WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Какое количество дополнительного рабочего времени следует купить Поскольку линия ограничения на фонд рабочего времени движется параллельно своему исходному положению в направлении от начала координат, она стремится к точке пересечения ограничений на листовой металл и металлические стержни к точке С. Если и далее снижать жесткость ограничения на фонд рабочего времени, то оно перестанет быть лимитирующим, и дальнейшее привлечение дополнительного рабочего времени нецелесообразно. Максимальное число дополнительных человеко-часов можно определить, решив систему ограничений, линии которых пересекаются в точке С:

Листовой металл: 5x1 + 2x2 = 10000.

Металлические стержни: 2x1 + 5x2 = 10000.

Её решением являются следующие значения переменных:

x1 = 10000/7 и x2 = 10000/7 в неделю.

Число используемых в точке С человеко-часов равно:

x1 + x2 = 10000/7 + 2(10000/7) = 4285,7 чел.-ч в неделю.

Это значение на 285,7 чел.-ч превосходит первоначальное максимальное значение 4000 чел.-ч. Получение максимального сверхнормативного запаса в 285,7 чел.-ч в неделю целесообразно при условии, что стоимость единицы дополнительного человеко-часа не превосходит 17,50 усл. ед. в неделю. Если сверхнормативное количество часов рабочего времени используется максимально, то новое максимальное значение еженедельного дохода составит:

Pmax = 30 10000/7 + 40 10000/Дополнительная стоимость равна 10000 усл.ед. в неделю.

Важно уяснить, что из дохода вычитаются только те издержки, которые не фигурируют в исходной постановке задачи. Предположим, например, что при производстве автомобильных деталей стоимость одного часа рабочего времени равна 4,00 усл.ед. При расчете дохода, приходящегося на единицу деталей каждого типа, бухгалтер будет использовать именно эту стоимость. Если привлекается дополнительный фонд рабочего времени, к примеру, сверхурочная работа по 6,00 усл.ед. за 1 чел.-ч, то из них 4,00 усл.ед. уже учтены в показателях единичного дохода. Отдельно в счет нужно внести только дополнительные усл.ед. за час.

1.2.2 Воздействие на оптимальное решение изменений в обеспечении нелимитирующими ресурсами В примере 1 рассматривались два лимитирующих ограничения на труд и листовой металл. Остальные ограничения в первоначальном оптимальном решении не являются лимитирующими. Это ограничения на :

1) производственные мощности для выпуска деталей типа Х1;

2) производственные мощности для выпуска деталей типа Х2;

3) металлические стержни;

4) постоянные заказы.

Что происходит при изменении каждого из этих ограничений Первые три ресурса используются в меньших или равных максимальному количествах.

Любое увеличение запаса этих ресурсов не будет оказывать влияния на оптимальное решение задачи. Однако на него может влиять уменьшение запасов, соответствующих трем указанным ограничениям. Увеличение жесткости одного из нелимитирующих ограничений приведет к перемещению его линии в сторону начала координат. Сначала единственным изменением будет сокращение размеров допустимого множества. Однако когда линия ограничения переместится ниже исходной оптимальной крайней точки, данное ограничение станет лимитирующим, что приведет к появлению нового оптимального решения.

Предельные значения для этих ограничений ниже максимального уровня. Так, производственные мощности для деталей типа X1 можно сократить с 2250 до 1500 ч, т.е. на 750 ч, прежде чем это ограничение начнет оказывать воздействие на решение задачи. Производственные мощности для деталей типа Xмогут быть сокращены с 1750 до 1250 ч, т.е. на 500 ч. Запас металлических стержней можно уменьшить с 10000 до 9250 кг, т.е. на 750 кг в неделю. Количественные выражения этих сокращений есть ни что иное, как значения остаточных переменных. С ограничениями, для которых количество ресурсов больше либо равно минимальному, все наоборот. Любое сокращение минимального количества ресурсов приведет к увеличению размеров допустимого множества, не окажет воздействия на оптимальное решение.

Любое увеличение правой части этих ограничений сначала приведет к сокращению размеров допустимого множества, а затем повлияет и на оптимальное решение. Если постоянные заказы на детали типа X1 возрастут на и достигнут 1500 деталей в неделю, оптимальное решение начнет изменяться.

