WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |

Для пояснения сказанного приведем пример. Пусть объектом исследования является электрическая цепь, представляющая собой нагрузку, подключенную к источнику питания. Состояние этого объекта в каждый момент времени характеризуется тремя параметрами (N=3): напряжением источника питания U, током I, протекающим через нагрузку и сопротивлением нагрузки R. В данном примере все эти три параметра объекта исследования являются одновременно и составляющими объектами измерения. Анализ объекта (электрической цепи) показывает, что его параметры U,I и R взаимосвязаны между собой (U=I*R). Поэтому нет необходимости измерять отдельно все эти величины. Достаточно измерить лишь любые две из них, а третью подсчитать по их значениям, то есть определить косвенным путем.

Этот пример показывает, какой большой эффект дает анализ взаимосвязей между составляющими объекта измерения.

Взаимосвязи должны быть проанализированы не только качественно, но и количественно. Качественный анализ показывает, какие из составляющих объекта независимы друг от друга. А какие взаимосвязаны. Но он совершенно не позволяет судить о том, сильные (жесткие) ли эти связи или слабые. Если эти связи слабые и практические ими можно пренебречь, то мы не можем нескольким составляющим достаточно просто и, главное, точно определить другие, слабо связанные с первыми.

Таким образом, одной из важнейших задач является количественная оценка взаимосвязей между составляющих объекта измерения.

Знание взаимосвязей между отдельными составляющими позволить в дальнейшем определить алгоритмы нахождения некоторых составляющих по другим, с которыми связаны первые. Чем точнее будет найден этот алгоритм, тем точнее будет измерены показатели объекта исследования и его состояние или поведение.

Возникает вопрос о точности количественной оценки взаимосвязей между составляющими объекта измерения. Очевидно, при прочих равных условиях, чем точнее определены количественные взаимосвязи, тем лучше.

Но, с другой стороны, повышенные точности количественной оценки взаимосвязи между составляющими сопряжено с большими трудностями и неизбежно приводит к усложнению алгоритма нахождения одних составляющих через другие. Поэтому точность количественной оценки взаимосвязей должна быть выбрана разумной и целиком и полностью согласована с той необходимой точностью, которая допускается при измерениях тех или иных составляющих объекта измерения.

Следующей важной задачей является изучение свойств составляющих объект измерения. Знание этих свойств позволит в дальнейшем синтезировать оптимальные алгоритмы измерения параметров объекта исследования, выбрать необходимые типы измерительных преобразователей и определить частоты их опроса.

Перечисленные задачи могут быть решены на основании математического описания объекта измерения.

2.2.1 Общий подход к математическому описанию объекта измерения Рассмотрим некоторые общие вопросы математического описания объекта измерения. При этом будем иметь в виду, что конечной целью является описание взаимосвязей между составляющими объектами измерения и математическое описание самих составляющих.

Поскольку составляющие объекта Х1,Х2,..,Хn являются случайными величинами, то естественно рассматривать их в совокупности как систему случайных величин (Х1,Х2,..,Хn). Исчерпывающим описанием этой системы величин является закон распределения. Допустим, что тем или иным способом определена плотность совместного распределения величин Х1,Х2,..,Хn, входящих в систему f(Х1,..,Хn).

По известной плотности распределения системы случайных величин находят плотности распределения f(X1), f(X2),..., f(XN) отдельных величин, входящих в систему:

f (x1) = f (x1,..., xn )dx2...dxn ;

...

0 f (xn ) = f (x1,..., xn )dx1...dxn-1.

...

0 Зная плотность распределения системы величин и плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, можно проверить, являются ли все величины (составляющие) X1,...,Xn взаимонезависимыми.

Критерием взаимонезависимости является выполнение условия f (x1,..., xn ) = f (x1) f (x2 )... f (xn ). (2.1) Если это условие будет выполнено, то все параметры можно рассматривать как взаимонезависимые. Если же окажется, что условие (2.1) не выполняется, то это будет означать, что часть величин X1,...,Xn или все они являются взаимонезависимыми. В этом случае необходимо выявить взаимонезависимые и взаимозависимые величины и затем найти алгоритм определения одних составляющих через другие.

Для решения этой задачи необходимо определить условные плотности распределения каждой из составляющих X1,...,Xn:

x1 f (x1,..., xn ) f,..., xn =, (2.2) x f (x1,..., xn )dx xn f (x1,..., xn ) f,..., xn-1 =. (2.3) x f (x1,..., xn )dxn Критерием независимости величины Xk от всех остальных является равенство f (xk / x1,..., xk -1, xk +1,..., xn ) = f (xk ). (2.4) Невыполнение этого равенства будет означать, что величина Xk взаимозависима с какими-то из величин X1,…,Xk-1, Xk+1,...,Xn, а именно с теми, функцией которых является условная плотность распределения величины Xk.

