WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

6) при FA>FqA и FB>FqB в принимается гипотеза о том, что влияние составляющих объекта измерения XA и XB на Xk существенно, т.е. Xk зависит как от XA, так и от XB;

7) если FA FqA, а FB-FqB, то на составляющую влияет в основном не XA, а XB, т.е. составляющая Xk зависит лишь не от XA, а от XB;

8) при FA>FqA и FB>FqB в принимается гипотеза о том, что оставляющая объекта измерения зависит лишь не от XB а от XA.

Итак, рассмотрена методика применения дисперсионного анализа для выявления взаимосвязанных и взаимонезависимых составляющих объекта измерения. При этом необходимо подчеркнуть что применение дисперсионного анализа особенно эффективно при одновременном изучении влияния нескольких составляющих объекта измерения на какую-то другую составляющую.

Дисперсионный анализ позволяет решить лишь качественную задачу — выделить из общего числа составляющих объекта измерения Х1,...,Хn взаимонезависимые и взаимозависимые.

Следующей, более высокой ступенью описания исследуемого объекта должно явиться выяснение количественных соотношений между взаимосвязанными составляющими объекта измерения. Эта задача является одной из главных при математическом описании объекта измерения.

2.3 Статистические способы описания взаимосвязей между составляющими объекта измерения Иногда функциональные связи между некоторыми составляющими объекта измерения удается математически писать на основе априорных сведений о физических процессах, протекающих в объекте. Если же таких сведений имеется недостаточно, или они совсем отсутствуют, то функциональные соотношения, связывающие ряд составляющих объекта, могут быть установлены только на основе экспериментальных исследований.

При этом, учитывая, что составляющие носят случайный характер, результаты экспериментальных исследований должны обязательно подвергаться той или иной статистической обработке.

Допустим, в результате дисперсионного анализа установлено, что составляющая объекта измерения Хk зависит от составляющей ХА. Теперь ставится задача установить количественную зависимость составляющей Хk от Х.

В математической статистике доказано, что истинную зависимость величин Хk и Х, лишенную всяких случайных наслоений, дает регрессия, т. е. математическое ожидание (среднее значение) величины Хk, вычисленное при условии, когда величина Х примет определенное значение. Поэтому идеальной целью можно считать отыскание уравнения регрессии.

Однако точное уравнение регрессии можно написать только зная средние значения Хk для всех допустимых значений ХА. В практических же наблюдениях такая ситуация невозможна. Более того, даже отдельные значения средних составляющей Хk, не могут быть найдены точно, а допускают лишь приближенные оценки. В связи с этим можно искать лишь уравнения приближенной регрессии, оценивая тем или иным способом величину и вероятность этой, приближенности.

Для того чтобы получить уравнение приближенной регрессии, т. е. найти зависимость составляющей Хk от ХA, составляющей ХA задают ряд значений ХА1,...,ХAi,...,ХAn и при каждом этом значении измеряют значение составляющей Хk.

Результаты заносят в таблицу 3.

Таблица XA XA1... XAi... XAn Xk Xk1... Xki... Xkn Основным способом отыскания уравнения регрессии является принцип наименьших квадратов. Этот принцип утверждает, что наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для которой сумма квадратов n S = X - (X, 1,..., 2 (2.16) [] ki Ai i =имеет наименьшее значение.

В формуле (2.16) 1,...,l — неопределенные коэффициенты, входящие в аналитическое выражение уравнения репрессии.

Величина суммы S зависит, с одной стороны, от вида уравнения регрессии Хk = (ХA, 1,...,l), а с другой стороны — от численных значений коэффициентов 1,...,l.

Для того чтобы сумма S была минимальна, во-первых, должен быть правильно выбран вид уравнений регрессии. Вид этого уравнения может быть известен заранее из соображений аналогии, из теоретических рассуждений или из сравнения эмпирических данных с известными функциями. Наиболее трудной задачей является подбор типа регрессии непосредственно по эмпирическим данным, когда теоретические предпосылки изучаемой зависимости совершенно неизвестны. При этом всегда желательно выбирать такой вид уравнения регрессии, чтобы число l неопределенных коэффициентов 1,...,l было значительно меньше числа изменения n.

Пусть, исходя из тех или иных соображений, выбран вид уравнения регрессии. Тогда величину суммы S (2.16), можно рассматривать как функцию от коэффициентов 1,..., l. Теперь задача состоит в том, чтобы найти такой выбор этих коэффициентов, который минимизировал бы величину S.

Из математического анализа известно, что необходимым условием минимума функции S (дифференцируемой) многих переменных является выполнение равенств S = 0;

... (2.17) S = 0.

