WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

Y(t) = W( jw)A exp( jwt) = = Re W( jw) - j Im W( jw) A coswt + j sin wt = {}() = Re W( jw)A coswt + Im W( jw)A sin wt - j Re W( jw)A sin wt - Im W( jw)A coswt {} Рассмотрим два случая :

а) X(t) = A cos wt, Y(t) = Re W(jw) A Cos wt + Im W(jw) A Sin wt, то есть, вещественная частотная характеристика показывает как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, синфазного с ним, а мнимая частотная характеристика показывает то же преобразование, но в амплитуду выходного сигнала, находящегося в квадратуре со входным;

б) X(t) = A Sin wt, Y(t) = Re W(jw) A Sin wt - j Im W(jw) A Cos wt.

Если на вход подается произвольный гармонический сигнал X(t) = A Sin (wt + ), то на выходе появляется сигнал, описываемый соотношением Y(t) = A Wjw) sin wt + - (w) (1.13) ( [ ] То есть, амплитудно-частотная характеристика показывает, как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, а ФЧХ показывает, какой фазовый сдвиг осуществляется системой на частоте w.

Чтобы получить более ясное представление о частотных характеристиках обычных физических систем, следует рассмотреть некоторые простые примеры.

Механические системы В качестве примера простой механической конструкции рассмотрим систему с сосредоточенными параметрами, состоящую из массы, пружины и демпфера, причем движение груза совершается только в одном направлении (в соответствии с рисунком 4).

Здесь величина К - коэффициент жесткости пружины, С - коэффициент торможения, m - масса.

Рисунок 4 - Простая механическая система Прежде чем перейти к нахождению частотной характеристики, необходимо четко определить характер процессов на входе и выходе системы.

Зададим в качестве входного сигнала изменение силы, приложенной к массе, а в качестве выходного — смещение массы (в соответствии с рисунком 5).

Рисунок 5 - Механическая система с вынуждающей силой на входе Чтобы определить частотную характеристику изучаемой системы, следует вначале вывести уравнение движения. Согласно одному из основных законов механики сумма всех сил, приложенных к массе, равна нулю, то есть F(t) + Fk(t) + Fc(t) + Fm (t) = 0, (1.14) где:

Fk (t) = -K Y(t) — упругая сила, & Fс(t) = -CY(t) — сила торможения, & & Fm (t) = -mY(t) — сила инерции, dY(t) & Y(t) = — скорость, dt d2Y(t) & & Y(t) = — ускорение.

dtСледовательно, уравнение движения системы может быть записано в виде & & & mY(t) + CY(t) + K Y(t) = F(t) (1.15) Выше говорилось, что частотная характеристика системы определяется как преобразование Фурье на -функцию. В данном случае реакция системы — это смещение Y(t), преобразование Фурье которого Y( jw) = Y(t) exp( jwt)dt = W( jw), (1.16) отсюда следует, что & Y( jw) = jwW( jw), & & Y( jw) = -w2W( jw).

Вычисляя преобразование Фурье от обеих частей, получим [-w m + jw C + K ] W(jw) = 1, W( jw) = (1.17) K - wm + jwC Уравнение (1.17) целесообразно переписать в другой форме, принимая обозначения С = (1.18) 2 km k w = (1.19) n m Величина в формуле (1.18) безразмерна и называется коэффициентом затухания. Величина w в формуле (1.19) называется собственной частотой незатухающих колебаний. С учетом этих обозначений формула (1.17) перепишется в виде K W( jw) = (1.20) w w 1 - + j w w nn Записав соотношение (1.20) в показательной форме, можно представить частотную характеристику W(jw) как функцию амплитудной ¦W(jw)¦ и фазовой (w) частотных характеристик, как это уже описывалось выше :

W(jw) = ¦W(jw)¦ exp(-j (w)), (1.21) где K W( jw) = (1.22) 2 w w - + 2 w w n n w w n (w) = arctg (1.23) 1 - w w n Электрические системы Предположим, что простая электрическая цепь может быть представлена системой с сосредоточенными параметрами, состоящей из индуктивности, сопротивления и емкости. Пусть процесс на входе системы — это разность потенциалов (в соответствии с рисунком 6) Рисунок 6 - Электрическая система с колебаниями напряжения на входе На рисунке 6 R - сопротивление, C - емкость, L - индуктивность, U(t) - приложенное напряжение, i(t) результирующий процесс — сила тока. Напомним, что i(t) = dq/dt, где q(t) — заряд.

В качестве входного процесса задается приложенное напряжение, в качестве процесса на выходе — результирующий заряд.

