WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Таганрог 2004 УДК 519.8(075.5) Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - 140с.

Изложены основные понятия и теоретические положения курса «Методы оптимизации». Приведены алгоритмы, реализующие различные методы решения оптимизационных задач.

Применение алгоритмов иллюстрировано решением примеров.

Каждый раздел содержит задачи, снабженные ответами. В пособие включено индивидуальное задание, посвященное решению задачи формирования портфеля ценных бумаг. Также дана характеристика контрольных работ, используемых для текущего рейтинг-контроля. Пособие предназначено для студентов специальностей 3514 и 0618, изучающих курс «Методы оптимизации», а также преподавателей, проводящих практические, индивидуальные занятия и рейтинг-контроль по данному предмету.

Ил. 8. Библиогр.: 12 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Рецензенты:

Кафедра математики и информатики Таганрогского института управления и экономики. В.П.Карелин, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой.

Я.Е.Ромм, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики Таганрогского государственного педагогического института.

© Харчистов Б.Ф., 2004 3 ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное пособие призвано помочь студентам в изучении ряда основных методов решения оптимизационных задач, а также преподавателям при проведении практических и индивидуальных занятий по курсу «Методы оптимизации».

В современной литературе описано большое число методов решения оптимизационных задач, все их изложить невозможно.

Поэтому в пособие включены лишь некоторые из наиболее эффективных и наиболее важных с методологической точки зрения методов.

В разделах 1 и 2 приводятся классические методы решения оптимизационных задач, основанные на использовании дифференциального исчисления для нахождения точек экстремумов функций. В разделе 3 рассматривается одна из оптимизационных задач, обладающих специальной структурой – задача с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями. Разделы 4 и 5 посвящены методам одномерной минимизации, широко применяемым на практике в качестве составной части методов поиска экстремумов функций многих переменных. В разделах 6 и 7 рассматриваются численные методы безусловной оптимизации, а в разделах 8 и 9 – численные методы условной оптимизации.

Разделы 10 и 11 посвящены методам решения задач целочисленного линейного программирования.

В каждом разделе пособия даны краткая характеристика рассматриваемых методов, сводка рабочих формул и алгоритмы решения оптимизационных задач. Применение алгоритмов иллюстрируется решением примеров. В каждом разделе также приведены задачи, которые решаются студентами на практических занятиях или самостоятельно. Задачи снабжены ответами.

Пособие в значительной мере отражает практику преподавания предмета «Методы оптимизации» на кафедре прикладной информатики ТРТУ. Следует отметить, что в пособии отсутствует раздел, непосредственно посвященный линейному программированию, поскольку методы решения задач линейного программирования изучаются ранее в другом курсе. Однако указанные методы используются при решении нелинейных задач с ограничениями и линейных целочисленных задач.

В пособие включено индивидуальное задание на тему «Задача выбора портфеля ценных бумаг», выполняемое по курсу «Методы оптимизации». В индивидуальном задании рассматриваются несколько моделей, оптимизирующих портфель ценных бумаг. В качестве критериев эффективности используются критерий максимизации ожидаемого дохода и критерий минимизации инвестиционного риска. Расчетная часть основана на гипотетических статистических данных о рынке ценных бумаг.

Текущий рейтинг-контроль осуществляется в форме контрольных работ. Структура работ, тип и количество заданий приведены в соответствующем разделе пособия. Конкретный вид целевых функций, функциональных и иных ограничений, а также другой числовой материал, используемый в контрольных работах, задается преподавателем.

По курсу используется следующее распределение рейтинга:

• 5 контрольных работ (7% суммарного рейтинга за работу) - 35% суммарного рейтинга, • индивидуальное задание - 15% суммарного рейтинга, • экзамен - 50% суммарного рейтинга.

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Задача оптимизации формулируется следующим образом:

заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция f(x) (целевая функция), определенная на Х; требуется найти точки минимума или максимума функции f на Х. Задача оптимизации, в которой целевая функция подлежит минимизации, имеет вид f (x) min, (1.1) x X.

В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество которых лежит в евклидовом пространстве Rn.

Точка x X называется точкой глобального минимума f(x) на множестве X, или глобальным решением задачи (1.1), если f (x) f (x) при всех х Х.

Точка x X называется точкой локального минимума f(x) на множестве X, или локальным решением задачи (1.1), если f (x*) f (x) при всех x X V (x), { }- шар радиуса >0 с центром в где V (x) = x Rn : x - x точке x ( - окрестность точки x).