Принимая во внимание формулу (2.16), после преобразований получим систему уравнений, с неизвестными:

n n Ai Ai ki Ai X (X, 1,..., ) (X, 1,..., ) (X, 1,..., );

1 i =1 i =......................

n n Ai Ai ki Ai X (X, 1,..., ) (X, 1,..., ) (X, 1,..., );

i =1 i = (2.18) Решая эту систему уравнений, находим неизвестные коэффициенты 1,...,l. Если она имеет единственное решение, то при S0 это решение всегда будет обеспечивать минимум величины S. Если же решений будет несколько, то из них необходимо выбирать то, которое минимизирует величину S.

Найденные в результате решения системы уравнений (2.18) коэффициенты 1,...,l будут, очевидно, являться функциями Xk и X:

1 = 1 X,..., X ; X,..., X ;

() k1 kn A1 An............. (2.19) = X,..., X ; X,..., X.

() k1 kn A1 An А так как значения составляющих Xk и X, полученные в результате их измерения, носят случайный характер, вследствие влияния случайных погрешностей измерения, то случайными будут и коэффициенты 1,...,l. Поэтому эти коэффициенты должны быть обязательно подвергнуты статистической оценке. В частности, необходимо оценить степень их случайности, т. е. величину среднеквадратического отклонения каждого коэффициента, и указать доверительный интервал и доверительную вероятность.

Последняя задача оказывается в большинстве случаев очень трудной и поэтому ограничивается лишь указанием среднеквадратических отклонений этих коэффициентов.

После того как коэффициенты в уравнении приближенной регрессии найдены и оценены, само это уравнение должно быть подвергнуто статистическому анализу. В результате этого анализа, во-первых, выясняется, нуждается ли полученное уравнение регрессии в поправке; во-вторых, если такая необходимость имеется, то ищется сама поправка.

Для решения первой задачи подсчитывается статистическая дисперсия:

n D = S = X - (X, 1,..., 2 (2.20) [] ki Ai n - i =являющаяся общей мерой рассеяния всех Хki вокруг функции (ХA, 1,...,l). Очевидно, чем меньше величина D, тем лучше подобрано уравнение регрессии.

В образовании дисперсии D участвуют два фактора: рассеяние Хki вокруг истинной линии регрессии (вокруг своих средних), вызванное случайными погрешностями измерений составляющей Хk, описываемое дисперсией Dk, и погрешность в определении приближенной регрессии Xk=(ХA, 1,...,l), которой соответствует некоторая дисперсия Dp. Поскольку эти факторы независимы, то D = Dk + Dp (2.21) Так как дисперсия Dk вызвана независимыми от нас причинами ( случайными погрешностями измерений составляющей Хk ), то уменьшить величину дисперсии D возможно лишь уменьшением дисперсии Dp, т. е. улучшением сходимости приближенной регрессии к истинной. При этом необходимо иметь в виду следующее. Чем точнее подобрано уравнение регрессии, тем меньше Dp. Но любое уточнение уравнения регрессии сопряжено с большой вычислительной работой, и, кроме того, чем точнее уравнение регрессии, тем оно, как правило, сложнее. С другой стороны, из уравнения (2.21) видно, что бессмысленно стремиться обеспечить величину Dp очень малой по сравнению с Dk, так как при Dp Dk величина дисперсии и практически остается неизменной (DDk). Поэтому в качестве критерия верности выбранного уравнения регрессии естественно считать приближенное равенство DDk.Если же D>Dk, то уравнение регрессии необходимо уточнить. Таким образом, чтобы оценить верность выбранного уравнения регрессии, необходимо сравнивать между собой дисперсии D и Dk. А так как эти дисперсии носят случайный характер, то такое сравнение должно осуществляться статистическим способом. Для этого применяется, как и при дисперсионном анализе, F–критерий (критерий Фишера).

Правило сравнения сводится к следующему:

1) по формуле (2.20) подсчитывается величина D;

2) определяется дисперсия Dk результатов измерения параметра Хk, для чего проводятся специальные измерения;

3) вычисляется отношение D/Dk=F;

4) задаваясь доверительной вероятностью q, из таблиц по известным D, Dk и их степеням свободы находится число Fq;

5) если FFq, то считается, что дисперсия D образована только за счет случайных погрешностей измерений и, следовательно, никакие уточнения уравнения регрессии не способны уменьшить эту дисперсию, т. е. нужно признать правильность выбора уравнения регрессии;

6) при F

Для уточнения уравнения регрессии Xk=(ХA,1,...,l), в него вводится поправка 1(ХA,1,...,), где 1,..., —неизвестные коэффициенты, и рассматривается уточненное уравнение регрессии в виде X = (X, 1,..., ) + 1(X, 1,..., c ) (2.22) kA A При этом считается, что неизвестными должны быть не только коэффициенты 1,..., c, но и коэффициенты 1,...,l. Все они, как и ранее, определяются по принципу наименьших квадратов, т. е. так, чтобы минимизировалась величина суммы:

n S1 = X - (X, 1,..., ) - 1(X, 1,..., c) (2.23) [] ki Ai Ai i =После этого подсчитывается дисперсия SD1 =, (2.24) n - - c являющаяся мерой рассеяния всех Хki вокруг функции (X, 1,..., ) + 1(X, 1,..., c ).

