WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

Таблица 5.Номер * zi f (zi ) fi*1 zi-отсчета < 11,5 -0,< 1000 2 2,5 0,625 > 1,-0,33,5 51,6 > 1,-0,1,-0,Поскольку i=3= N0 / 2, то вычисления завершаются. В итоге получаем * * z3 = f (z3 ) -0,375, 1,5, = - 0,375 + 0,625 + 51,M = = 17,3.

Поскольку M1 > M, то выбираем для дальнейшего исследования D2.

Второй этап * Полагаем x0 = 1,5, f0* = -0,375.

Определяем xi с помощью следующего соотношения:

b2 - axi = a2 + (2i -1), i = 1, N - N0.

(N 2 - N0 ) В итоге получаем 4 -xi = 1+ (2i -1) = 0,625 + 0,75i, i = 1,4.

Результаты вычислений заносим в табл. 5.6.

Таблица 5.Номер * xi f (xi ) fi*1 xi-отсчета < 1 1,375 1,02 > 1,-0,2 2,125 -1,98 -0,< 1,3 2,875 9,78 > 2,-1,4 3,625 65,8 > 2,-1,2,-1,Поскольку i=4= N - N0, то вычисления завершаются.

* Ответ: x* 2,125, f -1,98.

Задачи 1. Определить с помощью сканирования минимум функции f (x) = -exp {-2(x -1)2} - 2exp{-4(x - 3,2)2}, заданной на отрезке = [0, 4], при N=10.

2. Определить с помощью поиска с уточнением минимум функции f (x) = -exp {-2(x -1)2} - 2exp{-4(x - 3,2)2}, заданной на отрезке = [0, 4], при N=10, n=2, N1=6, N2=4.

3. Определить с помощью поиска с разведкой минимум функции f (x) = -exp {-2(x -1)2} - 2exp{-4(x - 3,2)2}, заданной на отрезке = [0, 4], при N=10, N0=6.

6. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ Градиентные методы относятся к группе методов спуска, являющихся численными методами решения задач безусловной минимизации f (x) min, x Rn.

Исходя из заданной начальной точки x(0), методы спуска позволяют строить последовательность точек x(1), x(2),…, удовлетворяющих условию f (x(k )) < f (x(k -1)), k = 1,2,... (6.1) В общей схеме методов спуска последовательность x(0), x(1), x(2),… приближений к точке минимума x* выбирается по правилу x(k ) = x(k -1) + k h(k ), k = 1,2,..., где h(k ) - вектор, определяющий направление убывания функции f (x) (направление спуска) в точке x(k-1) ;

k - скаляр, определяющий длину шага вдоль h(k ).

Обычно название метода спуска определяется способом выбора h(k ), а его различные варианты связываются с различными способами выбора k.

Градиентные методы основаны на идее замены минимизируемой функции в окрестности очередной точки x(k ) линейной частью ее разложения в ряд Тейлора. В градиентных методах в качестве направления спуска h(k ) выбирается антиградиент функции f (x) в точке x(k-1), т.е.

x(k ) = x(k -1) - k f (x(k -1)), k = 1,2,...

Таким образом, данные методы относятся к методам первого порядка.

Градиентные методы отличаются друг от друга способами выбора параметра k. На практическом занятии рассматриваются два способа: первый называется методом с дроблением шага, второй – методом наискорейшего спуска.

.

Метод с дроблением шага В данном случае в качестве h(k ) используется нормиро(- ) ванный антиградиент f (x(k -1)) f (x(k -1)), т.е. x(k ) определяется из соотношения f (x(k -1)) x(k ) = x(k -1) - k.

f (x(k -1)) Величина k выбирается так, чтобы выполнялось условие (6.1). Процесс выбора k осуществляется следующим образом.

Выбираются некоторые константы > и 0<<1 (часто = ).

На k-й, k=1,2,…, итерации проверяется выполнение условия (6.1) при k =. Если оно не выполняется, то производится дробление шага, т.е. полагается k = и вновь проверяется выполнение условия (6.1). Процесс дробления, т.е. умножение текущего значения k на, продолжается до тех пор, пока условие (6.1) не окажется выполненным.

Алгоритм решения задачи безусловной минимизации методом с дроблением шага заключается в следующем.

1. Задаются,,, x(0) ; вычисляются f (x(0) ), f (x(0)), f (x(0)), полагается k=1.

k 2. Полагается =.

f (x(k -1) ) 3. Вычисляются x(k ) = -k, x(k ) = x(k-1) + f (x(k -1) ) + x(k}, f (x(k ) ).

k 4. Проверяется условие выбора :

f (x(k )) < f (x(k -1)).

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.5.

Если условие не выполняется, то полагается k = k и осуществляется переход к п.3.

5. Вычисляются f (x(k )), f (x(k )).

