WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

L(x,) - v = 0, j = 1, n; (3.7) j x j xj 0, vj 0, j =1,n; (3.8) x v = 0, j = 1,n; (3.9) j j L(x,) + wi = 0, i =1,m; (3.10) i i 0, wi 0, i = 1, m; (3.11) iwi = 0, i =1,m. (3.12) Система уравнений (3.7) и (3.10) содержит (m + n) линейных уравнений с 2(m + n) неизвестными. Таким образом, исходная задача эквивалентна задаче нахождения допустимого, т.е.

удовлетворяющего требованиям неотрицательности (3.8) и (3.11), базисного решения системы линейных уравнений (3.7) и (3.10), удовлетворяющего также условиям дополняющей нежесткости (3.9) и (3.12). Так как задача КП является выпуклой задачей оптимизации, то допустимое решение, которое удовлетворяет всем этим условиям, является оптимальным.

Для нахождения допустимого базисного решения системы линейных уравнений может быть применен метод искусственных переменных, используемый в линейном программировании (ЛП) для определения начального базиса. При этом в уравнения системы (3.7), (3.10), в которых знаки дополнительных переменных v j или wi совпадают со знаками свободных членов, вводятся неотрицательные искусственные переменные zl, l = 1,lmax, lmax m + n, знаки которых не совпадают со знаками соответствующих свободных членов.

Затем решается вспомогательная задача ЛП F(z) = zl min l при ограничениях (3.7) - (3.12) с введенными неотрицательными искусственными переменными. Для решения этой задачи используется симплекс-метод. В процессе решения необходимо учитывать условия дополняющей нежесткости (3.9) и (3.12). Выполнение этих условий означает, что xj и v, i и wi не могут быть j положительными одновременно, т.е. переменную xj нельзя сделать базисной, если v является базисной и принимает положиj тельное значение, также и i с wi.

В результате решения вспомогательной задачи могут быть два случая.

1. min F(z) = 0, т.е. все искусственные переменные вывеz дены из базиса. Полученное оптимальное допустимое базисное решение вспомогательной задачи ЛП является допустимым базисным решением системы (3.7) - (3.12) и, следовательно, решением задачи КП.

2. min F(z) > 0, т.е. среди базисных остались искусственz ные переменные. Это означает, что система (3.7) - (3.12) не имеет допустимого базисного решения и, следовательно, задача КП не имеет решения.

Итак, алгоритм решения задачи КП заключается в следующем.

1. Ограничения задачи КП преобразуются к виду gi(x) 0, i = 1, m.

2. Составляется функция Лагранжа m L(x,) = f (x) + igi (x).

i=L L 3. Находятся частные производные, j = 1, n;, x i j i = 1, m, и составляются условия Куна - Таккера (3.1) - (3.6).

4. Посредством введения дополнительных переменных vj, j = 1, n; wi, i = 1, m, неравенства L L 0, x i j преобразуются в равенства L L - v = 0, + wi = 0, j x i j в результате получается система (3.7) - (3.12).

5. Вводятся искусственные переменные z, составляется l вспомогательная задача ЛП минимизации F(z) = zl при ограl ничениях (3.7) - (3.12) с введенными неотрицательными искусственными переменными.

6. Решается вспомогательная задача ЛП симплексметодом с учетом условий дополняющей нежесткости.

Если в результате решения min F(z) = 0, то оптимальное z допустимое базисное решение вспомогательной задачи определяет решение x* задачи КП.

Если min F(z) > 0, то задача КП не имеет решения.

z Пример. Решить следующую задачу КП:

2 f (x) = 2x1 + 2x1x2 + 2x2 - 4x1 - 6x2 min, x1 + 2x2 2, x1 0, x2 0.

Решение.

Преобразуем ограничение исходной задачи к виду g(x) 0:

g(x) = x1 + 2x2 - 2 0.

Составляем функцию Лагранжа 2 L(x,) = 2x1 + 2x1x2 + 2x2 - 4x1 - 6x2 + (x1 + 2x2 - 2).

Находим частные производные и составляем условия Куна - Таккера:

L L = 4x1 + 2x2 - 4 + 0, x1 0, x1 = 0;

x1 xL L = 2x1 + 4x2 - 6 + 2 0, x2 0, x2 = 0;

x2 xL L = x1 + 2x2 - 2 0, 0, = 0.

Вводим дополнительные переменные v1, v2 и w, обращающие неравенства в равенства, в результате получаем 4x1 + 2x2 - 4 + - v1 = 0, x1 0, v1 0, x1v1 = 0;

2x1 + 4x2 - 6 + 2 - v2 = 0, x2 0, v2 0, x2v2 = 0;

x1 + 2x2 - 2 + w = 0, 0, w 0, w = 0.

