WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |

1)сигналы, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости x(t) dt < 2) сигналы, не удовлетворяющие этому условию. Вторые из них можно рассматривать и как процессы, которые формируются суммированием двух или более волн с произвольными частотами.

Эти процессы обладают свойством x(t) dt = Как видим, интегрирование по времени здесь производится в пределах 0 t <.На практике же мы всегда ограничены некоторым конечным временем измерения 0 t < t. Но чаще u приходится давать описание сигналов на участке времени, значительно превосходящем время измерения t << T. Сигнал x(t) u также может быть представлен в виде ряда Фурье bx(t) = + (a sin kwt + bk coskwt) k k=Такие процессы так же обладают линейчатым спектром (в соответствии с рисунком 10), однако, в этом случае спектр не носит убывающего характера Рисунок 10 - Спектр непериодического сигнала, не удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости Модель центрированного сигнала строим точно так же, как и в случае полигармонического процесса N X (t) (1.43) m A sin(kwt + k ), k k=m однако здесь частота w имеет совершенно другой смысл, так как Т в данном случае не есть период сигнала, а лишь интервал наблюдения.

Энергия модели так же принимается равной 95% энергии сигнала.

Нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяются отсечением 5% энергии, как это показано на рисунке 10.

A = 095A ; (1.44).

m m N T T T = A2 = 0025A; = A2 = 0025A; или = A2 = 0975A...

k u k 2 k=k=m k=wh = mw wb = Nw Обратимся теперь к вопросам математического описания детермированных процессов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости x(t) dt < Для описания таких сигналов используют прямое и обратное преобразования Фурье, то есть сигналы этого типа обладают не линейчатым, а непрерывным, гладким спектром x(jw)= x(t)e- jwtdt (1.45) - x(t)= x( jw)ejwtdw - Фурье - образ сигнала x(t) - его спектр или частотная характеристика X(ju). Для удобства частотную характеристику представляют в нескольких формах:

X(jw)= x(t)e- jwtdt = x(t) coswtdt - j x(t) sin wtdt (1.46) - - ReX(jw)= x(t) coswtdt - вещественная частотная характеристика, четная функция частоты;

ImX(jw)= x(t) sin wtdt - мнимая частотная характеристика, нечетная функция частоты.

X(jw)=ReX(jw)-jImX(jw)= R eX(jw) + I mX(jw) * Im X( jw) *exp- jarctg ReX( jw) Im X( jw) arctg - фазо-частотная характеристика;

ReX( jw) 2 R e + I m - амплитудно-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика может быть найдена и без предварительного определения вещественной и мнимой частотных характеристик:

x( jw) = x( jw) = x( jw)x(- jw) Рисунок 11 - Амплитудно-частотная характеристика детерминированного сигнала с гладким спектром На рисунке 11 изображена АЧХ сигнала рассматриваемого типа. То значение частоты, при котором АЧХ имеет максимум, называется основной частотой сигнала.

Диапазон частот, в котором амплитудно-частотный спектр имеет значения, близкие к максимальному, называется частотным диапазоном сигнала. Его границы -w,w. w = w -w - ширина н в в н спектра сигнала.

Существует несколько способов определения частотного диапазона. Рассмотрим эти способы.

Основным является энергетический подход к определению частотного диапазона. Вычислим энергию сигнала в предположении, что время изменяется в бесконечных пределах.

A= x2(t)dt - Перепишем выражение для энергии А= x(t)x(t)dt = x(t) x( jw)ejwtdwdt = - - - = x( jw) x(t)ejwtdtdw, - - но выражение в скобках равно X(-jw), тогда 1 А= x2(t)dt = x( jw) dw - - то есть энергия сигнала зависит только от амплитудно-частотного спектра и не зависит от фазо-частотного спектра. Вклад в энергию дают все частоты. Соотношение 1 A= x2(t)dt = x( jw) dw (1.47) - - называют равенством Парсеваля. Под частотным диапазоном сигнала понимают полосу частот, в которой сосредоточено 95% всего сигнала (в соответствии с рисунком 12).

Рисунок 12 - Определение частотного диапазона сигнала по энергетическому критерию Запишем уравнения для определения границ частотного диапазона wв x( jw) dw = 095 x( jw) dw (1.48).

wн Отсюда находят верхнюю и нижнюю границы полосы частот.

Однако, уравнение одно, а неизвестных два. Поэтому логично воспользоваться следующим подходом:

wн 2 x( jw) dw = 0025 x( jw) dw.