Чтобы найти эту функциональную связь, надо определить условное математическое ожидание величины Xk:

xk xk M,..., xk -1, xk +1,..., xn = xk f,..., xk -1, xk +1,..., xn dxk. (2.5) x1 x Это условное математическое ожидание отражает функциональную связь величины Xk с другими:

xk xk = M,..., xk -1, xk +1,..., xn. (2.6) x Формула (2.6) как раз и показывает алгоритм определения составляющей объекта измерения X, через другие, с которыми она связана.

Таким образом знание совместного закона распределения составляющих объекта измерения позволяет решать все интересующие задачи. Но, к сожалению, нахождение такого закона распределения сопряжено с громадными трудностями, связанными с большой затратой материальных средств и времени. Особенно это усугубляется при большом числе составляющих объекта измерения. Поэтому описанию методику целесообразно применять лишь тогда, когда число составляющих невелико (n =3-5).

При большом числе составляющих объекта измерения, с целью сокращения материальных и временных затрат, целесообразно в начале решать качественную задачу, позволяющую лишь ответить на вопрос, какие из составляющих взаимонезависимы, а какие зависят друг от друга. К количественной оценке взаимозависимостей между ними надо переходить лишь после решения первой задачи.

Первая, качественная задача, может быть решена двояко. Во – первых, уже на основе предварительного словесного описания исследуемого объекта и физических процессов, протекающих в нем, может быть вынесено суждение о взаимосвязи составляющих.

Помощь здесь могут оказать, например, функциональные схемы объектов.

Если априорно выявить взаимосвязи удается лишь между небольшим числом составляющих или вообще не представляется возможным, то целесообразно провести статистическое исследование объекта исследования.

2.2.2 Применение дисперсионного анализа Наиболее эффективным статистическим методом выявления взаимозависимости является дисперсионный анализ.

Этот метод состоит в том, что путем изменения соответствующих параметров объекта исследования изменяют заданным образом одну или несколько других составляющих объекта измерения. Эти измерения могут повлиять на величину одной или нескольких других составляющих. Степень такого влияния, его качественные характеристики как раз и описываются с помощью дисперсионного анализа. В зависимости от числа составляющих, степень влияния которых на другие мы хотим оценить, различают однофакторный, двухфакторный и т.д. дисперсионные анализы.

На примере однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа поясним, как происходит выявление взаимосвязей между составляющими объекта измерения путем использования данного метода.

Пусть ставится задача определить, является ли составляющая Xk зависимой от составляющей Xa. Эта задача решается при помощи однофакторного дисперсионного анализа. Для этого составляющей XA задают ряд значений Xa1, Xa2, ….., Xan и при каждом значении производится n измерений составляющих Xk.

Для удобства результаты измерений обычно заносятся в таблицу 2.1.

Таблица 2.1 – Значения параметров ОИ (для одномерного дисперсионного анализа) Значения Номер измерения XA 1 … J … N XA1 Xk11 … Xk1j … Xk1n … … … … … … Xai Xki1 … Xkij … Xkin … … … … … … Xam Xkm1 … Xkmj … Xkmn В таблице 2.1 через Xkij обозначен результат j-го измерения составляющей Xk при значении Xa = Xai. Как видно из таблицы, всего мы имеем n*m результатов измерения составляющей Xk.

Обозначим через X*k1 среднее арифметическое из nизмерений составляющих Xk, выполненных при значении Xa=xa1, через XK – среднее арифметическое из n измерений составляющей Xk, выполненных при значении Xa=Xa2 и т.д.

n * X =, k1 xk1 j n j=n * X =, (2.7) ki xkij n j=n * X =, km xkmj n j=Очевидно, если влияние составляющей Xa на составляющую Xk существенно, то есть Xk зависит от Xa, то мы должны ожидать повышенного рассеивания средних X*k, …, X*ki, …, X*km и наоборот. Обозначим через X*k общее среднее арифметическое всех m*n измерений составляющей Xk :

m n m 1 * * X = =. (2.8) k xkij xki mn m i=1 j=1 i=Определим общую статистическую дисперсию всех результатов измерений составляющей Xk :

m n 1 * * Dk = (X - X ). (2.9).

kij k mn i=1 j=Эта дисперсия обязана своим, появлением всем действующим факторам – как влиянию составляющей XA, так и фактору случайности при каждом конкретном значении XA. Основная задача, которую решает дисперсионный анализ – это разделение общей дисперсии на компоненты, которые характеризовали бы влияние на составляющую Xk составляющей XA и фактора случайности, в отдельности.

