WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

Возникает вопрос о точности количественной оценки взаимосвязей между составляющими объекта измерения. Очевидно, при прочих равных условиях, чем точнее определены количественные взаимосвязи, тем лучше. Но, с другой стороны, повышение точности количественной оценки взаимосвязи между составляющими сопряжено с большими трудностями и неизбежно приводит к усложнению алгоритма нахождения одних составляющих через другие. Поэтому точность количественной оценки взаимосвязей должна быть выбрана разумной и целиком и полностью согласована с той необходимой точностью, которая допускается при измерениях тех или иных составляющих объекта измерения.

Следующей важной задачей является изучение свойств составляющих объекта измерения. Знание этих свойств позволит в дальнейшем синтезировать оптимальные алгоритмы измерения параметров объекта исследования, выбрать необходимые типы измерительных преобразователей и определить частоты их опроса.

Перечисленные задачи могут быть решены на основании математического описания объекта измерения.

Общий подход к математическому описанию объекта измерения Рассмотрим некоторые общие вопросы математического описания объекта измерения. При этом будем иметь в виду, что конечной целью является описание взаимосвязей между составляющими объекта измерения и математическое описание самих составляющих.

Поскольку составляющие объекта X1,X2,...,XN являются случайными величинами, то естественно рассматривать их в совокупности как систему случайных величин (X1,X2,...,XN).

Исчерпывающим описанием этой системы величин является закон распределения. Допустим, что тем или иным способом определена плотность совместного распределения величин X1,X2,...,XN, входящих в систему f(x1,...,xN).

По известной плотности распределения системы случайных величин находят плотности распределения f(x1), f(x2),...,f(xN) отдельных величин, входящих в систему:

f (x1) = f (x1,..., xN )dx2...dxN ;

- f (xN ) = f (x1,..., xN )dx1...dxN -1;

-Зная плотность распределения системы величин и плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, можно проверить, являются ли все величины (составляющие) X1,...,XN взаимонезависимыми. Критерием взаимонезависимости является выполнение условия f(x1,...,xN) = f(x1)f(x2)...f(xN) (2.1) Если это условие будет выполнено, то все параметры можно рассматривать как взаимонезависимые. Если же окажется, что условие (2.1) не выполняется, то это будет означать, что часть величин X1,...,XN или все они являются взаимозависимыми. В этом случае необходимо выявить взаимонезависимые и взаимозависимые величины и затем найти алгоритм определения одних составляющих через другие.

Для решения этой задачи необходимо определить условные плотности распределения каждой из составляющих X1,...,XN:

f (x1,..., xN ) f (x1 x2,..., xN ) = (2.2) f (x1,..., xN )dx f (x1,..., xN ) f (xN x1,..., xN -1) = (2.3) f (x1,..., xN )dxN Критерием независимости величины Xk от всех остальных является равенство f(xk/x1,...,xk-1,xk+1,...xn) = f(xk). (2.4) Невыполнение этого равенства будет означать, что величина Xk функционально связана с какими-то из величин X1,...Xk,Xk+1,...,Xn, а именно с теми, функцией которых является условная плотность распределения величины Xk.

Чтобы найти эту функциональную связь, надо определить условное математическое ожидание величины Xk:

xk xk M,..., xk-1, xk+1,..., xn = (2.5) x xk f,..., xk-1,xk+1,..., xndxk xЭто условное математическое ожидание отражает функциональную связь величины Xk с другими :

Xk=M[Xk/X1,...,Xk-1,Xk+1,...,Xn]=[X1,...,Xk-1,Xk+1,..Xn]. (2.6) Формула (2.6) как раз и показывает алгоритм определения составляющей объекта измерения X, через другие,с которыми она связана.

Таким образом знание совместного закона распределения составляющих объекта измерения позволяет решать все интересующие задачи. Но, к сожалению, нахождение такого закона распределения сопряжено с громадными трудностями, связанными с большой затратой материальных средств и времени. Особенно это усугубляется при большом числе составляющих объекта измерения.

Поэтому описанную методику целесообразно применять лишь тогда, когда число составляющих невелико (n=3-5).

При большом числе составляющих объекта измерения, с целью сокращения материальных и временных затрат, целесообразно вначале решать качественную задачу, позволяющую лишь ответить на вопрос, какие из составляющих взаимонезависимы, а какие зависят друг от друга. К количественной оценке взаимозависимостей между ними надо переходить лишь после решения первой задачи.

Первая, качественная задача, может быть решена двояко. Вопервых, уже на основе предварительного словесного описания исследуемого объекта и физических процессов, протекающих в нем, может быть вынесено суждение о взаимосвязи составляющих.

Помощь здесь могут оказать, например. функциональные схемы объектов.

Если априорно выявить взаимосвязи удается лишь между небольшим числом составляющих или вообще не представляется возможным, то целесообразно провести статистическое исследование объекта исследования.

