WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||

2.4 Математическое описание составляющих объекта измерения После того как получены математические зависимости одних составляющих объекта измерения от других, необходимо перейти к математическому описанию самих составляющих, которые являются, как было сказано выше входными, сигналами ИИС.

Основной предпосылкой для описания составляющих объекта измерения должно быть то, что эти составляющие носят случайный характер и, помимо этого, изменяются во времени. То есть мы должны рассматривать составляющие объекта измерения как случайные, процессы или сигналы.

В качестве обобщенной модели какой-то k-той составляющей объекта измерения можно взять модель вида X (t) = (t)N(t) + (t), (2.31) k где (t) и (t) - некоторые детерминированные функции времени;

N(t)- случайная функция времени.

Из формулы (31) следует, что для математического описания составляющей объекта измерения Хk(t) нужно уметь описывать детерминированные компоненты (t) и (t) и случайную N(t).

Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения Детерминированные функции времени (сигналы) могут иметь различный вид. Поэтому естественно стремиться представить любую детерминированную функцию в каноническом виде через какие-то стандартные функции.

Одним из распространенных, канонических представлений детерминированных функций является разложение их в ряд по ортогональным функциям:

(t) = (2.32) k A k (t), k =где Аk - коэффициенты разложения;

0(t),..., k (t) - ортогональные координатные функции, т. е.

b 0, при i k такие, что p(t)k (t)i (t)dt = 1, при i = k a Здесь р(t) - весовая функция.

В качестве координатных функций могут выступать самые разнообразные функции. Так, если функция (t) рассматривается на конечном интервале времени от Т1 до Т2, то в качестве координатных функций могут быть выбраны различные ортогональные полиномы Чебышева, Лежандра и др.

Наиболее часта в качестве координатных ортогональных функций выбираются тригонометрические функции. В этом случае детерминированная функция (t), рассматриваемая на конечном интервале времени от Т1 до Т2, может быть представлена в виде так называемого ряда Фурье:

b(t) = + (2.33) k (a sin kt + bk coskt).

k =Здесь = - круговая частота первой гармоники;

(T2 - T1) Tak = (t - T1) sin ktdt;

T2 - T1 TTbk = (t - T1) cosktdt.

T2 - T1 TФормулу (33) перепишем в виде b(t) = + (2.34) k A sin(kt + k ), k =где bk A = a2 + b2 ; k = arctg.

kk k ak Как видно из формулы (34), сигнал (t) представлен в bвиде суммы его постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических составляющих A sin(kt + k ). На практике k очень часто число членов ряда (34) ограничивают конечным числом n выбирая величину и так, чтобы 95% энергии сигнала было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до n.

Энергия сигнала (1), существующего на интервале времени от T1 до Т2, определяется по формуле TE = 2(t)dt. (2.35) TПодставляя в выражение (35) значение (t) из формулы (33), представим энергию сигнала, в функции коэффициентом ряда Фурье:

T2 - T1 T2 - T2 E = + b2 ) =. (2.36) (ak k A k k =0 k =Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье, которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по формуле T2 - T1 n 095E = (2.37).

k A k =Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как верхнюю граничную частоту спектра сигнала, которая принимается равной частоте наивысшей гармоники, т. е.

b n n Fb = = =. (2.38) 2 2 T2 - TЭнергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо его энергии относится так называемая мощность сигнала и его действующее значение.

Мощностью сигнала (t), существующего на интервале времени от Т1 до Т2, называется величина TE Pc = = 2(t)dt, (2.39) T2 - T1 T2 - T1 Tа действующим значением - TE Pc = = 2(t)dt. (2.40) T2 - T1 T2 - T1 TИз формул (35), (39) и (40) видно, что все энергетические характеристики сигнала (энергия Е, мощность Р, и действующее значение) жестко связаны между собой.

Если, сигнал (t) представлен в виде, ряда Фурье (33) или (34), то, как следует из выражений (36) и (39), его мощность может быть определена по формуле (41) 2 Pc = (2.41) k k k (a + b2 ) = 1 A.

2 k =0 k =Ряд Фурье (38) для функции (t), существующий на интервале от Т1 до Т2 может быть записан также в комплексной форме:

(t) = (2.42) k C ejkt, k = где комплексный коэффициент Сk определяется по формуле TCk = (t - T1)e- jkt dt. (2.43) T2 - T1 TКоэффициенты разложения в ряде (42) связаны с коэффициентами разложения ряда (33) соотношением bk - jak Сk =. (2.44) Если сигнал (t) задается в виде ряда (42), то его мощность подсчитывается по формуле Pc = (2.45) k k C C, - где C - комплексная величина, сопряженная с Ck.

k В тех случаях, когда детерминированный сигнал (t) является непериодической функцией и (t) dt <, то его можно - представить в виде jt (t) = (2.46) S()e d, где St) = (t)e- jtdt. (2.47) ( - Обычно в такой форме, представляют импульсные сигналы.