0 (1.49) 2 x( jw) dw = 0025 x( jw) dw.

wв Оба эти уравнения имеют единственное решение. Далее можно найти ширину полосы частот w = wв - wн. Или, при известной основной частоте сигнала, можно предположить, что частотный диапазон симметричен относительно основной частоты w :

w wн = w0 (1.50) w wв = w0 + Полученные значения верхней и нижней граничных частот подставляем в равенство Парсеваля:

w w0 + 2 x( jw) dw = 095 x( jw) dw (1.51).

w w0 При известной основной частоте это - уравнение с одним неизвестным и единственным решением.

Рассмотрим теперь некоторые другие подходы к определению частотного диапазона. Согласно первого из них, называемому метрологическим(в соответствии с рисунком 13), под полосой частот понимают координаты пересечения кривой АЧС с некоторой прямой, проведенной параллельно оси частот.

Рисунок 13 - Метрологический подход к определению частотного диапазона сигнала 22 X( jw) = X( jw) - X( jw) (1.52) max X( jw) = 1 - = 1 - j (1.53) X( jw) X( jw) max max Часто выбирают j=0.05,а вообще j назначают, исходя из конкретных технических условий, например, в радиотехнике принято считать j=0.5.

Следующий, и последний подход позволяет определять ширину спектра по формуле:

x( jw) dw wс = (1.54) x( jw) max нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяются в предположении их симметричности относительно w0 :

w = w0 - wс н wв = w0 + wс На практике все сигналы подразделяются на две группы:

широкополосные и узкополосные. К узкополосным относятся сигналы, ширина спектра которых значительно меньше основной частоты wwс << wШирокополосные - это такие сигналы, у которых частотный диапазон значительно превышает основную частоту :

wс >> wОбобщенный подход к математическому описанию детерминированных сигналов В качестве обобщенной модели любого детерминированного сигнала можно предложить модель следующего вида N xm (t) = kk (t) (1.55) k где: k (t) - координатные (базисные) функции;

k - параметры модели сигнала или коэффициенты разложения сигнала в ряд по функциям k (t).

Модель всегда отличается от самого сигнала, то есть всегда существует разница xm(t)-x(t) Станем рассматривать сигнал на отрезке 0 t T, а в качестве критерия адекватности модели возьмем величину T = xm (t) - x(t) dt - квадратичную погрешность или {} взвешенную квадратичную погрешность T = xm (t) - x(t) (t)dt (1.56) {} (t) - весовая функция, выбираемая из технических условий и вводимая для того, чтобы на данном временном отрезке обеспечить наилучшую адекватность модели.

T TT = x2 (t)(t)dt - 2 xm (t)x(t)(t)dt + x2(t)(t)dt m 00 Рассмотрим как функцию параметров модели : > 0,, квадратичная форма и поэтому имеет единственный экстремум - минимум.

Условия экстремума функции нескольких переменных :

= 0,(m = 0, N ) m T T xm (t) xm (t) = 2 xm (t) (t)dt - 2 x(t)(t)dt = m 00 m m T T xm (t) xm (t) xm (t) (t)dt = x(t)(t)dt m m xm (t) Однако, = m (t),подставляем в наше выражение m T T xm (t)m (t)(t)dt = m (t)x(t)(t)dt и подставляем в это соотношение выражение для модели N xm (t) = kk (t) k =T T N k k (t)m (t)(t)dt - m (t)x(t)(t)dt = 0 (1.57) {} k =0 То есть, чтобы отыскать параметры k,необходимо решить систему (N+1) уравнений с (N+1) неизвестными, что достаточно неудобно. Но существует и другой путь.

Если выполняются условия ортогональности базисных функций, T 0, k m k (t)m (t)(t)dt = (t)m (t)(t)dt = m, k = m k то наше выражение примет вид T T m 2 (t)(t)dt - m (t)x(t)(t)dt = m T mm - m (t)x(t)(t)dt = Таким образом система уравнений сводится к совокупности (N+1) уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное, которое может быть найдено :

T m = m (t)x(t)(t)dt = 0 (1.58) m 1.2.3 Математическое описание случайных процессов Классификация случайных процессов Как говорилось ранее, процессы, соответствующие случайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, поскольку результат каждого наблюдения над процессом не воспроизводим. То есть, исход любого наблюдения представляет собой лишь один из многих возможных результатов.

Рассмотрим, изменение напряжения на выходе генератора некоторого шума.

Рисунок 14 - Реализации на выходе генератора шума Как видно из рисунка 14, записи выходного напряжения генератора от реализации к реализации меняются. Кроме того, напряжение на выходе второго такого же генератора будет изменяться совершенно другим образом, чем у первого.

Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией или реализацией.

Множество всех реализаций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, называется случайным или стохастическим процессом. То есть реализация, полученная в результате наблюдений над случайным физическим явлением, представляет собой элемент множества возможных физических реализаций случайного процесса.

