WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |

X(t)=mx+b1sin(wt)+b2cos(wt), (1.166) где b1, b2, w - центрированные, независимые случайные величины.

Эту модель можно представить в виде X(t) = m + b1 + b2 sin( wt + arctg(b1 b2)).

x То есть, случайный процесс представляет аддитивную смесь постоянной составляющей и суммы гармоник со случайными амплитудами, частотами и фазами.

В данной модели компактность достигается за счет того, что частота носит случайный характер. В этом и заключается ее основное отличие от канонической модели Пугачева.

Для центрированного случайного сигнала модель имеет вид X(t) = b1sin(wt) + b2cos(wt).

Найдем дисперсию модели D = M[X (t)];

м м X (t) = b1sin2(wt) + 2b1b2sin(wt)cos(wt) + b2cos2(wt) = м 2 = b1sin2(wt) + b1b2sin(2wt) + b2cos2(wt) = b1sin2(wt) + b1b2sin(2wt) + + b2 - b2sin2(wt) = (b1 - b2)sin2(wt) + b2 + b1b2sin(2wt) 2 2 2 В соответствии с этой формулой находим дисперсию:

D = M[(b1 - b2)]M[sin2(wt)] + M[b2] + M[b1]M[b2]M[sin(2wt)] = м 2 = {M[b1] - M[b2]}M[sin2(wt)] + M[b2] + 0, 2 т. к. b1 и b2 центрированы.

Должно выполняться условие:

Dм=Dx, то есть {M[b1] - M[b2]} M[sin2(wt)] + M[b2] = D 2 2 x Левая часть не должна зависеть от времени. Это выполняется, когдаM[b1] = M[b2], тогда M[b2] = D, таким образом 2 2 x M[b1] = M[b2] = D (1.167) 2 x То есть, случайные величины, входящие в модель Чарнецкого, могут быть любыми, но непременно центрированными и с равными дисперсиями, которые, в свою очередь, должны быть равны дисперсии моделируемого сигнала.

Напомним еще об одном требовании, которому должна удовлетворять модель - равенстве корреляционных функций исследуемого сигнала и модели:

R () = R () x м R () = M [X (t) X (t - )]; X (t) = b1 sin(wt) + b2 cos(wt);

мм м м X (t - ) = b1 sin(w(t - )) + b2 cos(w(t - ));

м X (t) X (t - ) = b1 sin(wt) sin(w(t - )) + b1b2 sin(wt) cos(w(t - )) + м м + b1b2 cos(wt) sin(w(t - )) + b2 cos(wt) cos(w(t - )) R () = M[b1 ]M [sin(wt) sin( w(t - ))] + м + M [b1]M [b2]M [sin(wt) cos(w(t - ))] + + M [b1]M [b2]M [cos(wt) sin(w(t - ))] + + M [b2]M [cos(wt) cos(w(t - ))] Но так как b1 и b2 являются центрированными случайными величинами, то их математические ожидания равны нулю, и тогда R () = M[b1 ]M[sin( wt) sin(w(t - ))] + м M[b2]M[cos(wt) cos(w(t - ))] = (1.168) = D M[sin(wt) sin(w(t - ))] + x + D M[cos(wt) cos(w(t - ))] = D M[cos( w)] xx Следует отметить, что данные функции корреляции удовлетворяют условию стационарности (не зависят от времени, но лишь от временного сдвига между сечениями процесса) и имеет одинаковую с исследуемым сигналом дисперсию.

R () = D M [cos( w)] xx Зададимся теперь вопросом, как правильно выбрать значение частоты w Параметры же b1 и b2 выбираются из условия равенства дисперсий оцениваемого сигнала и модели.

Для этого разделим левую и правую части выражения для АКФ на Dx.

x() = M[cos(w)] Пусть f(w) - плотность вероятности распределения случайной величины w, тогда M[cos(w)] = (w) cos(w)dw f Но нормированная АКФ равна x() = f (w) cos(w)dw Из этого интегрального уравнения можно найти плотность распределения f(w) случайной величины w.