Получили систему 3-х линейных уравнений с шестью неизвестными, которые должны также удовлетворять требованиям неотрицательности и условиям дополняющей нежесткости.

Вводим в первое и второе уравнения соответственно искусственные переменные z1 и z2 :

4x1 + 2x2 - 4 + - v1 + z1 = 0, 2x1 + 4x2 - 6 + 2 - v2 + z2 = 0.

Разрешая первое уравнение относительно z1, а второе уравнение относительно z2, находим целевую функцию F (z) вспомогательной задачи ЛП:

F(z) = z1 + z2 = (-4x1 - 2x2 + 4 - + v1) + + (-2x1 - 4x2 + 6 - 2 + v2 ) = 10 - 6x1 - 6x2 - 3 + v1 + v2.

Составляем вспомогательную задачу ЛП:

F (z) = 10 - 6x1 - 6x2 - 3 + v1 + v2 min, 4x1 + 2x2 + - v1 + z1 = 4, 2x1 + 4x2 + 2 - v2 + z2 = 6, x1 + 2x2 + w = 2, x1, x2,, v1, v2, w, z1, z2 0.

Решаем задачу симплекс-методом с учетом условий дополняющей нежесткости. В качестве базисных выберем переменw ные z1, z2 и. Таким образом, начальный базис Б0 = {z1, z2, w}.

В результате приходим к табл. 3.1.

Таблица 3. Своб.

w Базис x1 x2 v1 v2 z1 zчлен z1 4 4 2 1 -1 0 0 1 0 4/4=z2 6 2 4 2 0 -1 0 0 1 6/2=w 2 1 2 0 0 0 1 0 0 2/1=10 6 6 3 -1 -1 0 0 F Начальное допустимое базисное решение ДБР0= = (z1 = 4, z2 = 6, w = 2). ДБР0 не является оптимальным, поскольку в строке целевой функции есть положительные коэффициенты Fx = 6, Fx = 6, F = 3.

1 Согласно условиям дополняющей нежесткости, в базис можно вводить x1, так как v1 = 0, либо x2, так как v2 = 0, но нельзя вводить, так как w >. Находим Б1:

Fx > 0 x1 вводим в базис, 4 6 = = = = min 1, 3, 2 1 z1 выводим из базиса.

4 2 Таким образом, Б1 = {x1, z2, w}. В результате приходим к табл. 3.2.

Таблица 3. Своб.

x1 xБазис v1 v2 w z1 zчлен x1 1 1 1/2 1/4 -1/4 0 0 1/4 0 z2 4 0 3 3/2 1/2 -1 0 -1/2 1 4/ w 1 0 3/2 -1/4 1/4 0 1 -1/4 0 2/F 4 0 3 3/2 1/2 -1 0 -3/2 Получили ДБР1 = (x1 = 1, z2 = 4, w = 1). ДБР1 не является оптимальным, поскольку в строке целевой функции есть положи3 тельные коэффициенты Fx = 3, F = и F =.

2 2 Согласно условиям дополняющей нежесткости, в базис = можно вводить x2, так как v2 0, но нельзя вводить, так как w >, и, так как x1 > 0. Находим Б2 :

0 vFx > 0 x2 вводим в базис, 1 2 4 1 2 2 min = 2,, = = w выводим из базиса.

1 3 3 3 Таким образом, Б2 = {x1, x2, z2}. В результате приходим к табл. 3.3.

Таблица 3. Своб.

x1 xБазис v1 v2 z1 zw член x1 2/3 1 0 1/3 -1/3 -1/3 1/3 0 x2 2/3 0 1 -1/6 1/6 0 2/3 -1/6 z2 2 0 0 2 0 -1 -2 0 1 2 0 0 2 0 -1 -2 -1 F 2 Получили ДБР2 = x1 = x2 = z2 = ДБР2 не явля,, 2.

3 ется оптимальным, поскольку в строке целевой функции есть положительный коэффициент F = 2.

Согласно условиям дополняющей нежесткости, в базис можно вводить, так как w = 0. Находим Б3 :

F > 0 вводим в базис, 2 3 min = 2, = 1 = 1 z2 выводим из базиса.

31 Таким образом, Б3 = {x1, x2,}. В результате приходим к табл. 3.4.

Таблица 3.Своб.

x1 xw Базис v1 v2 z1 zчлен x1/3 1 0 0 -1/3 1/6 0 1/3 -1/x5/6 0 1 0 1/6 -1/12 1/2 -1/6 1/Окончание табл. 3. 1 0 0 1 0 -1/2 -1 0 1/0 0 0 0 0 0 0 -1 -F ) Получили ДБР3 = (x1 = 1 3, x2 = 5 6, = 1. ДБР3 является оптимальным решением.