Применение дисперсионного анализа Наиболее эффективным статистическим методом выявления взаимозависимости является дисперсионный анализ.

Этот метод состоит в том, что путем изменения соответствующих параметров объекта исследования изменяют заданным образом одну или несколько других составляющих объекта измерения. Эти изменения могут повлиять на величину одной или нескольких других составляющих. Степень такого влияния, его качественные характеристики как раз и описываются с помощью дисперсионного анализа. В зависимости от числа составляющих, степень влияния которых на другие мы хотим оценить, различают однофакторный, двухфакторный и т.д.

дисперсионные анализы.

На примере однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа поясним, как происходит выявление взаимосвязей между составляющими объекта измерения путем использования данного метода.

Пусть ставится задача определить, является ли составляющая Xk зависимой от составляющей Xa. Эта задача решается при помощи однофакторного дисперсионного анализа. Для этого составляющей Xa задают ряд значений Xa,Xa,...,Xa и при каждом значении производится n измерений составляющих Xk.

Для удобства результаты измерений обычно заносятся в таблицу 1.

Таблица Значения Номер измерения XA 1... J... N XA1 Xk11... Xk1j... Xk1n..................

Xai Xki1... Xkij... Xkin..................

Xam Xkm1... Xkmj... Xkmn В таблице 1 через Xkij обозначен результат j-го измерения составляющей Xk при значении Xa=Xai. Как видно из таблицы, всего мы имеем n*m результатов измерения составляющей Xk.

Обозначим через Xk среднее арифметическое из n измерений составляющей Xk, выполненных при значении Xa= Xa, через Xk- среднее арифметическое из n измерений составляющей Xk, выполненных при значении Xa=Xa и т.д.

Таким образом, n X = xk1j kn j =n X = xkij ; (2.7) ki n j =n X = xkmj km n j =Очевидно, если влияние составляющей Xa на составляющую Xk существенно, то есть Xk зависит от Xa, то мы должны ожидать повышенного рассеивания средних Xk,..., Xki,...,Xkm и наоборот.

Обозначим через Xk общее среднее арифметическое всех m*n измерений составляющей Xk:

m n m X = xkij = x. (2.8) k ki mn m i =1 j =1 i =Определим общую статистическую дисперсию всех результатов измерений составляющей Xk:

m n D =- X )2. (2.9) k (X kij k mn i =1 j =Эта дисперсия обязана своим, появлением всем действующим факторам - как влиянию составляющей XA, так и фактору случайности при каждом конкретном значении XA. Основная задача, которую решает дисперсионный анализ - это разделение общей дисперсии D на компоненты, которые характеризовали бы влияние k на составляющую Xk составляющей XA и фактора случайности, в отдельности.

Принимая во внимание формулы (2.7) и (2.8), статистическую дисперсию D представим в виде k m n D = (X - X ) + (X - X ) = (QA + Q0), (2.10) k kij kj ki k [] mn mn i =1 j =где m QA = n ki k (X - X )2;

i =m n Q0 = ki (X - X )2;

kij i =1 j = Таким образом, статистическая дисперсия D результатов k измерения составляющей Xk при различных значениях XA пропорциональна сумме слагаемых QA и Q0, т.е. рассеивание, результатов измерения составляющей Xk складывается из двух компонент: QA и Q0. Величина QA характеризует влияние на дисперсию D составляющей Xk, а величина Q0 - влияние k случайных погрешностей.

Для того чтобы оценить степень влияния составляющей XA на Xk, необходимо сравнить между собой слагаемые QA и Q0. Очевидно в том случае, когда влияние составляющей XA на Xk существенно, т.е. зависит от XA, мы должны получить QA>>Q0. Если же влияние XA на Xk несущественно, то рассеивание результатов измерения, составляющей Xk будет вызвано лишь случайными погрешностями, и мы должны получить QA<

Так как результаты измерения параметра Xk носят случайный характер, то и величины QA и Q0 будут также случайными. Поэтому их сравнения нужно проводить вероятностными методами.

На практике случайные погрешности измерений очень часто оказываются распределенными по нормальному закону. В этом случае сравнение слагаемых QA и Q0, т.е. оценку влияния составляющей XA на Xk, можно проводить с помощью так называемого F-критерия:

CA F =, (2.11) Cгде QA Q CA = ; C0 =.

m - 1 m(n - 1) Величина F является случайной, так как величины QA и Q0 случайны.

Доказано, что величина подчинена так называемому Fраспределению с (m-1) и m(n-1) - степенями сво6оды.

Правило оценки степени влияния составляющей XA на Xk, сводится к следующему:

1) подсчитываются значения величин QA и Q0, (m-1) и m(n-1);

2) по этим значениям подсчитываются CA,C0 и затем F;

3) по специальным таблицам, имеющимся в справочниках, задаваясь доверительной вероятностью q (обычно полагают q=0.95 0.999) по степеням свободы (m-1) и m(n-1) с учетом CA,C0 и находится Fq;

4) гипотеза о том, что составляющая Xk зависима от принимается, если F>Fq;

5) если FFq, то влияние составляющей XA на Xk нужно считать незначительным, так как в этом случае рассеивание результатов измерений вызвано в основном случайными, погрешностями измерения Xk.