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

Задача (1.1) называется задачей безусловной оптимизации, если X=Rn. На практических занятиях рассматриваются аналитические методы решения задач безусловной оптимизации, базирующиеся на условиях оптимальности. Различают необходимые условия оптимальности, т.е. условия, которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи, и достаточные условия оптимальности, т.е. условия, из которых следует, что данная точка является решением задачи.

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Для функции одной переменной условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f (x) дифференцируема в точке x R1. Если x - точка локального оптимума (экстремума), то f (x) = 0. (1.2) Точки, удовлетворяющие условию (1.2), называются стационарными. Стационарные точки могут быть и точками локального минимума, и точками локального максимума, и точками перегиба. Для определения характера стационарных точек используется достаточное условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть f (x) k раз, k>1, дифференцируема в точке x R1, причем (k -1) (k) f (x) = f (x) =... = f (x) = 0, f (x) 0.

Тогда, если k - четное число, то x - точка локального (k ) (k ) минимума (максимума) при f (x) > 0 (при f (x) < 0 ). Если k - нечетное число, то x - точка перегиба.

Используя необходимое и достаточное условия оптимальности, находятся точки локальных экстремумов. Для определения точек глобальных экстремумов вычисляются предельные (при x и x - ) значения f(x). Если V max{lim f (x), lim f (x)} = +, x xто f(x) не имеет конечного глобального максимума. Если W min{ lim f (x), lim f (x)} = -, x xто f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Если f(x) имеет конечный глобальный максимум и (или) конечный глобальный минимум, то для их определения вычисляются также значения f(x) на множестве точек локальных экстремумов. Наименьшее из полученных значений, т.е. значений f(x) в точках локальных экстремумов и предельных значений f(x), определяет точку глобального минимума, наибольшее из полученных значений - точку глобального максимума f(x).

Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной заключается в следующем.

1. Находится f (x).

2. Вычисляются корни уравнения f (x) =0 - стационарные точки x(i), i I = { 1,2,..., N }, где N - число стационарных точек.

Полагается k=2.

k ( ) 3. Находится f (x).

k ( ) 4. Вычисляются значения f (x(i)) для всех i I.

(k) Если f (x(i)) 0, то определяется тип стационарной точки x(i) и ее номер исключается из множества I.

5. Проверяется условие определения типа всех стационарных точек I=.

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6.

Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осуществляется переход к п.3.

6. Вычисляются предельные (при x и x - ) значения f(x).

Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются.

В противном случае осуществляется переход к п.7.

7. Вычисляются значения f(x) на множестве точек локальных экстремумов. По наименьшему из полученных значений f определяется точка глобального минимума, по наибольшему из полученных значений f - точка глобального максимума.

Пример 1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции f (x) = (1- x)3.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f (x) = -3(1- x)2.

Вычисляем корни уравнения f (x) = 0 :

- 3(1- x)2 = 0 (1- x)2 = 0 x(1) = 1.

Получили одну стационарную точку (I = { 1 }) x(1) =1.

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную f(x):

f (x) = 6(1- x).

Вычисляем значение f (x) в точке x(1) :

f (x(1) = 1) = 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную f(x):

f (x) = -6 0.

Поскольку порядок k первой необращающейся в нуль в точке x=1 производной есть нечетное число (k=3), то точка x=является точкой перегиба (I=).

Вычисляем предельные значения f(x):

{ lim lim f (x) = lim (1- x)3 = (1- x) } = (1- )3 = -, x x x lim f (x) = lim (1- x)3 ={ lim (1- x) } = (1+ )3 =.

x- x- xПоскольку V max{lim f (x), lim f (x)} = +, x xто f(x) не имеет конечного глобального максимума.

Поскольку W min{ lim f (x), lim f (x)} = -, x xто f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Ответ: функция f (x) = (1- x)3 экстремумов не имеет.

Пример 2. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции f (x) = (1- x)4.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f (x) = -4(1- x)3.

Вычисляем корни уравнения f (x) = 0 :

- 4(1- x)3 = 0 (1- x)3 = 0 x(1) =1.

Получили одну стационарную точку (I = { 1 }) x(1) =1.

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную f(x):

f (x) =12(1- x)2.

Вычисляем значение f (x) в точке x(1) :

f (x(1) = 1) = 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную f(x):

f (x) = -24(1- x).

Вычисляем значение f (x) в точке x(1) :

f (x(1) = 1) = 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную f(x):

(4) f (x) = 24 0.

Поскольку порядок k первой необращающейся в нуль в (4) точке x=1 производной есть четное число (k=4) и f (x) > 0, то точка x=1 является точкой локального минимума (I=).