1.2.3 Воздействие на оптимальное решение изменений в коэффициентах целевой функции Условия, для которых составлялась задача линейного программирования, неизбежно изменяются. Чаще всего эти изменения предполагают повторное выполнение формализации задачи, но должна существовать возможность идентифицировать воздействие незначительных изменений на решение исходной задачи. Рассмотрим изменения коэффициентов целевой функции. Если цель состоит в максимизации еженедельного дохода, то изменение стоимости сырья приведет к изменению значений коэффициентов целевой функции.

Известно, что доход от выпуска единицы деталей типа X1 может меняться. Каков промежуток значений единичного дохода, для которых а остается оптимальной крайней точкой Единичный доход от выпуска деталей типа Х2 остается неизменным.

Решение:

Перепишем уравнение дохода за неделю в следующем виде:

P = ax1 + 40х2, где а - единичный доход от выпуска деталей типа Х1.

Преобразовав это уравнение, получим x2 = P/40 - (a/40)x1.

Тангенс угла наклона линии дохода за неделю равен - (а/40). В исходном положении при а = 30 усл.ед. за единицу тангенс угла наклона равен - (30/40) = - (3/4).

Если а меньше 30 усл.ед. за единицу, то наклон линии еженедельного дохода становится более пологим. В точке А линия уровня будет отклоняться в сторону лимитирующего ограничения на фонд рабочего времени. Это ведет к уменьшению оптимального значения функции Р, дохода за неделю. Обратите внимание на рис. 1.7. Если сильно уменьшать значение параметра а, то линия уровня еженедельного дохода совпадет с ограничением на фонд рабочего времени.

Следовательно, граничным является положение линии уровня дохода, при котором она совпадает с линией лимитирующего ограничения на фонд рабочего времени. Этому положению соответствует наименьшее значение а, для которого А является оптимальной крайней точкой.

Угол наклона линии ограничения на фонд рабочего времени можно найти, преобразовав данное ограничение к виду:

x2 = 4000/2 - 1/2х1.

Тангенс угла наклона лимитирующего ограничения равен - (1/2).

Нижний предел значений находится из условия - (а /40) = - (1/2), таким образом, а = 20 усл.ед. за единицу. Следовательно, единичный доход от выпуска деталей типа X1 может уменьшаться до 20 усл.ед. до того, как оптимум переместится из точки А в точку D.

Причем, оптимальный доход будет сокращаться, но оптимальный ассортиментный набор не изменится до тех пор, пока значение параметра а не опустится ниже 20 усл.ед. Аналогичным образом можно найти верхний предел значений а. С увеличением значения а линия еженедельного дохода становится все менее пологой и в конечном итоге окажется параллельной линии другого лимитирующего ограничения, а именно на листовой металл. Любое дальнейшее увеличение значения а вызовет изменение оптимальной крайней точки и перемещение ее в точку Е. Это показано на рис. 1.7.

Граничное положение линии уровня еженедельного дохода достигается в момент ее совпадения с ограничением на листовой металл. Этому положению соответствует верхний предел значений параметра а, для которых точка А является оптимальной крайней точкой допустимого множества. Угол наклона ограничения на листовой металл можно найти, преобразовав это уравнение к виду:

x2 = 10000/2 - (5/2)х1.

Тангенс угла наклона лимитирующего ограничения равен - (5/2), а верхний предел параметра а находится из условия -( а /40) = -(5/2), следовательно, а = 100 усл.ед. за единицу. Таким образом, до того как оптимальный ассортиментный набор переместится из точки А в точку Е, единичный доход от выпуска деталей типа X1 может возрасти до 100 усл.ед.

Два соответствующих предела значения единичного дохода от выпуска деталей типа X2 можно найти аналогичным образом, если в изложенной схеме расчетов заменить x1 на x2. Предположим, что значение коэффициента целевой функции при х1 является неизменным, тогда:

P = 30х1 + bхи x1 = P/30 - (b/30)х2.

По мере увеличения или уменьшения параметра b граничные положения линии уровня еженедельного дохода определяются теми же двумя ограничениями, что и в предыдущем случае. Теперь необходимо записать уравнения этих ограничений так, чтобы х1 выступал в качестве зависимой переменной:

Фонд рабочего времени: х1 = 4000 - 2х2.

Тангенс угла наклона равен - 2, следовательно, предельное значение достигается при условии - (b/30) = -2, т.е. b = 60 усл.ед. за единицу.

Листовой металл: х1 = 10000/5 - (2/5)х2.