Таким образом, вспомогательная задача ЛП решена.

Поскольку min F(z) = 0, то оптимальное ДБР вспомогаz тельной задачи определяет решение x* задачи КП. Поэтому полагаем * ) x* = (x1 = 1 3, x* = 5 6, 1 1 5 25 1 5 * f = f (x*) = 2 + 2 + 2 - 4 - 6 = -4.

9 3 6 36 3 6 1 5, * Ответ: x* =, f = -4.

3 6 Задачи 1. Решить задачу квадратичного программирования 2 f (x) = 2x1 + 3x2 + 4x1x2 - 6x1 - 3x2 min, x1 + x2 1, 2x1 + 3x2 4, x1 0, x2 0.

2. Решить задачу квадратичного программирования f (x) = x1 + 2x2 - x2 max, 3x1 + 2x2 6, x1 + 2x2 4, x1 0, x2 0.

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ (МИНИМИЗАЦИИ) УНИМОДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Унимодальными называются функции, имеющие на заданном отрезке = [a,b] единственный экстремум. На практических занятиях рассматриваются унимодальные функции с минимумом. Свойство унимодальности обеспечивает выполнение очень важного для поиска точки минимума x условия.

Пусть f(x) унимодальна на, x1, x2, x1 < x2. Тогда, если f (x1) f (x2 ), то x* x2 ; если же f (x1) f (x2 ), то x* x1.

Таким образом, на основании вычисленных значений f(x) можно указать отрезок = [a,b ], в котором заключена точка x, меньшей длины, чем исходный отрезок = [a,b], т.е.

L = b - a < L = b - a. Говорят, что точка минимума x локализо [a, при этом сам отрезок называют отрезком вана в отрезке,b ] локализации минимума.

На практических занятиях рассматриваются алгоритмы (методы) минимизации унимодальных функций, использующие информацию лишь о значениях функции (алгоритмы нулевого порядка).

При записи алгоритмов и решении задач используются следующие обозначения:

i = [ai,bi ] и Li = bi - ai, i = 1,2,…, - соответственно отрезок локализации и его длина после i вычислений значений f(x), 0 [a,b], L0 b - a;

N – количество вычислений значений f(x).

Исходными данными для решения задачи минимизации унимодальной функции являются исходный отрезок локализации 0 и N, результатами решения - итоговый отрезок локализации N, а также оценки точки минимума x и величины минимума * f.

4.1. ПАССИВНЫЙ МЕТОД ПОИСКА МИНИМУМА Метод оптимизации называется пассивным, когда все точки xi, i = 1, N, вычислений характеристик задачи (в данном случае значений целевой функции) выбираются одновременно до начала вычислений.

Если N четное, т.е. N = 2l, l = 1,2,…, то наилучшее (в смысле максимального уменьшения длины отрезка локализации) размещение точек xi, i = 1, N, получается разбиением их на равноотстоящие -пары, т.е.

b - a b - a x2 j -1 = a + j -, x2 j = a + j +, j = 1, N 2, (4.1) N 2 +1 2 N 2 +1 где - некоторое малое положительное число.

При этом b - a LLN = + = +.

N 2 +1 2 l +1 Если N нечетное, т.е. N = 2l +1, l = 1,2,…, то наилучшим является равномерное распределение точек, т.е.

b - a xi = a + i, i = 1, N. (4.2) N +При этом b - a LLN = 2 =.

N +1 l +Нетрудно заметить, что использование нечетного числа точек при пассивном методе поиска неэффективно.

После определения точек xi, i = 1, N, вычисляются значения функции f (xi ). Пусть f (xk ) = min f (xi ). Тогда, полагая i =1, N x0 = a, xN +1 = b, определяется итоговый отрезок локализации N = [xk -1, xk +1]. Точка xk принимается за аппроксимацию (оценку) точки минимума x, значение функции f (xk ) - за оцен* ку f = f (x*), т.е.

* x* xk, f f (xk ).

Пример. Определить с помощью пассивного поиска минимум функции f (x) = x +, заданной на отрезке = [0,2]: а) x при N=6, =0,1; б) при N=7.

Решение.

а) N=6, =0,1.

Определяем пары точек x2 j-1, x2 j с помощью соотношения (4.1):

2 - 0 0.x2 j-1 = 0 + j - = 0,5 j - 0,05, j = 1,3;

3 +1 2 - 0 0.x2 j = 0 + j + = 0,5 j + 0,05, j = 1,3.

3 +1 Результаты вычислений x и f (x) заносим в табл. 4.1.

