WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |

Итак, корреляционная функция белого шума имеет вид Rx ( ) = N ( ), (1.161) по виду АКФ совпадает с дельта – функцией, и все ее свойства аналогичны свойствам дельта – функции:

0, Rx ( ) =.

, = Отсчеты сигнала, являющегося белым шумом, взятые с любым шагом дискретизации, отличным от нуля, всегда некоррелированны. То есть, если имеется возможность генерировать белый шум, то не представляется сложным получать последовательность случайных величин, не корелированных во времени.

Если СПМ случайного сигнала постоянна в широком диапазоне частот, перекрывающем полосу пропускания динамической системы, то по отношению к этой данный сигнал можно принять за белый шум.

Иногда для на практике вводится нормированная СПМ:

S(w) Sн (w) = (1.162) Dx по аналогии с нормированной АКФ.

Rx ( ) = S(w) exp( jw )dw S(w) = 1 Rx ( )exp(- jw )d.

Разделим левую и правую части на DX, получим:

x ( ) = (w) exp( jw )dw н S Sн (w) = 1 x ( ) exp(- jw )d.

То есть нормированные СПМ и АКФ связаны между собой той же парой преобразований Фурье, что и ненормированные характеристики.

Все свойства нормированной спектральной плотности полностью аналогичны свойствам СПМ (четная, неотрицательная), кроме условия нормировки:

н S (w)dw = 1.

Неканоническая модель стационарного случайного сигнала (по Чернецкому) Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), который попытаемся описать моделью X(t), определяемую критериями M[X (t)] = M[X (t)], (1.163) M D[X (t)] = D[X (t)], (1.164) M Rx ( ) = RM ( ). (1.165) Модель стационарного случайного процесса можно предположить в следующем виде:

X (t) = mx + b1 sin(wt) + b2 cos(wt), (1.166) где b1, b2, w – центрированные, независимые случайные величины.

Эту модель можно представить в виде b X (t) = mx + b12 + b2 *sin wt + arctg.

b То есть, случайный процесс представляет аддитивную смесь постоянной составляющей и суммы гармоник со случайными амплитудами, частотами и фазами.

В данной модели компактность достигается за счет того, что частота носит случайный характер. В этом и заключается ее основное отличие от канонической модели Пугачева.

Для центрированного случайного сигнала модель имеет вид.

X (t) = b1 sin(wt) + b2 cos(wt).

M Найдем дисперсию модели DM = M (t) ;

X m X (t) = b12 sin2 (wt) + 2b1b2 sin(wt)cos(wt) + b2 cos2 (wt) = M 2 = b12 sin (wt) + b1b2 sin(2wt) + b2 cos2 (wt) = 2 2 = b12 sin (wt) + b1b2 sin(2wt) + b2 b2 sin(wt) = 2 2 = (b12 - b2 )sin (wt) + b2 + b1b2 sin(2wt).

В соответствии с этой формулой находим дисперсию:

2 2 DM = M[(b12 - b2 )]* M[sin (wt)]+ M[b2 ]+ M[b1]* M[b2]* M[si] 2 2 {M[b12]- M[b2 ]}* M[sin (wt)]+ M[b2 ]+ т.к b1 и b2 центрированны.

Должно выполняться условие: DM = DX, то есть 2 2 {M[b12]- M[b2 ]}* M[sin (wt)]+ M[b2 ]= Dx. (1.167) Левая часть не должна зависеть от времени. Это выполняется, когда, 2 M[b12]= M[b2 ], тогда M[b2 ]= Dx, таким образом M[b12]= M[b2 ]= Dx.

То есть, случайные величины, входящие в модель Чернецкого могут быть любыми, но непременно центрированными и с равными дисперсиями, которые, в свою очередь, должны быть равными дисперсии моделируемого сигнала.

Напомним еще об одном требовании, которому должна удовлетворять модель – равенства корреляционных функций исследуемого сигнала и модели:

Rx ( ) = RM ( ) X M RM ( ) = M (t) X (t - );

M X (t) = b1 sin(wt) + b2 cos(wt);

M X (t - ) = b1 sin(w(t - )) + b2 cos(w(t - ));

M 0 X (t) X (t - ) = b12 sin(wt)sin(w(t - )) + b1b2 sin(wt) cos(w(t - )) M M + b1b2 cos(wt)sin(w(t - )) + b2 cos(wt) cos(w(t - )) RM ( ) = M[b12]M[sin(wt)sin(w(t - ))]+ + M[b1]M[b2]M[sin(wt)cos(w(t - ))]+ + M[b1]M[b2]M[cos(wt)sin(w(t - ))]+ M[b2 ]M[cos(wt)cos(w(t - ))].

Но так как b1 и b2 являются центрированными случайными величинами, то их математическое ожидания равны нулю, и тогда RM ( ) = M[b12]M[sin(wt)sin(w(t - ))]+ + M[b2 ]M[cos(wt)cos(w(t - ))]= = DxM[sin(wt)sin(w(t - ))]+ DxM[cos(wt) cos(w(t - ))]= = DxM[cos(wt)].

Следует отметить, что данные функции корреляции удовлетворяют условию стационарности (не зависят от времени, но лишь от временного сдвига между сечениями процесса) и имеет одинаковую с исследуемым сигналом дисперсию.