Если с помощью дисперсионного анализа установлено, что составляющая Xk зависит от XA, то это отнюдь не означает, что составляющая XA зависит от Xk, так как первая может быть причиной, а вторая - следствием. Так, например, Э.Д.С. термопары зависит от разности температур между ее холодным и горячим спаями. Но температура между горячим и холодным спаями этой термопары ни в коем случае не зависит от термоэдс. Точно так же, если Xk не зависит от XA, то это не означает XA, что также не зависит от Xk. Поэтому, чтобы выявить взаимонезависимые составляющие объекта измерения, нужно проверять с помощью дисперсионного анализа взаимное влияние их друг на друга.

Рассмотрена методика применения дисперсионного анализа для выявления наличия зависимости какой-то одной составляющей объекта измерения от другой. Теперь необходимо определить, является ли составляющая объектом Xk зависимой от двух других XA и XB или зависит от какой-то одной из них. Эта задача решается с помощью двухфакторного дисперсионного анализа. Для этого одной из составляющих объекта, например XB, задается какое-то значение XB1. При этом значении XB начинают изменять значения составляющей XA и при каждом конкретном ее значении XA1,..., XAi,...,XAm осуществляют измерение величины Xk. Затем устанавливают другое значение XB=XB2 и снова осуществляют измерение при тех же самых значениях XA, что и в предыдущем случае. Такие измерения проводят для ряда значений XB,...,XBi,...,XBm, составляющей XB. В итоге получают n*m результатов измерения составляющей Xk, где n и m - соответственно число значений, которое задали составляющим объекта измерения XB и XA. Результаты измерений заносят в табл. 2.

В этой таблице через Xkij; обозначен результат измерения Xk при значении XA =XAi и XB=XBj Введем обозначения:

n X = - среднее значение составляющей при kAi X kij n j =XA =XAi;

m X = - среднее значение составляющей при kBj X kij m i =XB =XBi;

m n m n X = - среднее kkij kAi kBj X = 1 X = 1 X mn m n i =1 j =1 i =1 j =арифметическое результатов измерений составляющей Xk.

Таблица XA XB XB1... XBj... XBn XA1 Xk11... Xkij... Xk1n..................

XAi Xki1... Xkij... Xkin..................

XAm Xrm1... Xrmj... Xkmn Очевидно, на величину среднего X оказывает влияние, kAi помимо случайных факторов, лишь составляющая объекта XA, так как по всем значениям XB проведено усреднение. Точно так же величина среднего X зависит лишь от значений составляющей kBj XB. Поэтому рассеивание средних X не будет зависеть от kAi значений XB, а рассеивание X - от значений.

kBj Общее рассеивание результатов измерения составляющей Xk может быть оценено величиной статистической дисперсии:

m n D =- X )2. (2.12) k (X kij k mn i =1 j =Принимая во внимание обозначения, введенные выше, формулу (12) представим в виде m n D = (X - X ) + (X - X ) + (X - X - X + X = k kAi k kBi k kij kAi kBj k [] mn i =1 j== (QA + QB + Q0 ), (2.13) mn где m QA = n - X )2;

(X kAi k i =n QB = m - X )2;

(X kBi k j =m n Q0 = kij kAi kBj k (X - X - X + X )2;

i =1 j = Таким образом, статистическая дисперсия D k пропорциональна сумме трех слагаемых QA, QB и Q0. Причем, помимо случайных факторов, вызванных погрешностями измерения, на величину слагаемого QA влияет лишь XA, а на величину QB - XB.

Оценка степени влияния составляющих объекта измерения XA и XB на составляющую Xk, как и при однофакторном дисперсионном анализе, производится при условии нормального распределения случайных погрешностей измерений с помощью F-критерия:

QA CA m - FA = = ; (2.14) Q0 C(m - 1)(n - 1) QB CB n - F = =. (2.15) Q0 C(m - 1)(n - 1) Правило оценки степени влияния составляющих XA и XB на Xk заключается в следующем:

1) подсчитываются величины QA, QB, (m-1), (n-1) и (m-1)(n-1);

2) по значениям величин п.1 определяются CA, CB, C0, а затем FA и FB;

3) задаются величиной доверительной вероятности q;

4) по специальным таблицам по степеням свободы (m-1) и (m1)(n-1) с учетом CA и C0, находится FqA, а по степеням свободы (n-1) и (m-1)(n-1) с учетом CB и C0-FqB;

5) если FA FqA и FB FqB, то влияние составляющих объекта измерения XA и XB на Xk несущественно и можно считать, что Xk практически не зависит ни от XA, ни от XB;

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.