Вычисляем предельные значения f(x):

{ } lim f (x) = lim (1- x)4 = lim (1- x) = (1- )4 =, x x x lim f (x) = lim (1- x)4 ={} lim (1- x) = (1+ )4 =.

x- x- xПоскольку V max{lim f (x), lim f (x)} = +, x xто f(x) не имеет конечного глобального максимума.

Поскольку W min{ lim f (x), lim f (x)} = + -, x xто f(x) имеет конечный глобальный минимум.

Вычисляем значение f(x) в точке x=1:

f (x = 1) = 0.

Определяем точку глобального минимума f(x):

.

min f (x) = min {f (x = 1), W}= min { 0, + }= 0 = f (x = 1).

xRТаким образом, точка x=1 является точкой глобального минимума f(x).

Ответ: функция f (x) = (1- x)4 имеет в точке x=1 глобальный минимум.

Пример 3. Определить точки локальных и глобальных x экстремумов функции f (x) =.

1+ xРешение.

Находим первую производную f(x):

1+ x2 - x 2x 1- x f (x) = =.

(1+ x2 )2 (1+ x2) Вычисляем корни уравнения f (x) = 0 :

1- x= 0 1- x2 = 0 x(1,2) = ±1.

(1+ x2)Получили две стационарные точки (I = { 1, 2 }) :

x(1) =1, x(2) = -1.

Определяем характер стационарных точек.

Находим вторую производную f(x):

- 2x(1+ x2)2 - 2(1+ x2)2x(1- x2) 2x(x2 - 3) f (x) = =.

(1+ x2)4 (1+ x2) Вычисляем значение f (x) в точке x(1) :

2(1- 3) f (x(1) = 1) = = - = -0,5 < 0.

(1+1)3 Следовательно, x=1 является точкой локального максимума ( I = { 2 }).

Вычисляем значение f (x) в точке x(2) :

- 2(1- 3) f (x(2) = -1) = = = 0,5 > 0.

(1+1)3 Следовательно, x = -1 является точкой локального минимума (I=).

Вычисляем предельные значения f(x):

x x 1 lim f (x) = lim = lim = lim = = 0, x x x 1+ x2 x x2 (1+1 x2 ) x(1+1 x2 ) x 1 lim f (x) = lim = lim = = 0.

x- x1+ x2 x- x(1+1 x2 ) (-)Поскольку V max{lim f (x), lim f (x)} = 0 +, x xто f(x) имеет конечный глобальный максимум.

Поскольку W min{lim f (x), lim f (x)} = 0 -, x xто f(x) имеет конечный глобальный минимум.

Вычисляем значения f(x) в точках локальных экстремумов:

f (x = 1) = = 0,5;

1+-f (x = -1) = = -0,5.

1+ (-1)Определяем точку глобального минимума f(x):

min f (x) = min{f (x = -1), W}= min{- 0,5; 0}= -0,5 = f (x = -1).

xRТаким образом, точка x = -1 является точкой глобального минимума f(x).

Определяем точку глобального максимума f(x):

max f (x) = max{f (x = 1), V}= max{0,5; 0}= 0,5 = f (x = 1).

xRТаким образом, точка x = 1 является точкой глобального максимума f(x).

x Ответ: функция f (x) = имеет в точке x = -1 гло1+ xбальный минимум, а в точке x = 1 - глобальный максимум.

1.2. ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для функции f(x) многих переменных точка x представля ет собой вектор, f (x) - вектор первых производных (градиент) функции f(x), f (x) - симметричную матрицу вторых частных производных (матрицу Гессе - гессиан) функции f(x).

Для функции многих переменных условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x Rn. Если - точка локальноx го экстремума, то f (x) = 0. (1.3) Как и ранее, точки, являющиеся решениями системы уравнений (1.3), называются стационарными. Характер стационарной точки x связан со знакоопределенностью матрицы Гессе f (x).

Знакоопределенность матрицы А зависит от знаков квадратичной формы Q() = A, при всех ненулевых Rn.

Здесь и далее через x, y обозначается скалярное произведение векторов x и y. По определению, n x, y = x y.

j j j =Матрица A является положительно (неотрицательно) определенной, если Q() > 0 (Q( ) 0) при всех ненулевых Rn ;

отрицательно (неположительно) определенной, если Q() < 0 (Q() 0) при всех ненулевых Rn ; неопределенной, если Q() > 0 для некоторых ненулевых Rn и Q() < для остальных ненулевых Rn.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.