WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

Во многих случаях в классе нестационарных процессов, соответствующих реальным физическим явлениям, можно выделить особые типы нестационарности, для которых задача оценивания и анализа упрощается. Например, некоторые случайные явления описываются нестационарным случайным процессом {Y(t)}, каждая реализация которого имеет вид Y(t)=A(t)X(t), где X(t) - реализация стационарного случайного процесса {X(t)}, A(t) детерминированный множитель. Процессы такого типа относятся к нестационарным процессам, реализации которых имеют общий детерминированный тренд. Если нестационарный процесс соответствует конкретной модели такого типа, то для его описания нет необходимости производить осреднение по ансамблю: любые требуемые характеристики можно оценить по одной реализации, как и для эргодических процессов.

Стационарные реализации Понятие стационарности, рассмотренное выше, связано с осреднением по ансамблю характеристик случайного процесса.

Однако на практике часто приходится решать вопрос о стационарности или нестационарности процесса, представленного всего одной реализацией. В этом случае используется несколько отличное от приведенного выше понятие стационарности. Когда речь идет о стационарности одной выборочной функции, то это означает, что характеристики, рассчитанные по коротким временным интервалам, не меняются значительно для различных интервалов. Термин " значительно " используется здесь для обозначения того факта, что наблюдаемые изменения больше, чем можно ожидать за счет обычной выборочной статистической изменчивости.

Для разъяснения этого рассмотрим реализацию X(t), полученную по К-й реализации случайного процесса {X(t)}.

Определим математическое ожидание и автокорреляционную функцию осреднением по времени на коротком интервале продолжительности Т при начальном моменте t:

t +T mx(t,k)= (t)dt (1.61а) X k T t t +T Rx(t,t+,k)= (t) (t + )dt (1.61б) X X k k T t В общем случае, когда выборочные характеристики, определенные формулами (1.61), меняются значительно при изменении начального момента t, отдельная реализация называется нестационарной. В частном случае, когда выборочные характеристики, определенные этими формулами, не меняются значительно при изменении t, реализация называется стационарной.

Реализация эргодического процесса всегда стационарна. С другой стороны, реализации физически важных нестационарных процессов не обладают свойством стационарности. Следовательно, если предположение об эргодичности оправдано, то подтверждение свойства стационарности одной реализации может служить достаточным основанием для допущения стационарности и эргодичности случайного процесса, к которому принадлежит данная реализация.

1.1.4 Исчерпывающее описание случайных процессов Рассмотрим вновь случайный процесс, реализации которого изображены на рисунке 16. Зафиксируем значение временного аргумента. При фиксированном аргументе случайный процесс превращается в случайную величину и носит название сечения случайного процесса. Для приближенного описания случайного t процесса зададим его в равноотстоящие (через интервал ) моменты времени, то есть получим сечения t1, t2, t3, и т. д. Устремим t к нулю, число сечений N при этом устремляется к бесконечности.

Сигнал (процесс) превращается в систему бесконечного числа случайных величин {X(t1), X(t2),... X(tN)}.

Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является совместный закон распределения, заданный в той или иной форме, например, в дифференциальной: f{X(t1), X(t2),...

X(tN)}. Таким образом, для случайного процесса исчерпывающей характеристикой является бесконечномерная плотность распределения сечений. Для удобства в дальнейшем станем записывать ее в следующей форме:

f(X1, t1, X2, t2,... XN, tN... ).

И теперь вернемся к определению стационарности или не стационарности сигнала и зададим его несколько строже, нежели это было выполнено ранее.

В зависимости от поведения плотности распределения при прибавлении к каждому временному аргументу одной и той же величины, различают нестационарные процессы, слабо стационарные и стационарные в узком смысле.

Если при прибавлении к каждому временному аргументу одной и величины бесконечномерная плотность вероятности не изменяется, то сигнал (процесс) называется стационарным в узком смысле (см. определение выше), а в противном случае процесс таковым не является (т. е. это - либо процесс, стационарный лишь в широком смысле, либо вовсе нестационарный процесс).

То есть условие стационарности (в узком смысле) может быть записано следующим образом:

f(X1,t1+u;X2,t2+u;...Xm,tm+u;...)=f(X1,t1;X2,t2;...Xm,tm;...) (1.62) Выберем t1+u=0, тогда u=-t1: выражение для плотности приобретает вид:

f(X1,0;X2,t2-t1;...Xm,tm-t1;...) для двумерной плотности распределения соблюдается соотношение f(X1,0;X2,t2-t1)= f(X1,t1;X2,t2) (1.63) то есть плотность вероятности зависит не от времени, а от временного сдвига между сечениями, а одномерная плотность распределения вообще не зависит от какого-либо временного аргумента:

f(X1,t1)= f(X1,0) (1.64) Вместо плотностей вероятностей для описания случайных процессов можно использовать и характеристические функции, представляющие собой преобразования Фурье от соответствующих плотностей распределения. Так, например, N - мерная характеристическая функция определяется соотношением:

(u1,u2,..,un;t1,t2,..,tn) = n.. ej(u1x1+u2x2+...+unxn)f(x1,t1;...xn,tn)dx1dx2...dxn = (1.65) -- = M[exp(ju1x1 + ju2x2+...+junxn)] Отметим, что для независимых случайных величин характеристическая функция системы равна произведению характеристических функций величин, составляющих систему.

