WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |

4)Рассмотрим, как ведет себя дисперсия k-й гармоники при неограниченном увеличении промежутка времени Т.

T T T 2D 2D 12 xx D = |R ()|d = |R ()|d < |x()|d = к (1.12) k x x T T T T - T 0 T где k = |x()|d - интервал корреляции процесса X(t).

2D x То есть, D < к - при увеличении Т дисперсия гармоники k T убывает.

5)Как видно из неравенства (1.128) предел дисперсии при неограниченном увеличении Т равен нулю lim D = 0. (1.129) x T Рассмотрим, к чему стремится дисперсия при неограниченном росте порядкового номера номера гармоники k.

Обозначим: kw =, в = kwT = k, m = -k, d T =, d = = d.

kw kw kw k ;

D = R ( ) cosd k x k k -k при больших k k D = cosd ;

k k -k lim D = 0.

x k То есть, при больших k энергетический спектр затухает.

Рассмотрим вопрос определения полосы частот сигнала.

В основу определения частотного диапазона кладется энергетический подход, то есть под полосой частот подразумевает такая, в которой сосредоточена практически вся энергия (мощность) сигнала, а именно - 95%.

N X (t) = м k (A sin(kwt + k ), k = m wн = mw; wв = N w.

Таким образом, верхняя и нижняя границы полосы частот при известных m и N легко определяются. Ширина спектра при этом:

w=(N-m)w N D = м k D - мощность сигнала в полосе частот;

k =m N D == 095D.

м D k x k =m Отсюда ищутся m и N. Но непосредственно таким подходом воспользоваться нельзя, нужны другие способы. Например, предположим, что потери энергии на частотах от 0 до m-1 и от N+до равны, тогда:

m -D +. (1.130) k x D = 0025D, k =отсюда определяют m;

k x D = 0.025D, N =N +из этого выражения можно найти N, но вычислять сумму бесконечного ряда неудобно, поэтому часто прибегают к такому подходу:

N D D = + x k k D + D, k =1 k =N +это - мощность всего сигнала ;

N D.

k x k x D = D - - D = 0025D, (1. 131) k =N +1 k =Этим уравнением для определения N воспользоваться проще, для этой же цели можно применить и такое выражение:

N D 0975D = +.

x k D, (1.132) k =Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), рассматриваемый на интервале времени 0<=t<.

Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии k-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.

D 0 k R () = +D D kD kk ejkw + e- jkw = ejkw +D e- jkw x 22 2 2 k =1 k =1 k =0 k = Заменим во второй сумме k на -k:

D D kk R () = ejkw + ejkw, x 2 k =0 k =но Dk=D-k. Тогда D D D kk k ejkw + e- jkw = (1.133) ejkw.

2 2 k =0 k =- k =Так как частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену :

D k R () = ejkw (1.134) x k =В свою очередь T D = (1.135) k x T R () cos(kw)d -T Найдем отношение T D k = R () cos(kw)d = S* (kw) (1.136) x w - T Это - функция k w, обладающая свойствами:

S*(-kw) = S*(kw), то есть S*(kw) - четная функция своего аргумента; кроме того она неотрицательна: S*(kw) >= 0.

Перейдем от Dk к введенной нами функции:

D = wS*(kw) k T S*(kw) = x R () cos(kw)d (1.137) -T jk w R ( ) = S* e w (1.138) x k =Устремим w к нулю, а интервал времени Т к бесконечности.

S*(kw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.

R x () = 1 S* (u) exp( ju)du (1.139) S (u) = 1 R () cos(u)d * x Вместо аргумента u введем w:

* R () = x 2 S (w) exp( jw)dw (1.140) * x S (w) = R () cos(w)d Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.

Для того, чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье - преобразования от СПМ, переобозначим ее:

S* (w) Sw) = (1.141) ( В формулах произойдут следующие изменения :

R () = S( w) exp( jw)dw x (1.142) S( w) = R () cos( w)d x Рассмотрим свойства новой спектральной плотности:

ejw + e- jw cos(w) = R () cos(w)d = R () exp( jw)d + xx - + R () exp(- jw)d x В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т. к. R () = R (-), то xx R () cos(w)d = R () exp(- jw)d + xx - + R () exp(- jw)d = R () exp(- jw)d xx - - то есть спектральная плотность может быть записана в виде:

S( w) = R () exp(- jw)d (1.143) x Вывод : АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.

Сделаем подстановку: exp(jw )=cos(w )+jsin(w ), тогда R () =, x S(w) cos( w)dw + j S(w) sin(w)dw - но так как АКФ является четной функцией, а синус — нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда R () = w) cos(w)dw, x S( то есть:

R () = x S(w) cos( w)dw (1.144) ( x Sw) = R () cos(w)d Укажем некоторые свойства спектральной плотности мощности.

Во-первых, СПМ является четной функцией своего аргумента S(w) =S(-w), во-вторых, спектральная плотность - неотрицательная функция:

S(w)>=0, и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:

D = R (0) = (1.145) x x S(w)dw.

То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это - условие нормировки.