Однако, памятуя о том, что нормированная спектральная плотность стационарного случайного процесса и его нормированная АКФ связаны друг с другом парой преобразований Фурье:

Sн (w) = x 2 () cos(w)d R () = D M [cos( w)] xx Корреляционная функция не зависит от выбора параметров bи b2, но лишь от случайной частоты w. Напрашивается вывод о том, что плотность распределения случайной величины w численно должна быть равна f(w) = S (w) (1.169) То есть, случайные величины b1, b2 и w, входящие в модель Чернецкого, должны представлять собой центрированные и независимые случайные величины. При этом дисперсии величин bи b2 должны быть равными друг другу и равны дисперсии исследуемого сигнала.

Плотность распределения случайной величины w должна быть при этом равна нормированной спектральной плотности моделируемого сигнала.

Математическое описание систем случайных сигналов в частотной области Пусть имеем два стационарных случайных сигнала X(t) и Y(t).

Каждый из них характеризуется своей корреляционной функцией Rx( ) и Ry( ), а также функцией взаимной корреляции Rxy( ).

Для описания свойств системы сигналов в частотной области используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:

Syx(w) = R () exp(- jw)d (1.170) yx Рассмотрим свойства ВСП:

1 Syx(w) = R () cos(w)d - j R () sin(w)d (1.171) yx yx 2 - Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.

ReSyx ( w) = R () cos( w)d — вещественная часть ВСП, yx Im Syx( w) = R () sin( w)d — мнимая часть ВСП.

yx Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая - нечетной функцией частоты.

Syx(w) = ReSyx(w) - jImSyx(w) = ¦Syx(w)¦exp(-j(w))¦, где ¦Syx(w)¦= Re2Syx(w) + Im2Syx(w) - амплитудно-частотный спектр сигнала, четная функция частоты, (w) = arctg(ImSyx (w) ) - фазо-частотный спектр.

ReSyx (w) В формуле (1.170) вместо w подставим -w:

Syx(-w) = R () exp( jw)d.

yx :

В правой части переменную интегрирования заменим на - Syx(-w) = R (-) exp(- jw)d, но Ryx(- )=Rxy( ), yx тогда Syx(-w) = R () exp(- jw)d = Sxy(w) xy Таким образом, Syx(-w) = Sxy(w) (1.172) Взаимная спектральная плотность удовлетворяет свойству R () = yx yx S (w) exp( jw)dw (1.173) То есть, взаимная корреляционная функция и ВСП связаны между собой парой преобразований Фурье.

Рисунок 32 - К определению ширины взаимного спектра Та частота, на которой модуль ВСП достигает максимума, называется основной частотой взаимного спектра.

Весь взаимный спектр располагается вблизи этой частоты.

Тот диапазон частот, в котором модуль взаимной спектральной плотности мало отличается от своего наибольшего значения, носит название частотного диапазона взаимного спектра.

Ширина его равна ширине взаимного спектра:

w = wв - wн (1.174) Определение ширины взаимного спектра Ширина взаимного спектра может быть определена одним из двух следующих способов:

|Syx ( w)|dw 1) wв = (1.175) |Syx ( w)|max |Syx ( w)|2 dw 2) wв = (1.176) |Syx ( w)|max Второй способ получил большее распространение, так как первый интеграл часто расходится.

Взаимный спектр несет информацию о взаимосвязи сигналов в частотной области. Наибольшая такая взаимосвязь наблюдается при частоте w0.

Ширина взаимного спектра указывает на тот частотный диапазон, где взаимосвязь между сигналами достаточно велика.

Анализ линейных динамических систем, работающих при входных случайных воздействиях Пусть имеем ЛДС с импульсной переходной характеристикой h( ), на вход которой поступает случайный процесс X(t).

Надо уметь находить выходной сигнал и определять все его свойства, если известны характеристики входного сигнала, т. е.

Находить M[Y(t)], D[Y(t)], Ry(t,t+ ), Ryx(t.t+ ).

Они будут зависеть от свойств входного сигнала и характеристик ЛДС.

t Y(t) = (1.177) h()X(t - )d tt M[Y(t)] = M[ 1) x h()m (t - )d] = h()M[X(t - )]d t M [Y(t)] = (1.178) x h()m (t - )d = my(t) t 2) Y(t) = Y(t) - m (t) = h(){X(t - ) - m (t - )}d, y x t Y(t) = h() X(t - )d (1.179) t+ u 3) Y(t + u) = h(1) X(t + u - 1)d1, t t + u Y(t) Y(t + u) = h()h(1) X(t - ) X(t + u - )dd1 ;

0 Находим математические ожидания левой и правой частей:

t t +u R (t, t + u) = h()h(1)R (t - 1, t + u - )dd1. (1.180) y x 0 Найдем дисперсию выходного сигнала, для этого положим u=0:

t t D[Y(t)] = h()h(1)R (t - 1, t - )dd1 (1.181) x то есть, чтобы отыскать дисперсию выходного сигнала, необходимо знать АКФ входного.