[] AA Добавка к уравнению регрессии признается подобранной правильно, если окажется, что D1D) добавка признается выбранной неправильно и необходимо искать новую.

Здесь, как и ранее, дисперсии должны сравниваться статистическим способом с помощью F–критерия.

При правильно выбранной добавке к уравнению регрессии производится сравнение дисперсий D1 и Dk с целью выяснения, нуждается ли новое уравнение регрессии в дополнительном уточнении. Таким образом, уравнение регрессии уточняется до тех пор, пока не будет выяснено, что оно подобрано правильно, т. е. не противоречит экспериментальным данным. Правильно подобранное уравнение регрессии принимается в качестве функциональной связи между составляющими объекта измерения Хk и ХA. При этом необходимо всегда помнить, что уравнение регрессии может не выряжать никаких теоретических закономерностей.

Рассмотрен самый общий подход к получению математической зависимости одной составляющей объекта измерения от другой. Теперь необходимо рассмотреть случай, когда априорно о характере этой зависимости ничего неизвестно и она определяется лишь на основе опытных данных. Основной проблемой здесь является выбор вида уравнения регрессии, которое должно быть как можно более простым.

В настоящее время при решении этой задачи наибольшее распространение получили два способа.

При первом способе уравнения регрессии Xk=(ХA,1,.....,l) берется в виде 2 -X = 1 + 2X + 3X +...+X. (2.25) kA A A Это так называемая параболическая регрессия.

В этом случае система уравнений (2.18), из которой должны быть определены неизвестные коэффициенты 1,...

...,l принимает вид n n n n 0 -1 1 X + 2 X +...+ X = X X ;

Ai Ai A ki A i =1 i =1 i =1 i =.................... (2.26) n n n n -1 2(-1) - 1 X + 2 X +...+ X = X X.

Ai Ai ki A A i =1 i =1 i =1 i = Эта система уравнений является линейной и ее решение не представляет труда.

Для сокращения вычислительной работы задачу по определению уравнения регрессии решают путем последовательных приближений. Вначале задаются уравнением регрессии вида Хk=1+2ХA, определяют коэффициенты 1 и 2 и проверяют описанными выше способами правильность выбора уравнения регрессии. Если уравнение регрессии нуждается в уточнении, то рассматривают уравнение вида Хk = 1+2ХA+ 3X. Снова A определяют коэффициенты 1,2, 3 и проверяют правильность их выбора. Так поступают до тех пор, пока уравнение регрессии не окажется подобранным правильно.

Такой способ определения уравнения регрессии довольно прост, но имеет один серьезный недостаток: при каждом уточнении уравнения, т. е. при повышении его степени, все значения коэффициентов, вычисленные ранее, оказываются бесполезными и их приходится определять вновь. В результате возрастает объем вычисленной работы.

От указанного недостатка свободен второй способ определения уравнения регрессии, при котором это уравнение задается в виде Хk = 1P0(XA)+2P1(ХA)+...+ lPl-1(ХA), (2.27) где Pl-1(ХA) — многочлены Чебышева П. Л.

Первые два из этих многочленов имеют вид n + P0(ХA)=1, P1(ХA)= ХA -, а остальные определяются по формуле 2(n2 - 2 ) P+1(X ) = P1(X )P(X ) - P-1(X ). (2.28) AA A A 4(42 - 1) Коэффициенты 1,...,l в формуле (2.27) также находятся по методу наименьших квадратов. При этом формулы для их определения получаются достаточно простыми:

n 1 = X ;

ki n i = n X P1(X ) ki Ai i =2 = ;

n P1(X ) Ai (2.29) i =.....

n X P-1(X ) ki Ai i = = n P-1(X ) Ai i =Достоинство описываемого способа определения уравнения регрессии в том, что вычисленные по формуле (2.29) коэффициенты не зависят от того, каков 6удет порядок разыскиваемого уравнения регрессии. Это значит, что находя уравнение регрессии методом последовательных уточнений, мы используем все ранее найденные коэффициенты, больше их не пересчитывая. Повышение порядка регрессии на единицу потребует теперь нахождения лишь одного коэффициента.

Таким образом, рассмотрены способы определения, математической зависимости между двумя составляющими объекта измерения. Точно так же решается задача и определения математической зависимости одной составляющей объекта измерения Хk, от нескольких ХA,ХB,... Разница заключается лишь в том, что в данном случае уравнение регрессии надо искать в виде X = (X X,...; 1,..., e), (2.30) kA B где 1,..., e, как и ранее, неопределенные коэффициенты, значения которых должны быть найдены по принципу наименьших квадратов.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.