Принимая во внимание формулу (2.7) и (2.8), статистическую дисперсию представим в виде m n 1 * * * * Dk = [(X - X ) + (X - X )] = (QA + QO ), (2.10) kij ki ki k mn mn i=1 j=где m * * QA = n (X - X )2;

ki k i=m n * Qo = n - X )2.

(X kij ki i=1 j=Таким образом, статистическая дисперсия D*k результатов измерения составляющей Xk при различных значениях XA пропорционально сумме слагаемых QA и Q0, т.е. рассеивание, результатов измерения составляющей Xk складывается из двух компонент: QA и Q0. Величина QA характеризует влияние на дисперсию D*k составляющей Xk, а величина Q0 – влияние случайных погрешностей.

Для того чтобы оценить степень влияния составляющей XA на Xk, необходимо сравнить между собой слагаемые QA и Q0. Очевидно в том случае, когда влияние составляющей XA на Xk существенно, т.е. зависит от XA, мы должны получить QA>>Q0. Если же влияние XA на Xk несущественно, то рассеивание результатов измерения, составляющей Xk будет вызвано лишь случайными погрешностями, и мы должны получить QA<

Так как результаты измерения параметра Xk носят случайный характер, то и величины QA и Q0 будут также случайными. Поэтому их сравнения нужно проводить вероятностными методами.

На практике случайные погрешности измерений очень часто оказываются распределенными по нормальному закону. В этом случае сравнение слагаемых QA и Q0, т.е. оценку влияния составляющей XA на Xk,можно проводить с помощью так называемого F–критерия:

CA F =, (2.11) Co где QA QO CA = ; CO =.

m -1 m(n -1) Величина F является случайной, так как величина QA и Q0 случайны.

Доказано, что величина подчинена так называемому F-распределению с (m-1) и m(n-1) – степенями свободы.

Правило оценки степени влияния составляющей XA на Xk, сводится к следующему:

1) подсчитываются значения величин QA и Q0 (m-1) и m(n-1);

2) по этим значениям подсчитываются CA, C0 и затем F;

3) по специальным таблицам, имеющимся в справочниках, задаваясь доверительной вероятностью q (обычно полагают q=0.95,...,0.999) по степеням свободы (m-1) и m(n-1) с учетом CA, C0 и находится Fq;

4) гипотеза о том, что составляющая Xk зависима от XA принимается, если F>Fq;

5) если F<=Fq, то влияние составляющей XA на Xk нужно считать незначительным, так как в этом случае рассеивание результатов измерений вызвано в основном случайными, погрешностями измерений Xk.

Если с помощью дисперсионного анализа установлено, что составляющая XA зависит от Xk, то это отнюдь не означает, что составляющая XA зависит от Xk, так как первая может быть причиной, а вторая – следствием. Так, например, ЭДС. Термопары зависит от разности температур между ее холодным и горячим спаями. Но температура между горячим и холодным спаями этой термопары ни в коем случае не зависит от термоэдс. Точно так же, если Xk не зависит от XA, то это не означает XA, что также не зависит от Xk. Поэтому, чтобы выявить взаимонезависимые составляющие объекта измерения, нужно проверять с помощью дисперсионного анализа взаимное влияние их друг на друга.

Рассмотрена методика применения дисперсионного анализа для выявления наличия зависимости какой – то одной составляющей объекта измерения от другой. Теперь необходимо определить, является ли составляющая объекта а Xk зависимой от двух других XA и XB или зависит от какой – то одной из них. Эта задача решается с помощью двухфакторного дисперсионного анализа. Для этого одной из составляющих объекта, например XB, задается какое – то значение XB1. При этом значение XB начинают изменять значения составляющей XA и при каждом конкретном ее значении XA1, …., XAi, XAm осуществляют измерение величины Xk. Затем устанавливают другое значение XB = XB2 и снова осуществляют измерение при тех же самых значениях XA, что и в предыдущем случае. Такие измерения проводят для ряда значений XB1, …, XBI, …., XBn, составляющей XB. В итоге получают n*m результатов измерения составляющей Xk, где n и m – соответственное число значений, которое задали составляющим объекта измерения XB и XA. Результаты измерений заносят в таблицу 2.2.

В этой таблице через Xkij; обозначен результат измерения Xk при значении XA = XAi и XB = XBj.

Введем обозначения:

n * X =, - среднее значение составляющей при XA = XAij kAi xkij n j=m * X =, - среднее значение составляющей при XB = XBj kBi xkij m j=m n m n 1 1 * * * X = X = X = X - среднее арифметическое kAj kBj k kij mn m n i=1 j=1 j=1 j=результатов измерений составляющей Xk.

Таблица 2.2 – Значения параметров ОИ (для двумерного дисперсионного анализа).

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.