6. Проверяется условие окончания вычислений f (x(k )).

Если оно выполняется, то полагается x* x(k ), * f f (x(k ) ) и вычисления завершаются.

Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осуществляется переход к п.2.

Отметим, что помимо рассмотренного применяется алгоритм, в котором в качестве начального значения k используется конечное значение k -1. При этом в п.1 рассмотренного алгоритма добавляется определение 0 : полагается 0 = ; в п.2 алгоритма заменяется определение k : полагается k = k -1.

Пример. Решить методом с дроблением шага задачу безусловной минимизации 2 f (x) = x1 + 2x2 - 4x1 + 2x2 min при = 1, =, = 0,3, x(0) = (1, 0).

Решение.

Находим первые частные производные f (x) :

f f = 2x1 - 4, = 4x2 + 2.

x1 xИспользуем второй (упрощенный) вариант метода с дроблением шага.

Результаты вычислений заносим в табл. 6.1.

Таблица 6.Ном.

f f x1 x2 x1 x2 f (x) итер. f x1 x0 1 0 -3 -2 2,1 1 0,707 -0,707 1,71 -0,707 -4,32 -0,586 -0,828 1,2 1 0,580 0,820 2,29 0,113 -3,f (x(2) ) > f (x(1) ) = = 0.2 0,5 0,290 0,410 2,00 -0,297 -4,0 0,812 0,3 0,5 0 -0,5 2,00 -0,797 -4,f (x(3) ) > f (x(2) ) = = 0.3 0,25 0 -0,2,00 -0,547 -4,0 -0,0,Поскольку условие окончания вычислений выполнено ) ( f (x(3) ) = 0,188 < = 0,3, то вычисления завершаются.

В результате решения задачи безусловной минимизации * получаем x* x(3) = (2; - 0,547), f f (x(3) ) = -4,496.

* Ответ: x* (2; - 0,547), f -4,496.

Метод наискорейшего спуска В данном случае на каждой итерации шаг k выбирается из условия минимума функции f (x) в направлении движения, т.е.

f (x(k -1) - k f (x(k -1) )) = min (), > где () = f (x(k -1) - f (x(k -1))).

Такой способ выбора k требует меньшего числа итераций, чем предыдущий, поскольку он обеспечивает достижение наименьшего значения функции вдоль заданного направления.

Однако в этом варианте градиентного метода на каждой итерации требуется решать задачу одномерной минимизации, что приводит к увеличению трудоемкости итерации. Итак, метод наискорейшего спуска требует меньшего числа итераций, чем метод с дроблением шага, но каждая итерация сложнее реализуется.

Алгоритм решения задачи безусловной минимизации методом наискорейшего спуска заключается в следующем.

1. Задаются, x(0) ; вычисляются f (x(0) ), f (x(0)), f (x(0)) ; полагается k=1.

2. Определяется k.

3. Вычисляются x(k ) = -k f (x(k -1)), x(k ) = x(k -1) + x(k ), f (x(k) ), f (x(k )), || f (x(k )) ||.

4. Проверяется условие окончания вычислений f (x(k )).

Если оно выполняется, то полагается x* x(k ), * f f (x(k ) ) и вычисления завершаются.

Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осуществляется переход к п.2.

Пример. Решить методом наискорейшего спуска задачу безусловной минимизации 2 f (x) = x1 + 2x2 - 4x1 + 2x2 min при = 0,3, x(0) = (1,0).

Решение.

Находим первые частные производные f (x) :

f f = 2x1 - 4, = 4x2 + 2.

x1 xПервая итерация Определяем 1 :

f (x(0) ) ( x10) - = = + 1- (-2) 1 2, xf (x(0)) ( x20) - = 0 - 2 = -2 ;

x () = f (x(0) - f (x(0) )) = (1+ 2)2 + 2(-2)2 - 4(1+ 2) + 2(-2);

() = 2(1+ 2)2 + 4(-2)(-2) - 8 + 2(-2) = 24 - 8;

() = 0 24 - 8 = 0 = 1 3.

Поскольку () = 24 > 0, то = 1 3 есть точка минимума (). Следовательно, 1 = 1 3 = 0,333.

Вторая итерация Определяем 2 :

f (x(1) ) ( x11) - = 1,667 + 0,667, xf (x(1) ) ( x21) - = -0,667 + 0,667;

x () = f (x(1) - f (x(1) )) = (1,667 + 0,667)2 + 2(-0,667 + + 0,667)2 - 4(1,667 + 0,667) + 2(-0,667 + 0,667);

() = 2(1,667 + 0,667)0,667 + 4(-0,667 + 0,667)0,667 - 4 0,667 + 2 0,667 = 2,667 - 0,886;

() = 0 2,667 - 0,886 = 0 = 0,332.