Иногда вместо плотностей вероятностей используют интегральные законы распределения - функции распределения.

Одномерная функция распределения определяет относительную долю значений xi(t), i=1, 2, 3,..., которые меньше некоторой величины Хi:

X F1(X1,t1)= f(u,t1)du (1.66) Очевидно, что для значений Х1, в которых функция F(x1,t1) дифференцируема, справедливо равенство F ( X, t ) 1 f(X1,t1)= (1.67) x Двумерная функция распределения определяется соотношением X X 1 F1(X1,t1,X2,t2)= f(u1,t1, u2,t2)du1du2 (1.68) - - откуда следует, что F ( X, t, X, t ) 1 1 2 f(X1,t1, X2,t2)= (1.69) x x 1 где функция, приведенная в выражении, есть N - мерная функция распределения.

1.2.4. Приближенное описание случайных процессов Как уже говорилось выше, для полного описания случайного процесса требуется полный набор его реализаций и математическое (в смысле определения вероятностных законов распределения возможных значений процесса) описание его свойств.

Для решения такой задачи в теории стохастических сигналов используется уже известный приём применения характеристик, которые на практике называют моментными или, попросту, начальными или центральными моментами сигнала {X(t)} или совокупности сигналов {X(t)} и {Y(t)}.

Начальным моментом порядка К случайного процесса {X(t)} называется такая функция времени, которая в каждый момент времени t, равна математическому ожиданию К-й степени самого сигнала:

dk(t)=M[Xk(t)]= Xk(t)f(X,t)dx (1.70) - Для определения любого момента dk достаточно знать одномерную функцию плотности распределения вероятностей:

d1(t)=M[X(t)]= X(t)f(X,t)dx (1.71) - Это и есть математическое ожидание (или среднее значение) процесса.

Как уже говорилось выше, практически любой (и особенно стационарный по математическому ожиданию ) процесс можно представить себе как аддитивную смесь постоянной (или медленно изменяющейся по среднему значению) мультипликативной составляющей.

Моменты, определяемые для центрированного сигнала X(t), имеют название центральных:

Центральный момент s-го порядка - это такая функция времени, которая в каждый момент времени равна математическому ожиданию s -й степени соответствующего центрированного сигнала.

ss (1.72) µ ( t ) = M [ ( t )] = ( t ) f ( x, t )dx s XX Моменты 0-го и 1-го порядка неинформативны, так как µ ( t ) = ; µ1(t ) = Основное применение получил второй центральный момент:

µ ( t ) = M [ ( t )] = D ( t ) (1.73) sx X Это - дисперсия сигнала, которая характеризует степень разбросанности отдельных реализаций относительно математического ожидания.

Ту же информацию о процессе {X(t)} дает и среднее квадратическое отклонение, численно равное квадратному корню из дисперсии и имеющее размерность самого сигнала.

Для описания случайных процессов используют также смешанные моменты.

Смешанным начальным моментом порядка (k+s) случайного сигнала {X(t)} называется такая функция двух временных аргументов t1 и t2, которая при фиксированных значениях этих аргументов численно равна математическому ожиданию произведения k-й и s-й степеней соответствующих сечений сигнала:

dk,s(t1,t2)=M[Xk(t1)Xs(t2)] (1.74) Центральный смешанный момент порядка (к+s) определяется выражением вида :

ks µk,s(t1, t ) = M[ (t1) (t )] (1.75) 2 XX Для приближенного описания свойств случайного процесса наиболее широкое применение получил центральный смешанный момент порядка (1+1):

µ11(t1, t ) = M [X(t1) X(t2)] = R (t1, t2). (1.76), 2 x - математическое ожидание произведения двух сечений центрированного сигнала. Это - уже упоминавшаяся автокорреляционная функция случайного сигнала {X(t)} (авто- т. е.

характеризуется корреляция, или взаимосвязь двух сечений одного и того же процесса).

Таким образом, для приближенного описания свойств сигнала используют математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.

Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для этого рассмотрим ее собственные свойства.