Частотный диапазон сигнала и способы его определения Под частотным диапазоном случайного сигнала понимают такую полосу частот, в которой сосредоточена практически вся его мощность (95%).

Мощность сигнала - это его дисперсия, значит в частотном диапазоне содержится 95% дисперсии. Будем рассматривать только одну ветвь (в соответствии с рисунком 26) Рисунок 26-К вопросу об определении частотного диапазона сигнала Случайный сигнал будет содержать энергию, соответствующую площади заштрихованной фигуры.

wв D x ( ). (1.146) Swdw = 095 wн Однако это уравнение нельзя использовать для вычисления ширины спектра, так как в него входит два неизвестных.

Существует несколько способов определения частотного диапазона. Рассмотрим первый из них. Предположим, что потери энергии слева и справа от частотного диапазона одинаковы:

wн Swdw = 0025D x ( ).

(1.147) D x ( ) Swdw = 0.025 wв S(w) - монотонная функция, т. е. решение единственно.

Ширина частотного диапазона по его верхней и нижней границам :

wс = wв - wн.

Та частота, на которой спектральная плотность имеет максимум, называется основной частотой сигнала w0.

Если известна основная частота w0, то делается предположение о том, что спектр сигнала симметричен относительно этой частоты:

wв = w0 + wс (1.148) = w0 - wс wн Тогда уравнение (1. 146) примет вид w0 +wс D x (. (1.149) Sw)dw = 095 wс w0 В этом уравнении имеется единственное неизвестное - эквивалентная ширина спектра мощности, и так как СПМ - монотонная функция, то уравнение имеет только одно решение.

Итак, для определения частотного диапазона необходимо:

1) определить основную частоту w0;

2) решить уравнение и найти эквивалентную ширину спектра мощности;

3) найти верхнюю и нижнюю границы частотного диапазона.

Возможен и частный случай, когда нижняя граничная частота равна нулю, и приходится определять только верхнюю частоту диапазона:

wв Swdw = 095D x (1.150) ( ).

Здесь единственное неизвестное - верхняя граничная частота, которая численно равна эквивалентной ширине частотного диапазона wс = wв.

Наибольшее применение на практике получил формантный подход к определению частотного диапазона.

Согласно этому подходу, вначале определяется ширина частотного диапазона. Под ней понимается величина основания прямоугольника (в соответствии с рисунком 27), построенного на оси частот и имеющего высоту, равную максимальному значению СПМ, а площадь - равную площади фигуры, ограниченной кривой спектральной плотности.

Рисунок 27 - Формантный метод определения частотного диапазона wсSм = D x wс = D 2Sн x (1.151) wн = w0 - wс wв = w0 + wс Достоинством этого подхода является минимум вычислений.

На практике часто используют его модификацию:

wс = D 2Sм = w)dw 2Sм (1.152) x S( или wс1 = (w)dw 2S2 (1.153) м S Рассмотрим связь между этими двумя способами.

.

S (w)dw = S(w)S(w)dw =< SмS(w)dw 00 С учетом этого неравенства :

wс1 Sм w)dw Sм ; wсS( S(w)dw Sм.

0 но wс = S( w)dw 2Sм, wс1 wс.

Это справедливо для любых сигналов. Еще одним способом определения частотного диапазона является так называемый метрологический подход. При этом подходе под частотным диапазоном понимается такой, в котором СПМ S(w) незначительно отличается от своего наибольшего значения (в соответствии с рисунком 28).

Рисунок 28 - Метрологический подход к определению частотного диапазона Координата пересечения линии, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на Sм-, с кривой S(w) дают граничные частоты wн и wв.

S( w) Sм- =S(w); 1 - = ; = 5-10%.

Sм Sw) ( 1 - = (1.154) Sм Sм Этот способ дает заниженные значения эквивалентной ширины спектра мощности.

В зависимости от того, в каком соотношении находятся между собой w0 и ширина спектра, различают два типа сигналов:

1) широкополосные, у которых ширина частотного диапазона значительно превышает значение основной частоты: wс >> w0;

2) узкополосные, у которых основная частота намного больше эквивалентной ширины спектра мощности.

Укажем здесь еще одно свойство всех стационарных случайных процессов, которое носит названия соотношения неопределенности:

Произведение интервала корреляции случайного сигнала на эквивалентную ширину спектра его мощности есть величина постоянная, значение которой зависит от способов задания этих характеристик:

к wс = const (1.155) Например, рассмотрим широкополосный сигнал с нулевой основной частотой w0=0, тогда Sм=S(0). Мы знаем, что wс = S( w)dw 2Sм = D 2Sм x w0 = 0, Sw) = ( x R () cos(w)d, D D к 1 xx S(0) = = Sм, x x R ()d = ()d = D x wcк = ;

wc == ; тогда 2D к 2к x Рассмотрим теперь некоторые специальные виды сигналов.

Полосовые шумы Полосовым шумом называется сигнал, СПМ которого постоянна в заданной полосе частот, а вне ее равна нулю (в соответствии с рисунком 29 и 30).

Рисунок 29 - Спектр узко- Рисунок 30 - Спектр широко- полосного сигнала полосного сигнала W0 - частота, делящая частотный диапазон пополам:

wн + wв w0 =.

