильной спецификации уравнения, описывающего эту взаимосвязь.

Изучение статистической зависимости требует досУчитывая возможные отклонения, уравнение взаитаточно большого объема информации, а именно - данных мосвязи двух переменных можно представить в виде:

по достаточно большой совокупности единиц наблюдения.

y = + x + u, В соответствии с законом больших чисел случайность исгде u - случайная переменная, называемая возмущением и чезает тем в большей степени, чем больше единиц наблюуже описанная в 4.2. Возмущение представляет аддитивдения подвергается обследованию.

ную составляющую, учитывающую ошибки измерения и Также исследование взаимосвязей между переменошибки спецификации.

ными, представляющими значения признаков у единиц соПри проведении расчетов по специфицированной вокупности, предполагает однородность совокупности. То функции и после нахождения параметров определяются есть единицы совокупности должны обладать по крайней оценки возмущения или случайных остатков. Они не являмере несколькими общими признаками.

ются реальными случайными остатками, а лишь некоторой Использование обыкновенного метода наименьших выборочной реализацией u. При изменении спецификации квадратов требует выполнения определенных допущений модели, добавлении новых факторов и наблюдений выбоили предпосылок относительно основных компонентов рочные оценки остатков будут меняться. Поэтому при исмодели. Условием применения метода наименьших квадпользовании метода наименьших квадратов (МНК) относиратов является соответствие распределения единиц совотельно компонентов регрессии, в том числе возмущения, купности по зависимому и независимому признаку норпредварительно формулируются предпосылки.

мальному закону. Пусть ставится задача описания в виде Предпосылки регрессионного анализа приводятся в некоторой функции взаимосвязи двух переменных х и y.

учебных изданиях ( 2, 7, 8). Наиболее систематизированПредположим, что между этими переменными теоретиченый вид они имеют в пособии В.М. Ивановой (2, с.39).

ски существует простейшая линейная зависимость:

73 Основные предпосылки касаются случайной пере- ния регрессии и параметров уравнения, а также при поменной и определяют гомоскедастичность или гетероске- строении доверительных интервалов.

дастичность оценок. Предпосылки относительно случай- Предпосылка 2. Суммарный эффект от воздействия ной составляющей имеют предварительный характер. По- на зависимую переменную неуточненных факторов-причин сле построения уравнения регрессии осуществляется про- и случайностей учитывается возмущающей переменной.

€ верка наличия тех свойств, которые предполагались. В та- При интерпретации значений регрессии y указывается, ких случаях речь идет о случайных остатках, исходя из точто это такие значения переменной y, которые можно € го, что и = y - y. Комплекс наиболее важных предпосыбыло бы ожидать в среднем для заданных значений перелок можно свести к следующим положениям.

менных хk, т.е. средний уровень переменной y определя1. Возмущающая переменная и является ется только функцией (4.9) и возмущающая переменная не случайной величиной и нормально распределена.

коррелирует со значениями регрессии. Следовательно, 2. Математическое ожидание возмущения среднее значение переменной y при фиксированных знаМ (и) = 0, т.е. средняя величина остатков равна нулю.

чениях переменных хk (условное математическое ожида3. Дисперсия возмущений = const (свойи € ние) равно значению регрессии y, а это значит, что средство гомоскедастичности).

ний остаток равен нулю.

4. Возмущения свободны от автокорреляции, Предпосылка 3. Для каждого объекта в статике, а т.е. последовательные значения и не зависят друг от друга.

при анализе временных рядов – в различные периоды вре5. Матрица Х имеет полный ранг и свободна мени, возмущающая переменная, учитывающая случайот экстремальной коллинеарности.

ности, оказывает одинаковое влияние. Если это условие не 6. Объём наблюдений больше числа факторсоблюдается, то имеет место свойство гетероскедастичноных признаков ( n> m).

сти.

7. Объясняющие переменные не коррелируПредпосылка 4. Эта предпосылка особенно важна ют с возмущающей переменной.

при анализе временных рядов. Значения возмущающей пеПредпосылка 1. При построении регрессии предпоременной попарно некоррелированы, т.е. ковариации возлагается, что зависимый признак y зависит только от тех мущающих членов равны нулю. Если возмущающие переобъясняющих переменных xk (k = 1,2,...m), которые вклюменные содержат тренд или циклические колебания, то почены в регрессию. Возмущающая переменная распределе- следовательные возмущения, действующие в различные моменты времени, коррелированы. Такой вид зависимости на нормально с параметрами N(0,u2) и не оказывает суназывается автокорреляцией возмущений или остатков.

щественного влияния на переменную y. Это одновременПредпосылки 5 и 6. При нахождении оценок парано означает, что переменные y и xk (k = 1,2,...m) распреметров методом наименьших квадратов система нормальделены нормально. При нахождении параметров уравнения ных уравнений имеет решение только тогда, когда сущестрегрессии соблюдение этой предпосылки не требуется.

вует обратная матрица (Х Х )-1. Поэтому предполагается, Однако это необходимо при проверке значимости уравне что Х Х - невырожденная матрица или, что то же самое:

75 Ранг Х = m +1. 1. Оценки параметров являются несмещенЭто означает, что число наблюдений должно пре- ными, т.е. математическое ожидание оценок параметров вышать число параметров. Определитель матрицы Х Х равно истинному значению параметров. Такие оценки должен быть отличен от нуля: можно использовать для сравнения результатов по разным исследованиям.

det( XX ) 0, 2. Оценки параметров являются эффективчто является необходимым и достаточным условием сущеными, т.е они характеризуются минимальной дисперсией.

ствования матрицы (Х Х )-1.

В практических исследованиях это означает возможность Из этого вытекает требование, что между объясперехода от точечного оценивания к интервальному (неняющими переменными не должно существовать строгой прерывному).

линейной зависимости, т.к. в этом случае ранг матрицы Х 3. Оценки состоятельны, т.е. их точность будет равен нулю. Наличие линейной связи между объясдолжна возрастать по мере увеличения числа наблюдений.

няющими переменными называется мультиколлинеарноДругими словами дисперсия оценки параметра стремится к стью. В частном случае для двух переменных используетнулю с ростом n. Это свойство определяет качество довеся термин "коллинеарность".

рительных интервалов. Значения доверительной вероятноРассмотренная предпосылка является формальным сти стремятся к единице.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.