Для того, чтобы найти соответствующую частотную характеристику, необходимо сначала получить дифференциальное уравнение, описывающее данную систему. По закону Кирхгофа сумма всех падений напряжения в элементах цепи равна нулю:

U(t) + U (t) + UR(t) + UL(t) = 0, (1.24) С где:

U (t) = - q(t) — падение напряжения на емкости, C C & U (t) = -R q(t) — падение напряжения на сопротивлении, R & & U (t) = -L q(t) — падение напряжения на индуктивности.

L Отсюда находим дифференциальное уравнение, описывающее систему:

& & & Lq(t) + Rq(t) + q(t) = U (t). (1.25) C Между этим уравнением и уравнением, описывающим механическую систему (1.15) существует аналогия. Поэтому, используя приведенную выше методику, сразу получим частотную характеристику данной системы - W( jw) = - w L + jwR. (1.26) C Величина W (jw) имеет размерность кулон/вольт. Индекс обозначает, что ЧХ связывает напряжение на входе с зарядом на выходе.

Коэффициент затухания и собственная частота w незатухающих колебаний определяются равенствами R C = 2 L Чаще используют частотные характеристики, связывающие напряжение как входной процесс с силой тока на выходе:

W( jw) =, (1.27) R + jwL jwC где W (jw) имеет размерность ампер/вольт. Функция, обратная величине (1.27),которую можно обозначить Wi-u(jw), называется импедансом Wi-u(jw) = R + jwL – 1/jwC. (1.28) Полоса пропускания ЛДС и способы её определения Область частот, внутри которой АЧХ системы почти неизменна и близка к своему максимальному значению, называется полосой пропускания системы (в соответствии с рисунком 7а).

Рисунок 7 - К вопросу об определении полосы пропускания ЛДС wо — основная частота системы, при которой АЧХ принимает наибольшее значение. Ширина полосы пропускания wс = wв - wн.

Один из способов определения полосы пропускания сводится к тому, что находится основная частота wо и проводится линия, параллельная оси частот на расстоянии, достаточно малом от ¦W(jw)¦. wв,wн — абсциссы точек пересечения этой прямой с кривой max АЧХ (в соответствии с рисунком 7а).

¦W(jw)¦ max – = ¦W(jw)¦, W( jw) 1 -== 1 - (1.29) W( jw) W( jw) max max Второе слагаемое в левой части (1.29) обычно называют амплитудно-частотной погрешностью, а величину принимают равной 5%.

По второму способу на оси частот как на основании строится прямоугольник (в соответствии с рисунком 7б),имеющий высоту, равную максимальному значению АЧХ и площадь, равную площади фигуры, ограниченной кривой АЧХ. Величина основания принимается равной ширине полосы пропускания.

W( jw) dw w = (1.30) c W( jw) max или, так как интеграл в правой части выражения (1.30) часто расходится, для определения ширины полосы пропускания используют следующее соотношение W( jw) dw wc =. (1.31) W( jw) max В зависимости от того, в каком соотношении находятся между собой wc и основная частота wо,различают два класса систем:

1)широкополосные, у которых ширина полосы пропускания намного превышает значение основной частоты;

2)узкополосные, у которых wо >> wс.

Пример 3.

ЛДС описывается дифференциальным уравнением dy(t) T + y(t) = x(t), dt её частотная характеристика :

1 1 - jwT 1 wT W( jw) = = = - j ;

2 2 2 2 2 1 + jwT 1 + w T 1 + w T 1 + w T W( jw) =.

2 1 + w T Определим верхнюю граничную частоту wв :

1 1) 1 - = ; 1 + w2T =2 ;

1 - 1 + w2T ( ) 1 w = - 1.

в T 1 - ( ) 2) W( jw) dw dw wc == — расходится.

W( jw) 1 + w2T max 3) W( jw) dw dw wc == ;

2 1 + w2T W( jw) max 1 1 d wT = tg, w = tg, dw = ;

T T cos 2 1 d w = = d =.

c T T T cos2 (1 + tg2) Обобщим:

w = C1. (1.32) c T Для этой же системы = C T :

u u w = const.

c То есть, произведение ширины полосы пропускания ЛДС на длительность импульсной переходной характеристики есть величина постоянная, которая зависит от способа задания этих характеристик.

1.2 Математическое описание процессов (сигналов) 1.2.1 Основные характеристики процессов и их классификация Процессом или сигналом называется любая функция времени.

Все наблюдаемые процессы в самом общем виде можно классифицировать как детерминированные и случайные. К детерминированным относятся процессы,которые можно описать точными математическими соотношениями. Рассмотрим, например, твердое тело, подвешенное на упругой пружине к неподвижной основе. Пусть m - масса тела (оно предполагается абсолютно жестким),а к - коэффициент жесткости пружины. Масса пружины полагается равно нулю. Предположим, что тело получает начальное смещение X из положения равновесия и освобождается в момент времени t=O. На основании законов механики можно указать соотношение k x(t)=X cos t, t 0 (1.33) m которое точно описывает положение тела в любой момент времени в будущем. Следовательно, физический процесс, характеризующий положение тела, является детерминированным.