S0 - интенсивность шума.

Основной частотой широкополосного сигнала считается нулевая частота.

Рассмотрим узкополосный шум. Выразим его интенсивность через дисперсию :

wсS0 = D 2 - это площадь прямоугольника на рисунке 23, x D D x x S0 == 2wc 2( wв - wн ) Рассмотрим функцию корреляции полосового шума.

R () = S(w) cos(w)dw = 2 S(w) cos(w)dw = x - wв wв = 2 S(w) cos( w)dw = 2 S0 cos( w)dw = wн wн wв D sin( w) x = 2D 2(wв - wн ) cos(w)dw = |wв = x wн wв - wн wн D 2 wв - wн wв + wн x = sin( ) cos( );

( wв - wн ) wв - wн = wc но, (wв+wн )/2=w0, тогда Rx() = Dsin(wc 2 ) cos(w0) x wc или sin(wc ) Rx() = Dx wc 2 cos(w0) (1.156) АКФ полосового шума имеет колебательный, затухающий характер. Рассмотрим вопрос: при каких условиях отсчеты шума будут некоррелированными АКФ будет равной нулю, когда либо синус, либо косинус равны нулю:

sin(wc 2 ) = а), когда w 2 = k, k=1,2,... (при k=0 значение АКФ равно c единице);

= 2k wc ; w = 2f ; wc = 2fc, = k fc. (1.157) Таким образом, отсчеты шума будут некоррелированными, если их брать через интервал 1 fc ;

б) cos(w0 )=0; w0 =(2k+1) /2, k=0, 1, 2,...

= (2k + 1) 2w0 ; w0 = 2f0;

= (2k + 1) 22f0 = (2k + 1) 4fНайдем шаг по аргументу :

(2k+1)/4f0 - (2(k-1)+1)/4f0=(2k+1-2k+2-1)/4f0 =1/2f0 (1. 158) Таким образом, получены два шага дискретизации, при которых отсчеты сигнала становятся некоррелированными. Из них надо брать тот, который имеет наименьшее значение, для узкополосных сигналов это - t =1/2f0 - наименьший шаг, при котором отсчеты некорелированы.

Рассмотрим теперь широкополосный шум.

wн=0; wв= wс.

Для определения АКФ сигнала воспользуемся формулой для функции корреляции узкополосного шума (1.121), положив wн=0.

D x Rx() = sin(wв) = Dx sin(wc) wc (1.159) wв sin(wc) = 0;

wc = k; = k wc = k 2fc = k 2fc.

Шаг дискретизации по времени для получения некоррелированных отсчетов составляет t=1/2 fс. (1.160) Белый шум Белый шум - это такой стационарный случайный сигнал, спектральная плотность мощности которого постоянна на любой частоте (в соответствии с рисунком 31).

Рисунок 31 - Спектр белого шума Понятие белого шума аналогично понятию белого света, содержащего все спектральные составляющие. Белый шум представляет собой математическую абстракцию, так как площадь под прямой S(w)=S0 бесконечна (а следовательно, бесконечна и дисперсия, т. е. полная мощность сигнала).

R () = w) exp( jw)dw = S0 exp( jw)dw = x S( - 2S0{2 exp( jw)dw} = 2S0().

2 S0=N - интенсивность белого шума (как уже отмечалось, о мощности белого шума говорить бессмысленно).

Итак, корреляционная функция белого шума имеет вид Rx( )=N ( ), (1.161) по виду АКФ совпадает с дельта - функцией, и все ее свойства аналогичны свойствам дельта - функции:

0, R () = x, = Отсчеты сигнала, являющегося белым шумом, взятые с любым шагом дискретизации, отличным от нуля, всегда некоррелированы.

То есть, если имеется возможность генерировать белый шум, то не представляется сложным получать последовательности случайных величин, не коррелированных во времени.

Если СПМ случайного сигнала постоянна в широком диапазоне частот, перекрывающем полосу пропускания динамической системы, то по отношению к этой системе данный сигнал можно принять за белый шум.

Иногда для на практике вводится нормированная СПМ:

Sн(w)=S(w)/Dx (1.162) по аналогии с нормированной АКФ.

R () = x S(w) exp( jw)dw Sw) = Rx() exp(- jw)d ( Разделим левую и правую части на Dx, получим:

x() = Sн (w) exp( jw)dw н S ( w) = 2 x() exp(- jw)d То есть нормированные СПМ и АКФ связаны между собой той же парой преобразований Фурье, что и ненормированные характеристики.

Все свойства нормированной спектральной плотности полностью аналогичны свойствам СПМ (четная, неотрицательная), кроме условия нормировки:

н S (w)dw = 1.

Неканоническая модель стационарного случайного сигнала (по Чернецкому) Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), который попытаемся описать моделью X(t), определяемую критериями M[X(t)]=M[Xм(t)] (1.163) D[X(t)]=D[Xм(t)] (1.164) Rx( )=Rм( ) (1.165) Модель стационарного случайного процесса можно предположить в следующем виде:

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.