Тангенс угла наклона равен - (2/5), для предельного значения выполняется условие : - (b/30) = - (2/5), следовательно, b = 12 усл.ед. за единицу.

Крайняя точка А соответствует оптимальному ассортиментному набору только до тех пор, пока доход от выпуска деталей типа X2 изменяется в пределах от 12 до 60 усл.ед. за единицу. В случае, если показатели единичных доходов от выпуска деталей типа Х1 или Х2 будут изменяться по сравнению с их исходными значениями, значение оптимального дохода также будет отличным от 95000 усл.ед.

З А Д А Ч И 1. Небольшая семейная фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка - «Pink Fizz» и «Mint Pop». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена, однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Pink Fizz» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Mint Pop» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Pink Fizz» и «Mint Pop» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 часа времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход фирмы составляет 0,усл.ед. за 1л «Pink Fizz» и 0,30 усл.ед. за 1 л «Mint Pop». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневного дохода 2. Фирма «Лесная пилорама» столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготавливают фанеру. Таким образом, лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.

Чтобы получить 2,5 куб.м коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 куб.м еловых и 7,5 куб.м пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 кв.м фанеры требуется 5 куб.м еловых и 10 куб.м пихтовых материалов. Лесной массив содержит 80 куб.м еловых и 180 куб.м пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 куб.м пиломатериалов и 1200 кв.м фанеры. Доход с 1 куб.м пиломатериалов составляет 16 усл. ед., а со 100 кв.м фанеры - 60 усл. ед.

3. Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить: какое количество xчистой стали и какое количество x2 металлолома следует использовать для приготовления ( из соответствующего сплава) литья для одного из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются усл.ед., а затраты в расчете на 1 т металлолома - 5 усл.ед. (последняя цифра больше предыдущей, так как использование металлолома сопряжено с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5 т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма «Иерихонская сталь» поставит перед ними такие условия.

Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4т, а запасы металлолома не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7 : 8. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 ч; при этом на 1 т стали уходит 3 ч, а на 1 т металлолома - 2 ч производственного времени.

4. Управляющий фирмы «Свежие нефтепродукты» пытается определить оптимальное распределение имеющейся в его распоряжении сырой нефти (различного сорта) по двум возможным технологическим процессам составления смесей. Технологический процесс характеризуется следующими показателями:

из одной единицы объема сырой нефти А и трех единиц объема сырой нефти В получается пять единиц объема бензина X и две единицы объема бензина Y.

Технологический процесс 2 характеризуется другими показателями: из четырех единиц объема сырой нефти A и из двух единиц объёма сырой нефти B получается три единицы бензина X и восемь единиц бензина Y. Объемы продукции, выпускаемой при реализации технологических процессов 1 и 2, обозначим соответственно через х1 и х2.

Максимальное количество запасов сырой нефти A равняется 100 единицам объема, а сырой нефти B - 150 единиц объема. По условиям поставок требуется произвести не менее 200 единиц объема бензина X и 75 единиц объема бензина Y. Доходы с единицы объема продукции, получаемой с помощью технологических процессов 1 и 2, составляют p1 и p2 соответственно.

1. 3 Симплекс - метод решения задач линейного программирования Если задача линейного программирования содержит более двух переменных, то ее решение графическим способом трудно выполнимо, т.к. требуется построение в пространстве. Для этого разработан специальный алгебраический метод, в основе которого лежит следующий принцип. Предполагается, что оптимальному решению соответствует одна из крайних точек допустимого множества. Следовательно, необходимо провести оценку значений целевой функции во всех крайних точках допустимого множества и выбрать ту из них, в которой достигается оптимальное значение целевой функции. Переход от одной крайней точки допустимого множества к другой осуществляется только, если значение целевой функции при этом улучшается. Если оказывается, что некоторое базисное решение улучшить уже нельзя, то оно является оптимальным планом задачи. Этот алгоритм получил название симплекс-метода.

Вычислительная процедура выглядит следующим образом:

Шаг 1: Выберем m переменных, задающих допустимое пробное решение. Исключим эти переменные из выражения для целевой функции.

Шаг 2: Проверим, нельзя ли за счет одной из переменных, приравненной вначале к нулю, улучшить значение целевой функции, придавая ей отличные от 0 (причем положительные) значения. Если это возможно, перейдем к шагу 3. Иначе прекратим вычисления.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.