На практике встречается немало физических явлений, которые с высокой степенью точности могут быть описаны точными математическими соотношениями. Однако, можно назвать множество и других физических процессов, имеющих недетерминированный, случайный характер. Например, изменение высоты волн на поверхности моря, изменения напряжения на выходе генератора, помехи в канале связи - все это процессы, которые не могут быть описаны точными математическими соотношениями. Точное значение такого процесса в некоторый момент времени в будущем предсказать невозможно.

Эти процессы случайны по своей природе и должны описываться не точными уравнениями, а при помощи осредненных статистических характеристик.

Классификация детерминированных процессов Процессы, описывающие детерминированные явления, могут быть периодическими и непериодическими. В свою очередь периодические процессы можно разделить на гармонические и полигармонические. К непериодическим относятся процессы, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости и не удовлетворяющие этому условию. Кроме перечисленных типов процессов на практике могут встречаться и любые их комбинации.

1.2.2 Математическое описание детерминированных сигналов Гармонические процессы Гармоническими называются периодические процессы, которые могут быть описаны функцией времени x(t)=Xsin(2f0t + ) (1.34) где Х -амплитуда;

f0-циклическая частота, измеряемая в циклах на единицу времени;

-начальная фаза, измеряемая в радианах;

x(t)-значение функции в момент t.

Описываемое формулой (1.34) гармоническая функция времени называется обычно гармоническим колебанием. На практике при анализе гармонического процесса начальной фазой часто пренебрегают. Тогда имеем x(t)=Xsin(2f0t ) (1.35) Соотношение (1.35) можно представить графически в функции времени или в амплитудно-частотном изображении, как это показано на рисунке 8.

Рисунок 8 - Гармонический сигнал и его спектр Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т.Число циклов в единицу времени называется частотой f.Частота и период связаны соотношением T = (1.36) fОтметим, что представленный на рисунке 8 частотный спектр состоит только из одной составляющей амплитуды на данной частоте. Такой спектр называют дискретным или линейчатым.

Примерами гармонических процессов являются колебания напряжения на выходе идеального генератора переменного тока, вибрации несбалансированного ротора и пр.

Полигармонические процессы К полигармоническим относятся такие типы периодических сигналов, которые могут быть описаны функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы x(t)=x(t+nT), n=1,2,3,... (1.37) Как и в случае гармонического процесса,интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т. Число циклов в единицу времени называют основной частотой f. Очевидно, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического при совпадении основной частоты последнего с частотой гармонического сигнала. Как правило, полигармонические процессы могут быть представлены рядом Фурье.

ax(t) = + (a cos2nft + bn sin 2nft), n n=где f = ;

T T an = x(t) cos2nft + dt, n = 0,1,2,... (1.38) T T bn = x(t) sin 2nft + dt, n = 0,1,2,...

T Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:

x(t) = X0 + (1.39) X cos(2nf - n ), n n=aгде X0 = ;

X = a2 + b2, n=1,2,3,...

n n n bn n = arctg, n=1,2,3,...

a n Как видно из формулы (1.39), полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами Х и начальными фазами.Частоты всех гармоник n кратны основной частоте f.

Рисунок 9 - Спектр полигармонического процесса На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто не принимаются во внимание. В этом случае формуле (1.39) соответствует дискретный спектр, изображенный на рисунке 9. Иногда полигармонические процессы состоят всего из нескольких компонент. В других случаях компонента с основной частотой может отсутствовать.

Центрированным называют сигнал, лишенный постоянной составляющей X(t) = (1.40) (a sin kwt + bk coskwt) = A sin(kwt + k ) k k k=1 k=Полная энергия сигнала описывается соотношением T A = X (t)dt T A = A (1.41) (a2 + b2 ) sin2(kwt + k )dt = T k k k k =1 k =то есть энергия сигнала пропорциональна сумме квадратов бесконечного ряда гармоник.

Часто в качестве модели сигнала используется усеченный ряд Фурье N X (t) = (1.42) m (a sin kwt + bk coskwt), k k=причем N определяется в предположении, что энергия модели составляет 95% энергии самого сигнала, что эквивалентно отысканию верхней граничной частоты и, следовательно, нахождению частотного диапазона сигнала.

Физические явления, которым соответствуют полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией. В действительности когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, при тщательном исследовании колебаний напряжения на выходе генератора переменного тока можно обнаружить гармоники высших порядков.

Математическое описание непериодических сигналов Как уже говорилось выше, все непериодические сигналы условно можно подразделить на два класса:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.