WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 ||

Поскольку =14 > 4 = 14, то не прекращаем ветвление из 4-й вершины. Таким образом, I = {4}.

Проверяем условие окончания вычислений.

Поскольку I, то выполняем 3-й этап.

На 3-м этапе следует осуществлять ветвление из вершины 4, которой соответствует оптимальное значение f (x(4)) = 14.

Несмотря на то, что полученное значение f превышает нижнюю границу целевой функции для целочисленного решения 4 = 14, дальнейшее ветвление из вершины 4 не позволяет улучшить нижнюю границу, поскольку f (x(4)) - 4 <1 и все коэффициенты целевой функции являются целыми числами. Таким образом, ветвление из вершины 4 в лучшем случае приведет к другому целочисленному решению, для которого f = 14. Если поиск других решений с тем же самым значением f не представляет интереса, то ветвление из вершины 4 осуществлять нецелесообразно и вычисления можно завершить. При этом f = 4 = 14, x = x(3) = (4, 2).

Ответ: x = (4, 2), f = 14.

Задачи 1. Решить методом ветвей и границ следующую целочисленную задачу ЛП:

f (x) = x1 + 2x2 max, 4x1 + 2x2 13, x1 0, x2 0, x1, x2 - целые.

2. Решить методом ветвей и границ следующую целочисленную задачу ЛП:

f (x) = 2x1 + 2x2 max, 2x1 + 5x2 16, 6x1 + 5x2 30, x1 0, x2 0, x1, x2 - целые.

Рис. 11.ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ «ЗАДАЧА ВЫБОРА ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ» 1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ Определение оптимального портфеля ценных бумаг представляет собой одну из важнейших задач, с которыми сталкиваются инвестиционные фирмы (банки, страховые компании и др.).

Под портфелем понимают набор вложений в различные виды ценных бумаг: обычные облигации, банковские депозитные сертификаты, обычные акции и др. Для анализа задачи выбора портфеля ценных бумаг разработан ряд математических моделей.

Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал K в следующем инвестиционном периоде в ценные бумаги N видов, требуется определить соответствующие доли вложений. Пусть x, j =1, N, - величина капитала, вкладыj ваемого в ценные бумаги j-го вида. Тогда на переменные x наj кладываются следующие ограничения:

N xj K, j =x 0, j = 1, N.

j Предположим, что фирма имеет статистические данные о доходности от вложений rj (t), j = 1, N, t = 1,T, для каждого вида ценных бумаг за T периодов, начиная с периода t0. Доходность rj (t) определяется как доход за период t на одну денежную единицу вложений в ценные бумаги вида j. Величину rj (t) можно определить из соотношения cj (t +1) - c (t) + d (t) j j rj (t) =, c (t) j где c (t) - цена бумаг j-го типа на начало периода t;

j d (t) - суммарные дивиденты, полученные за период t.

j Значения rj (t) непостоянны и могут сильно колебаться от периода к периоду. Эти значения могут иметь любой знак или быть нулевыми. Для оценки целесообразности вложений в ценные бумаги j-го вида следует вычислить среднюю или ожидаемую доходность µ от ценных бумаг вида j j t0 +T -µ = rj (t).

j t=tT Средний или ожидаемый доход E(x) портфеля ценных бумаг определяется следующим образом:

N E(x) = µ x.

j j j =Наряду со средним (ожидаемым) доходом важнейшей характеристикой портфеля ценных бумаг является риск, связанный с инвестициями. В качестве меры инвестиционного риска можно рассматривать величину отклонения доходности от ее среднего значения за последние T периодов. Тогда оценкой инвестиционного риска для бумаг вида j является дисперсия, которая выjj числяется по формуле t0 +T - = [rj (t) - µ ] 2.

jj j t =tT Кроме того, курсы некоторых ценных бумаг подвержены совместным колебаниям (примерами таких ценных бумаг являются акции нефтяных и автомобильных компаний). Оценкой инвестиционного риска для пары видов ценных бумаг, принадлежащих к взаимосвязанным областям экономики, является ковариация ij, которая вычисляется по формуле t0 +T -ij = - µi] [rj (t) - µ ]..

[ri(t) j t=tT Заметим, что при i=j эта величина сводится к дисперсии бумаг вида j.

Таким образом, в качестве меры инвестиционного риска портфеля ценных бумаг может служить величина N 2 V (x) = x2 + ij xix.

jj j j j =1 i j i Отметим, что слагаемые двойной суммы приведенного выражения определяются лишь для тех пар видов ценных бумаг, которые принадлежат к взаимосвязанным областям экономики.

На основании описанных характеристик - ожидаемый доход E(x) и инвестиционный риск V(x) - предложено несколько моделей, оптимизирующих портфель ценных бумаг. Рассмотрим три из них.

Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций.