Комплексная величина S() называется спектральной плотностью сигнала или комплексным спектром. Модуль S() = S()S() величины S() называется просто спектром сигнала.

Энергия сигнала (t), представленного в виде выражения может быть подсчитана по формуле 1 E = S() d, (2.48) а верхняя граничная частота Еb его спектра определяется из уравнения 2Fb 1 095E = S() d, (2.49).

или 2Fb 2 S() d = 095 S() d. (2.50).

0 Уравнением (49) целесообразно пользоваться при известной энергии сигнала, а уравнением (50) - при неизвестной.

Большое значение для математического описания сигналов имеет теорема Котельникова, которая утверждает, что непрерывная функция времени (t), не содержащая частот выше граничной b = 2Fb, полностью определяется отсчетами мгновенных значений (kt)в точках, отстоящих друг от друга на интервалы t =. Эта теорема позволяет представить непрерывную b функцию (t) в виде ряда sin b(t - kt) (t) = (kt). (2.51) b(t - kt) k = Если функция (t) с ограниченным спектром рассматривается на конечном интервале времени Т, то точное разложение (51) заменяется приближенными:

n / sin b(t - kt) (t) (kt). (2.52) b(t - kt) k =-n / где n = (T t) + 1 2FbT.

Таким образом, в данном случае функция (t) определяется в виде конечного числа n=2FbТ ее отсчетов.

Методы представления случайных компонент составляющих объекта измерения Рассмотрим способы представления случайных компонент составляющих объекта измерения.

Случайный сигнал (процесс) N(t) в общем случае может быть охарактеризован его m-мерной плотностью вероятности системы m случайных величин (N(t1),...,N(tm)), где t1,...,tm - произвольные значения аргумента t.

Многомерные плотности вероятности позволяют описать случайный, процесс сколь угодно полно. Однако нахождение mмерной плотности вероятности - очень трудная задача, которую удается решить, далеко не всегда. Поэтому на практике часто ограничиваются рассмотрением хотя и менее полных, но зато более простых так называемых характеристик или моментов случайного процесса.

Обычно указывают математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию, корреляционную функцию. Иногда дополнительно указывают коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Для определения приведенных характеристик достаточно знать лишь двумерную плотность распределения.

При математическом описании случайного процесса желательно также указать стационарным или нестационарным он является.

Для стационарных случайных процессов, помимо рассмотренных, указывают еще ряд важных характеристик. Одной из таких характеристик является интервал корреляции k. Наиболее распространенными формулами для подсчета этой величины являются K ()d N k = ; (2.66) K (0) N K () d N k = ; (2.67) K (0) N Другой важной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная плотность дисперсии (мощности) SN () = K ()e- jd. (2.68) N Для оценки интервала частот, в котором существует стационарный случайный процесс, вводят понятие эквивалентной ширины спектра мощности, которую определяют по формуле N S ()d э =, (2.70) SNm () где SNm () - максимальное значение спектральной плотности.

Эквивалентная ширина спектра мощности связана с интервалом корреляции соотношением эk = const. (2.71) Во многих практических случаях также полезно провести исследование случайного процесса, для того, чтобы изучить, является ли он эргодическим. Эргодическим называется такой процесс, для которого среднее по времени равно в вероятностном смысле среднему по ансамблю реализаций.

Если процесс окажется эргодическим, то в дальнейшем его обработка с помощью информационно-измерительной системы будет значительно проще, чем неэргодического.

Выше рассмотрены основные способы математического описания детерминированных и случайных функций, которые являются элементами модели (31) составляющей Хk(t) объекта измерения. После этого нетрудно описать характеристики самой составляющей Хk(t).

Из изложенного в данном разделе видно, что математическое описание объекта измерения - непростая задача требует для своего решения провести большой объем экспериментальных исследований статистической обработки их результатов.

Список использованных источников 1. Бендат Дж., Пирсол Л. - Измерение и анализ случайных процессов. Перевод с английского/предисловие Г.Я. Мирского/ - М.:

Мир, 1974 - 464 с.

2. Бендат Дж., Пирсол Л. - Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989 - 527 с.

3. Бриллинджер. Анализ временных рядов. - М.: Мир,1978 - с.

4. Дженкинс Дж. Ваттс Д., Спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 5. Марпл С. Цифровой спектральный анализ и его приложения.

- М.: Мир, 1990 - 577 с.

6. Пугачев В.С. Введение в теорию случайных функций. - М.:

Физматгиз, 1972 - 883 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.