4)Взаимная корреляционная функция:

R (t, t + u) = M [ Y(t) X(t + u)] = yx (1.182) t = h()R (t -, t + u - )d x Выходной сигнал стационарной ЛДС при входном нестационарном сигнале будет нестационарным.

Иногда используют следующий подход. Входной сигнал представляют в виде канонической модели X(t) = m (t) + xk U k(t), k =тогда выходной сигнал:

t t Y(t) = h()m(t + )d + Uk h()k(t - )d ;

0 k=1 t k(t) = h()k(t - )d ;

Y(t) = m (t) + (1.183) yk U k(t) k =Если на входе линейной динамической системы имеем каноническую модель входного сигнала, то на выходе получаем каноническую модель выходного сигнала с теми же коэффициентами разложения. Отличаются только координатные функции.

Пусть входной сигнал является стационарным. Рассмотрим характеристики выходного сигнала системы.

tt m (t) = h(u)m (u)du = m h(u)du (1.184) yx x Вывод: выходной сигнал стационарной ЛДС при стационарном входном сигнале не стационарен по математическому ожиданию.

t t D (t) = h()h(1)R (, 1)dd1 (1.185) y x t t +u R (t, t + u) = h()h(1)R (u - 1 + )dd1. (1.186) y x 0 По автокорреляционной функции выходной сигнал не стационарен при стационарном входном.

Взаимно-корреляционная функция:

t R (t, t + u) = h()R (u + )d. (1.187) yx x То есть, входной и выходной сигналы нестационарно связаны.

Рассмотрим теперь установившийся (статический) режим работы ЛДС, устремив верхний предел интегрирования к бесконечности.

1) m = m h(u)du (1.188) y x D = h()h(1)R (1 - )dd2) (1.189) y x 0 R (u) = h()h(1)R (u - 1 + )dd3) (1.190) y x 0 R (u) = h()R (u + )d 4) (1.191) yx x В установившемся режиме работы выходной сигнал ЛДС при стационарном входном является стационарным и стационарно связанным со входным.

Спектральная плотность мощности выходного сигнала определяется выражением Sy(w) = y R (u) exp(-jwu)du, Подставим сюда выражение для АКФ:

Sy( w) = h()h(1){ R (u - 1 + )exp(-jwu)du}ddx 0 0 2 Рассмотрим интеграл в скобках:

u - 1 + = u u = u1 + 1 - x R (u) exp(- jw(u + 1 - ))du = du = duu1в = ; u2н = = exp( jw) exp(- jw1) x R (u) exp(- jwu)du = = Sx(w) exp( jw) exp(- jw1) - подставим в исходный интеграл:

Sy(w) = Sx(w) h()h(1)exp(-jw1)exp(jw)dd1 = 0 = Sx(w){ h(1)exp(-jw1)d1}{ h()exp(jw)d} = 0 = Sx(w)W( jw)W(- jw) = Sx(w)|W( jw)|2.

(1.192) То есть, спектральная плотность мощности выходного сигнала ЛДС при подаче на нее стационарного случайного сигнала связана с СПМ входного сигнала через квадрат модуля частотной характеристики.

Если искать дисперсию, АКФ и ВКФ по соотношениям (1.189), (1.190) и (1.191), то придется иметь дело с двойными интегралами, в то время как эти характеристики можно найти проще, пользуясь найденной зависимостью (1.192):

D = (w)dw = (w)|W( jw)|2 dw, (1.193) yy x S S - то есть дисперсия, также как и СПМ, зависит не от всей частотной характеристики, а только от АЧХ.

R () = (w) exp( jw)dw = yy S (1.194) = (w)|W( jw)|2 exp( jw)dw.

x S Рассмотрим какое практическое применение имеет найденная зависимость. Спектр выходного сигнала зависит от СПМ входного и амплитудно-частотной характеристики системы.