Модель имеет вид N E(x) = µ x max, j j j =N xj K, j =x 0, j = 1, N.

j Данная модель является моделью линейного программирования (ЛП). Оптимальное решение x ={x}, j = 1, N, j E = E(x ) может быть найдено, например, симплекс-методом.

Портфель ценных бумаг может также формироваться с учетом различных ограничений, связанных с политикой фирмы.

Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Различные виды ценных бумаг можно отнести к различным группам инвестиционного риска. Например:

1-я группа - низкий риск;

2-я группа - средний риск;

3-я группа - высокий риск.

К группе 1 могут быть отнесены обычные облигации, текущие банковские счета, банковские депозитные сертификаты и др. Такие «безопасные» с точки зрения риска инвестиции дают, однако, небольшой доход.

К группе 2 могут быть отнесены обычные акции. Доход от таких ценных бумаг выше, но он подвержен значительным колебаниям, что увеличивает риск.

К группе 3 могут быть отнесены различные «спекулятивные акции». Курс таких ценных бумаг имеет тенденцию к сильным колебаниям, что увеличивает риск, но ожидаемый доход от них может быть достаточно высок.

Политика фирмы состоит в том, что фирма выделяет из общей суммы наличного капитала определенные доли средств на вложения в бумаги различных групп.

Так, правления многих инвестиционных фирм считают необходимым вкладывать определенную часть капитала в бумаги с низким риском. Такое ограничение записывается следующим образом:

x b1K, j jJJгде - множество индексов бумаг 1-й группы.

b1 - минимальная доля вложений в бумаги 1-й группы.

С другой стороны, большинство инвестиционных фирм ограничивают размеры вложений в обычные и тем более «спекулятивные» акции, так как доход от них подвержен значительным колебаниям. Такие ограничения записываются следующим образом:

x b2K, j jJ xj b3K, jJгде J2, J3 - соответственно множества индексов бумаг 2-й и 3-й групп;

b2, b3 - соответственно максимальные доли вложений в бумаги 2-й и 3-й групп.

Таким образом, оптимизационная модель имеет вид N E(x) = µ x max, j j j =N xj K, j =x b1K, j jJx b2K, j jJ xj b3K, jJx 0, j = 1, N.

j Данная модель также является моделью ЛП. Оптимальное { } решение x = x, j = 1, N, E = E(x) может быть найдено люj бым из методов ЛП.

Главный недостаток моделей 1 и 2 состоит в том, что риск, связанный с инвестициями, в них не учитывается. Портфель ценных бумаг, который находится в результате решения соответствующих задач ЛП, может обещать высокий средний доход, но при этом инвестиционный риск также будет велик. Вследствие этого истинный доход может оказаться значительно ниже ожидаемого. Этого недостатка лишена модель 3.

Модель 3. Минимизация инвестиционного риска при заданном среднем доходе.

Владельцы ценных бумаг могут быть заинтересованы в получении заданного ожидаемого дохода R при минимальном риске. Оптимизационная модель в этом случае имеет вид N 2 V (x) = x2 + ij xix min, jj j j j =1 i j i N E(x) = µ x R, j j j=N xj K, j =x 0, j = 1, N.

j Отметим, что в модель могут быть введены дополнительные (подобные рассмотренным выше) ограничения, определяемые политикой фирмы.

Данная модель является моделью квадратичного программирования, так как целевая функция квадратичная, а ограничения { } линейные. Оптимальное решение x = x, j = 1, N, V = V (x ) j может быть найдено методом квадратичного программирования.

2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Исходные данные для составления моделей и расчетов помещены в табл. 1 и 2. Всего рассматривается 6 видов ценных бумаг, т.е. N=6. Предполагается, что к 1-й группе инвестиционного риска относятся бумаги 1-го и 2-го видов, т.е. J1 = {1,2}, ко 2-й группе - бумаги 3-го и 4-го видов, т.е. J2 = {3,4}, к 3-й группе бумаги 5-го и 6-го видов, т.е. J3 = {5,6}. Также предполагается, что бумаги 2-й группы инвестиционного риска (3-го и 4-го видов) принадлежат к взаимосвязанным областям экономики.

Следует иметь в виду, что данные о доходности ценных бумаг, приведенные в табл. 2, - гипотетические, т.е. не соответствуют реальным ценным бумагам, хотя и отражают характер «поведения бумаг» соответствующего типа.

Величины bi, i = 1,3, указаны в процентах от наличного капитала K.

3. ЗАДАНИЕ 1. Согласно заданному преподавателем варианту определить по табл. 1 величину наличного капитала К, значения коэффициентов bi, i = 1,3, анализируемые периоды времени t. Для заданных периодов времени t из табл. 2 выбрать данные о доходности ценных бумаг rj (t), j = 1,6.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.