Поскольку () = 2,67 > 0, то = 0,332 есть точка минимума (). Следовательно, 2 = 0,332.

Третья итерация Определяем 3 :

f (x(2) ) f (x(2) ) ( ( x12) - = 1,89 + 0,22, x22) - = -0,445 - 0,22;

x1 x () = f (x(2) - f (x(2) )) = (1,89 + 0,22)2 + 2(-0,445 - 0,22)2 - 4(1,89 + 0,22) + 2(-0,445 - 0,22);

() = 2(1,89 + 0,22)0,22 + 4(-0,445 - 0,22)(-0,22) - 4 0,22 + 2(-0,22) = 0,29 - 0,0968;

() = 0 0,29 - 0,0968 = 0 = 0,333.

Поскольку () = 0,29 > 0, то = 0,333 есть точка минимума (). Следовательно, 3 = 0,333.

Результаты вычислений заносим в табл. 6.2.

Таблица 6.Ном.

f f x1 (x) x2 x1 x2 f итер. f x1 x0 1 0 -3 -2 2,1 0,333 0,667 -0,667 1,67 -0,667 -4,33 -0,667 -0,667 0,2 0,333 0,222 0,222 1,89 -0,445 -4,48 -0,22 0,22 0,3 0,333 0,074 -0,1,96 -0,518 -4,5 -0,074 -0,0,Поскольку условие окончания вычислений выполнено ) ( f (x(3) ) = 0.105 < = 0,3, то вычисления завершаются.

В результате решения задачи безусловной минимизации * получаем x* x(3) = (1,96; - 0,518), f f (x(3) ) = -4,5.

* Ответ: x* (1,96; - 0,518), f -4,5.

Задачи 1. Решить методом с дроблением шага задачу безусловной минимизации 2 f (x) = x1 + 2x2 - 2x1 + x2 - 5 min, при =1, = 0,5, = 0,4, x(0) = (0, 2).

2. Решить методом наискорейшего спуска задачу безусловной минимизации 2 f (x) = x1 + 2x2 - 2x1 + x2 - 5 min, при = 0,4, x(0) = (0, 2).

7. МЕТОД НЬЮТОНА Метод Ньютона, так же как и градиентные методы, относится к методам спуска, т.е. предназначен для численного решения задач безусловной минимизации. Метод Ньютона основан на идее замены минимизируемой функции f (x) в окрестности точ~ ки x(k ) квадратичной частью fk (x) ее разложения в ряд Тейлора ~ fk (x) = f (x(k )) + f (x(k )),(x - x(k )) + + (x - x(k )) f (x(k )),(x - x(k )).

В методе Ньютона очередная точка x(k ) в последовательности x(0), x(1), x(2),... приближений к точке минимума x выбирается по правилу x(k ) = x(k -1) + h(k ) = x(k -1) - f (x(k -1) )( f (x(k -1) ))-1, k = 1,2,..., где A-1 - матрица, обратная матрице A.

Таким образом, метод Ньютона является методом второго порядка.

На практическом занятии рассматриваются два способа обращения невырожденной квадратной матрицы A a11 a12...a1n a a22...a2n A =.

.....................

an2..ann anПервый способ заключается в непосредственном вычислении A-1 из соотношения A11 A21...An A A22...An A-1 =, d.....................

A2n..Ann A1n где d = A - определитель матрицы A, Aij = (-1)i+ j Mij - алгебраическое дополнение элемента aij, Mij - минор элемента aij.

Второй способ обращения матрицы A состоит в том, что сначала к матрице A справа присоединяется единичная матрица I того же размера. Затем с помощью элементарных операций над строками (умножение строки на произвольное отличное от нуля число; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число) матрица D0 [AI] преобразуется к матрице Dn [IA-1].

Пример. Найти матрицу A-1, обратную матрице A вида -1 A = 2 1 1.

- -1 Решение.

Первый способ Вычисляем d и Aij, i = 1,3, j = 1,3:

d = 31 4 + (-1)1 2 + (-2)(-1)0 - 0 1 2 - (-2)(-1)4 - (-1)1 3 = = 12 - 2 - 8 + 3 = 5;

1 1 - 2 1 - 2 A11 = (-1)2 = 5, A12 = (-1)3 = 10, A13 = (-1)4 = 0, -1 4 2 4 2 --1 0 3 3 -A21 = (-1)3 = 4, A22 = (-1)4 = 12, A23 = (-1)5 = 1, -1 4 2 2 --1 0 3 3 -A31 = (-1)4 = -1, A32 = (-1)5 = -3, A33 = (-1)6 = 1.

1 1 - 2 1 - 2 Таким образом, A11 A21 A31 1 - d d d 5 12 A12 A22 AA-1 = = 2 -.

d d d 5 A13 A23 A33 1 d d d 5 Второй способ Записываем матрицу D0 :

-1 0 1 0 D0 = [AI]= 2 1 1 0 1 0.