Пусть на вход ЛДС подается белый шум, тогда Sy(w)=S0=const, Sy(w) =S0¦W(jw)¦2, (1.194) то есть СПМ выходного сигнала зависит только от квадрата модуля частотной характеристики системы. Меняя частотную характеристику, можно получать сигналы с различными спектрально-корреляционными свойствами, окрашенные шумы. Это очень важный вывод, так как многие задачи планирования эксперимента решаются имитационным моделированием, которое предполагает, в свою очередь, использование в качестве исследуемых сигналов случайных процессов с заданными спектральными характеристиками (для проверки свойств синтезируемых фильтров, систем, и т. д. ).

R (u) = h()R (u + )d (1.195) yx x Пусть мы определили АКФ входного сигнала и функцию взаимной корреляции между входным и выходным сигналами.

Соотношение (1. 195) можно использовать для определения ИПХ исследуемой системы. Найдем ВКФ между входным X(t) и выходным Y(t) сигналами системы, заменив в соотношении (1.195) у аргумента u знак на противоположный:

R (-u) = h()R (-u + )d (1.196) yx x R (u) = h()R (u - )d (1.197) xy x Пусть на вход системы подается стационарный белый шум.

Его корреляционная функция:

R () = N (), R (u - ) = N (u - ), x x R (u) = N h()(u - )d xy Согласно фильтрующему свойству дельта - функции:

R (u) = N h(u), xy то есть вид ВКФ совпадает с видом импульсной переходной характеристики ЛДС.

R (u) xy h(u) = (1.198) N Соотношение (1.198) можно использовать как алгоритм определения ИПХ.

Далее подается тестовый сигнал - белый шум и вычисляется взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов.

Sxy(w) = xy R (u) exp(-jwu)du = = xy h(){ 2 R (u - ) exp(-jwu)du}d 0 Внутренний интеграл:

jw( u1 +) x u - = uR (u1)e- du1 = u1в = u = u1 + u1н = jwu1 jw du = du= e- jw{ x R (u1)e- du1} = e- Sx(w), подставляем в исходный интеграл:

Sxy(w) = Sx(w) h() exp(-jw)d = Sx(w) W( jw) (1.199) То есть взаимная спектральная плотность между входным и выходным сигналами связана с СПМ входного сигнала через частотную характеристику системы.

Вещественная частотная характеристика оказывает влияние на вещественную часть ВСП и не оказывает влияния на мнимую часть ВСП, и наоборот.

Вывод: частотную характеристику системы можно определять, зная взаимную спектральную плотность входного и выходного сигналов, а также СПМ входного сигнала.

Sxy(w) W( jw) = (1.200) Sx(w) Любой сигнал можно представить как аддитивную смесь полезного сигнала и помехи:

X(t) = S() + X(t) (1.201) Выходной сигнал системы:

Y(t) = my(t) + Y(t) (1.201) ЛДС осуществляет преобразование, причем m (t) = h()S()d, D = D [ Y], y y Dy=min - условие минимума помехи.

Зададимся вопросом, что надо сделать для того, чтобы значение дисперсии выходного сигнала понизилось (а значит и уменьшилось значение помехи) D = Sy (w)dw = Sx (w) W( jw) dw = 2 Sx (w) W( jw) dw y - - (1.202) Пусть максимальное значение СПМ входного сигнала Sxн, тогда S(w) <= Sхн.

2 D = 2 Sx (w) W( jw) dw 2Sxн W( jw) dw (1.203) y 0 Это — оценка дисперсии сверху, то есть оценка той величины, которой она не превышает.

Пусть эквивалентная ширина спектра мощности сигнала X (t) будет D x w =.

c 2Sн Пусть ширина полосы пропускания ЛДС определяется выражением W( jw) dw w =, ф W( jw) н D 2 x Sхн =, W( jw) dw = w W( jw), ф н 2w c Подставим это в выражение для дисперсии (1.203):

w 2D ф x w W( jw) = D W( jw), x 2wc ф wc wф D D W( jw) (1.204) y x wc Выражение (1.204) определяет оценку сверху дисперсии выходного сигнала.

Выводы:

1)Мощность выходной помехи тем больше, чем больше мощность входной помехи.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.