1) АКФ обладает свойством симметричности относительно своих аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных аргументов местами:

Rx(t1,t2)= Rx(t2,t1) (1.77) 2) По величине АКФ не может превышать произведения среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:

x Rx(t1,t2x)<= (t1) (t2) (1.78) x 3) При совпадении временных аргументов АКФ превращается в дисперсию:

(1.79) R ( t, t ) = M [ ( t )] = D ( t ).

xx X То есть набор характеристик, необходимых для приближенного описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: mx и Rx( ).

Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t1=t2=t:

Rx(t, t)<= (t), т. е.

x Rx(t, t)<=Dx(t). (1.80) Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах, и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.

На практике для удобства часто используют нормированную автокорреляционную функцию, под которой понимают функцию вида R ( t1, t2) M [ ( t1) ( t2)] x X X x(t1, t2) == (1.81) x( t1)x( t2) x( t1)x( t2) Нормированная АКФ - величина безразмерная. По определению нормированная АКФ - это коэффициент корреляции между двумя сечениями случайного процесса.

Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при переходе к нормированной функции :

1) (t1,t2)= (t2,t1) ;

x x 2) (t1,t2)<=1;

x 3) при равенстве временных аргументов:

t1=t2=t, (t,t) = 1.

x Выясним, как будет вести себя (t1,t2) при изменении x интервала времени между сечениями t1-t2= от нуля до бесконечности Рисунок 17 - Реализация случайного процесса (к вопросу о поведении нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между сечениями) Таким образом, выясняется четвертое свойство АКФ:

lim x(t1, t2) = (1.82) t -tЕсли рассматривать АКФ как функцию интервала времени между сечениями, то это функция при, стремящемся к бесконечности, будет стремится к нулю :

lim x () = 4) (1.83) то есть взаимосвязь между сечениями будет ослабевать и даже теряться (в соответствии с рисунком 17) Математическое описание системы двух случайных сигналов Пусть имеем два случайных сигнала {X(t)} и {Y(t)}, каждый из них можно представить в виде совокупности их сечений. Для точного их описания их следует представлять бесконечным числом сечений. То есть, сигналы представляются бесконечным числом случайных величин.

Рисунок 18 - Возможные изменения нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между реализациями Если совместная плотность распределения всех сечений этих сигналов не изменяется при прибавлении ко всем временным аргументам одной и той же величины, то эти сигналы называются стационарными и стационарно - связанными.

Рассмотрим приближенное описание свойств системы двух сигналов. Для этого будем использовать моментные характеристики.

Для каждого из сигналов указывают его математическое ожидание и АКФ :

mx(t), my(t); Rx(t1,t2), Ry(t1,t2).

Кроме этих характеристик вводится еще одна: взаимная корреляционная функция Rxy(t1,t2) (ВКФ).

Взаимной корреляционной функцией между двумя сигналами {X(t)} и {E(t)} называется такая функция времени, которая при фиксированных значениях временных аргументов равна математическому ожиданию произведения соответствующих сечений этих сигналов:

R (t1, t2) = M [Y(t1) X(t2)]. (1.84) yx Иногда вместо этой функции используют нормированную ВКФ :

R (t1, t2) M [ Y(t1) X(t2)] yx yx (t1, t ) == (1.85) y(t1)x(t2) y(t1)x(t2) Как видно из формулы (1.85), yx - это коэффициент корреляции между сечениями Y(t1) и X(t2).

Рассмотрим свойства этих функций:

1) Ryx(t1,t2)=Rxy(t2,t1), так как R (t1,t ) = M[Y(t1) X(t )] = M[X(t ) Y(t1)] = R (t2,t1) (1.86) yx 2 2 2 xy Взаимная корреляционная функция несимметрична относительно своих аргументов.

(t1,t2)= (t2,t1);

yx xy 2) Ryx(t1,t2)<= (t1) (t2);

y x (t1,t2)<=1 (1.87) yx 3) при одинаковых значениях временных аргументов:

R (t, t ) = M [Y (t ) X (t)] = D (t ). - (1.88) yx yx взаимная дисперсия.

Ryx(t1,t2) описывает степень линейной статистической взаимосвязи между временными сечениями различных сигналов.

Пусть t2-t1= - интервал времени между сечениями.

Рисунок 19 - Графики зависимостей АКФ и ВКФ от интервала времени между сечениями АКФ симметрична, и для ее описания можно изучать только одну ветвь, а в случае ВКФ необходимо исследовать обе ветви.

Нормированная ВКФ достигает своего максимума при, то есть два сигнала наиболее линейно связаны при этом сдвиге между их временными сечениями.

Если ( )=1, то сигналы X(t) и Y(t) связаны линейной yx функциональной зависимостью при =. Все понятия можно обобщить на случай системы произвольного числа сигналов {X (t)}, i=1, N.

Для этого достаточно установить mxi(t) - математические ожидания всех сигналов;

Rxi(t1,t2) - АКФ всех сигналов;

Ryi,xj(t1,t2) - ВКФ между всеми парами сигналов.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.