Таблица 4.Номер 1 отсчета x 0,45 0,55 0,95 1,05 1,45 1,f (x) 2,67 2,37 2,0026 2,0024 2,14 2,Поскольку f (x4) = min f (xi ), то полагаем 6=[x3, x5]= i =1,* =[0,95; 1,45], x x4 = 1,05, f f (x4 ) = 2,0024.

* Ответ: 6 = [0,95;1,45], x* 1,05, f 2,0024.

б) N=7.

Определяем xi помощью соотношения (4.2):

2 - xi = 0 + i = 0,25i, i = 1,7.

7 +Результаты вычислений x и f (x) заносим в табл. 4.2.

Таблица 4.Номер 1 2 3 4 5 6 отсчета x 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,f (x) 4,25 2,50 2,08 2,00 2,05 2,17 2,Поскольку f (x4) = min f (xi ), то полагаем 7=[x3, x5]= i =1,* =[0,75, 1,25], x* x4 =1, f f (x4 ) = 2.

* Ответ: 7 = [0,75;1,25], x* 1, f 2.

4.2. АКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА МИНИМУМА Метод оптимизации называется активным, если точки xi, i = 1, N, вычислений характеристик задачи (в данном случае значений целевой функции) выбираются последовательно, с учетом информации, полученной на предыдущих шагах. Для активных (последовательных) методов поиска принято указывать в используемых обозначениях номер итерации с помощью надстрочного индекса в круглых скобках. В соответствии с этим отрезок локализации после j итераций будет обозначаться ( j) = [a( j),b( j )].

Если при этом произведено i вычислений значений f(x), то ( j) i, a( j) ai, b( j ) bi.

На практических занятиях рассматриваются такие активные методы поиска, как метод дихотомии, метод Фибоначчи и метод золотого сечения. Для каждого из этих методов на j-й, ( ( j =1,2,…, итерации рассматривается пара точек x1 j) и x2 j), при ( ( этом x1 j ) < x2j). Значения функции в этих точках будут обозначаться соответственно f1( j) и f2( j).

Метод дихотомии (половинного деления) В данном случае общее количество вычислений f(x) четное, т.е. N = 2l, l = 1,2,…, на j-м шаге (j-й итерации) произво( ( дится пара вычислений x1 j) и x2 j), отстоящих на расстоянии / по обе стороны от середины текущего отрезка локализации [a( j -1),b( j -1)]. Если f1( j) f2( j), то отбрасывается часть отрезка, ( расположенная справа от x2 j ) ; если f1( j) > f2( j), то отбрасывается ( часть отрезка, расположенная слева от x1 j ).

Используются два условия окончания вычислений:

а) выполнение заданного количества вычислений N;

б) достижение заданной величины уменьшения отрезка локализации.

Итак, алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом дихотомии заключается в следующем.

1. Задаются N (либо ) и, полагается j=1.

2. На j-й итерации вычисляются 1 ( ( x1 j) = (a( j -1) + b( j-1)) -, x2 j) = (a( j -1) + b( j -1)) +, 2 2 2 ( ( f1( j) = f (x1 j)), f2( j) = f (x2 j) ).

( Если f1( j) f2( j), то a( j ) = a( j -1), b( j) = x2 j).

( Если f1( j) > f2( j), то a( j) = x1 j), b( j) = b( j -1).

3. Проверяется условие окончания вычислений:

L2 j а) j=N/2 либо б).

LЕсли оно выполняется, то определяются итоговый отрезок локализации, оценки точки минимума x и величины минимума * f = f (x*), и вычисления завершаются.

Если условие не выполняется, то полагается j = j +1 и осуществляется переход к п.2.

Отметим, что для определения оценки точки минимума надо рассмотреть все исследованные точки итогового отрезка локализации и выбрать ту из них, для которой значение функции минимально.

Пример. Определить методом дихотомии минимум функции f (x) = x4 - 6x2 +10, заданной на отрезке =[1,3], при N=8, =0,1.

Решение.

В данном случае будут выполнены N/2=4 итерации.

Результаты вычислений заносим в табл. 4.3.

Таблица 4.Номер ( ( x1 j) x2 j) f1( j) f2( j) a( j) b( j) итерации > 0 — — — — 1 1 1,95 2,05 1,644 < 2,446 1 2,2 1,475 1,575 1,680 > 1,270 1,475 2,3 1,713 1,813 1,004 < 1,082 1,475 1,4 1,594 1,694 1,211 > 1,017 1,594 1,Поскольку j=N/2=4, то вычисления завершаются.

Точка минимума локализована на отрезке 8 = [1,594; 1,813]. На данном отрезке исследованы 4 точки:

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.