Рисунок 15 - Классификация случайных процессов Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. В свою очередь стационарные процессы могут быть эргодическими и неэргодическими. Для нестационарных существует специальная классификация нестационарности. Классификация случайных процессов и связь между различными их классами показана на рисунке 15.

Обсудим теперь общие черты и физический смысл указанных категорий процессов.

Стационарные случайные процессы Физическое явление при рассмотрении с позиций теории случайных процессов (сигналов) можно описать в любой момент времени осреднением по ансамблю реализаций, представляющих данный случайный процесс. Рассмотрим ансамбль выборочных функций, образующий случайный процесс (рисунок 16).

Математическое ожидание или среднее значение ( первый начальный момент распределения ) процесса в момент времени t может быть найдено путем суммирования мгновенных значений каждой реализации ансамбля в момент t деления этой суммы на число реализаций. Аналогичным образом корреляция между значениями случайного процесса в два различных момента времени (второй смешанный центральный момент, который называют автокорреляционной функцией) определяется путем осреднения по ансамблю произведений мгновенных значений центрированного процесса Х(t) = X(t) в моменты t и t+.То есть, математическое ожи Рисунок 16 - Ансамбль реализаций, образующих случайный процесс дание mx(t) и автокорреляционная функция Rx(t,t+ ) процесса { X(t)} (фигурные скобки означают ансамбль реализаций) определяются из соотношений N mx(t)= (t) (1.59а) lim X л N N л= N Rx(t,t+ )= (t) (t + ) (1.59б) lim X X k k N N x =причем при суммировании предполагается, что появление всех реализаций равновероятно. В общем случае, когда функции mx(t) и Rx(t,t+ ) меняются с изменением момента времени t, случайный процесс {X(t)} называется нестационарным. В частном случае независимости mx(t) и Rx(t,t+ ) от t случайный процесс {X(t)} называется стационарным в широком смысле. Математическое ожидание такого процесса постоянно, а автокорреляционная функция представляет собой функцию единственной переменной - временного сдвига между сечениями процесса, то есть mx(t)=mx, Rx(t,t+ ) = Rx( ).

Для случайного процесса {X(t)} можно отыскать бесконечное множество начальных и центральных (в том числе и смешанных) моментов; их совокупность полностью описывает плотности распределения процесса. Когда все начальные и центральные моменты не зависят от времени, процесс называют стационарным в узком смысле (более точное определение такого типа стационарности будет приведено ниже). Любой процесс, стационарный в узком смысле, является стационарным и в широком, но не наоборот.

Эргодические случайные процессы Выше был рассмотрен вопрос об определении свойств случайного процесса путем осреднения по ансамблю в отдельные моменты времени. Однако, во многих случаях представляется возможным описать свойства стационарного случайного процесса путем осреднения по времени отдельных достаточно продолжительных реализаций ансамбля. Рассмотрим, например, К-ю выборочную функцию случайного процесса, изображенного на рисунке 16. Математическое ожидание mx(k) и автокорреляционная функция этой реализации Rx(,k) определяются выражениями T Mx(k)= (t)dt (1.60a) lim X k T T T Rx(,k)= (1.60б) (t) (t + )dt lim X X k k T T Если случайный процесс {X(t)} стационарен и mx(k) и Rx(,k), определенные формулами (1.60), одинаковы для всех реализаций, то случайный процесс {X(t)} называется эргодическим. Для эргодического случайного процесса среднее значение и автокорреляционная функция (а также другие моменты, определяемые осреднением по времени ) равны соответствующим средним по ансамблю: mx(k) = mx, Rx(,k) = Rx( ). Заметим, что только стационарные процессы могут обладать свойством эргодичности.

Эргодические процессы представляют важную разновидность сигналов, так как все их свойства могут быть определены осреднением по времени одной единственной реализации (хотя и непременно достаточно продолжительной ). На практике процессы, соответствующие стационарным случайным явлениям, как правило, обладают свойством эргодичности, что позволяет позволяет правильно определить характеристики стационарного случайного процесса по одной выборочной реализации.

Нестационарные случайные процессы К нестационарным относятся все случайные процессы, упомянутые в приведенной выше классификации, не обладающие свойством стационарности хотя бы в широком смысле.

Характеристики нестационарного процесса в общем случае представляют собой некоторые функции времени, определить которые можно только осреднением по ансамблю реализаций, образующих процесс. В практических задачах часто представляется невозможным получить достаточно большое число реализаций для отыскания характеристик процесса с необходимой достоверностью.

Это обстоятельство препятствует развитию практических методов оценивания и анализа нестационарных случайных процессов.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.