- -1 4 0 0 Для преобразования первого столбца D0 к виду (100)Т умножаем первую строку D0 на 1/3; прибавляем ко второй строке D0 первую строку D0, умноженную на 2/3; прибавляем к третьей строке D0 первую строку D0, умноженную на (-2/3), т.е.

1 2 11 = 10, 21 = 20 + 10, 31 = 30 - 10, 3 3 где через ij обозначена i-я строка матрицы Dj.

В результате получаем матрицу D1:

1 - 1 0 0 3 1 D1 = 0 1 1 0.

3 0 - 1 4 - 2 0 3 Для преобразования второго столбца D1 к виду (010)T прибавляем к первой строке D1 вторую строку D1; умножаем вторую строку D1 на 3; прибавляем к третьей строке D1 вторую Dстроку, т.е.

12 = 11 + 21, 22 = 3 21, 32 = 31 + 21.

В результате получаем матрицу D2:

1 0 1 1 1 D2 = 0 1 3 2 3 0.

0 0 5 0 1 Для преобразования третьего столбца D2 к виду (001)T прибавляем к первой строке D2 третью строку D2, умноженную на (-1/5); прибавляем ко второй строке D2 третью строку D2, умноженную на (-3/5); умножаем третью строку D2 на 1/5, т.е.

1 3 13 =12 - 32, 23 = 22 - 32, 33 = 32.

5 5 В результате получаем матрицу D3 :

1 0 0 1 - 5 12 D3 = 0 1 0 2 - = [IA-1].

5 0 0 1 0 1 5 Таким образом, 1 - 5 12 A-1 = 2 -.

5 0 1 5 Алгоритм решения задачи безусловной минимизации методом Ньютона заключается в следующем.

1. Задаются x(0) ; вычисляются f (x(0) ), f (x(0) ), f (x(0) ) ; полагается k = 1.

2. Вычисляется f (x(k -1)).

3. Определяется ( f (x(k -1) ))-1.

4. Вычисляются x(k ) = - f (x(k -1))( f (x(k -1)))-1, x(k) = = x(k-1) + x(k ), f (x(k )), f (x(k ) ).

5. Проверяется условие окончания вычислений f (x(k )).

Если оно выполняется, то полагается x* x(k ), f f (x(k )) и вычисления завершаются.

Если условие не выполняется, то полагается k = k +1 и осуществляется переход к п.2.

Метод Ньютона находит минимум квадратичной функции за один шаг, независимо от начальной точки x(0) и степени овражности. Однако сходимость метода Ньютона в случае, когда целевая функция не является квадратичной, существенно зависит от начальной точки x(0). Еще одним недостатком является высокая трудоемкость метода, обусловленная необходимостью вычисления и обращения на каждом шаге матрицы вторых производных минимизируемой функции.

Пример. Решить методом Ньютона задачу безусловной минимизации 1 3 f (x) = - x2 + x1x2 + x1 - x1 + 3x2 + 4 min 2 при = 0,1, x(0) = (4,-1).

Решение.

Находим f (x) :

f f = x2 + x1 -1, = - x2 + x1 + 3;.

x1 x2 1 2 f 2 f 2 f = 1, = 1, = -3x2 f (x) = 1 - 3x2.

2 x1xx1 x Первая итерация Вычисляем x(1) :

1 1 1 -1 1,5 - 0, f (x(0) ) = ( f (x(0) ))-1 = = ;

1 2 1 0,5 0, -1 - 1, - 0, x(1) = -(2; 5,5) = -(0,25; 1,75) = (-0,25; -1,75).

- 0,5 0, Вторая итерация Вычисляем x(2) :

1 1 8, - f (x(1) ) = ;

1 8,25 ( f (x(1) ))-1 = 7,25 -1 1,14 - 0, x(2) = -(0; - 4,59) = (-0,633; 0,633).

- 0,138 0,Третья итерация Вычисляем x(3) :

1 1 6, - f (x(2) ) = ;

1 6,35 ( f (x(2) ))-1 = 5,35 -1 1,19 - 0, x(3) = -(0; - 0,605) = (-0,113; 0,113).

- 0,187 0,Результаты вычислений заносим в табл. 7.1.

Таблица 7.f f Номер f (x) x1 x2 x1 xf итер. x1 x04 -1,5 2 5,5 5,1 -0,250 -1,3,75 -2,75 -0,0 -4,4,2 -0,0,633 3,12 -2,12 -2,0 -0,0,3 -0,0,113 3,00 -2,00 -2,0 0 Поскольку условие окончания вычислений выполнено ( ) f (x(3) ) = 0 < = 0,1, то вычисления завершаются.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.