Rx ( ) = DxM[cos(w )]. (1.168) Зададимся теперь вопросом, как правильно выбрать значение частоты w Параметры же b1 и b2 выбираются из условия равенства дисперсий оцениваемого сигнала и модели.

Для этого разделим левую и правую части выражения для АКФ на DX.

x ( ) = M[cos(w )].

Пусть f(w) – плотность вероятности распределения случайной величины w, тогда M[cos(w )]= f (w)cos(w )dw.

Но нормированная АКФ равна x ( ) = f (w)cos(w )dw.

Из этого интегрального уравнения можно найти плотность распределения f(w) случайной величины w.

Однако, памятуя о том, что нормированная спектральная плотность стационарного случайного процесса и его нормированная АКФ связаны друг с другом парой преобразований Фурье:

Sн (w) = x ( ) cos(w )d Rx ( ) = DxM[cos(w )].

Корреляционная функция не зависит от выбора параметров b1 и b2, но лишь от случайной частоты w. Напрашивается вывод о том, что плотность распределения случайной величины w численно должна быть равна f (w) = S(w). (1.169) То есть, случайные величины b1 и b2 и w, входящие в модель Чернецкого, должны представлять собой центрированные и независимые случайные величины. При этом дисперсии величин b1 и b2 должны быть равными друг другу и равны дисперсии исследуемого сигнала.

Плотность распределения случайной величины w должна быть при этом равна нормированной спектральной плотности моделируемого сигнала.

Математическое описание систем случайных сигналов в частотной области Пусть имеем два стационарных случайных сигнала X(t) и Y(t). Каждый из них характеризуется своей корреляционной функцией Для описания свойств системы сигналов в частотной области используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:

S (w) = Ryx ( )exp(- jw )d. (1.170) yx Рассмотрим свойства ВСП:

1 S (w) = Ryx ( )cos(w )d - j Ryx ( )sin(w )d. (1.171) yx 2 - Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.

Re Sxy (w) = Ryx ( )cos(w )d - вещественная часть ВСП, Im Sxy (w) = yx R ( )sin(w )d - мнимая часть ВСП.

Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая – нечетной функцией частоты.

S (w) = Re S (w) - j Im S (w) = S (w) exp(- j(w)), yx yx yx yx где S (w) = Re2 S (w) + Im2 S (w) - амплитудно – частотный спектр yx yx yx сигнала, четная функция частоты, Im S (w) (w) = arctg yx - фазо-частотный спектр.

Re S (w) yx В формуле (1.170) вместо w подставим - w:

S (-w) = Ryx ( )exp( jw )d.

yx В правой части переменную интегрирования заменим на S (w) = Ryx (- )exp(- jw )d yx Ryx (- ) = Ryx ( ), тогда S (-w) = Ryx ( )exp(- jw )d = Sxy (w).

yx Таким образом, S (-w) = Sxy (w).

yx Взаимная спектральная плотность удовлетворяет свойству Ryx ( ) = (w)exp( jw )dw.

yx S То есть, взаимная корреляционная функция и ВСП связаны между собой парой преобразований Фурье.

Рисунок 32 – К определению ширины взаимного спектра Та частота, на которой модуль ВСП достигает максимума, называется основной частотой взаимного спектра.

Весь взаимный спектр располагается вблизи этой частоты. Тот диапазон частот, в котором модуль взаимной спектральной плотности мало отличается от своего наибольшего значения, носит название частного диапазона взаимного спектра.

Ширина его равна ширине взаимного спектра:

w = wв - wн.

Определение ширины взаимного спектра Ширина взаимного спектра может быть определена одним из двух следующих способов:

S (w) dw yx 1) wc =, (1.175) S (w) yx max Syx(w) dw 2) wc =. (1.176) Syx(w) max Второй способ получил большее распространение, так как первый интеграл часто расходится.

Взаимный спектр несет информацию о взаимосвязи сигналов в частотный области. Наибольшая такая взаимосвязь наблюдается при частоте w0.

Ширина взаимного спектра указывает на тот частотный диапазон, где взаимосвязь между сигналами достаточно велика.

Анализ линейных динамических систем, работающих при входных случайных воздействиях Пусть имеем ЛДС с импульсной переходной характеристикой h(), на вход которой поступает случайный процесс X(t).

Надо уметь находить выходной сигнал и определять все его свойства, если известны характеристики входного сигнала, т.е. находить M[Y (t)], D[Y (t)], Ry (t,t + ), Ryx (t,t + ).

Они будут зависеть от свойств входного сигнала и характеристик ЛДС.

t Y (t) = )X (t - )d. (1.177) h( t 1. M[Y (t)]= )mx (t - )d = my (t) (1.178) h( t Y (t) = Y (t) - my (t) = ){X (t - ) - mx (t - )}d h( (1.179) t 0 Y (t) = ) X (t - )d h( t=u 0 Y (t = u) = h(1) X (t + u -1)d t t+u 0 0 0 Y (t)Y (t + u) = h( )h(1) X (t - ) X (t + u - )dd1.

0 2. Находим математические ожидания левой и правой частей:

t t+u Ry (t,t + u) = h( )h(1)Rx (t -,t + u - )dd1. (1.180) 0 o Найдем дисперсию выходного сигнала, для этого положим u=0:

t t 3. D[Y (t)]= h( )h(1)Rx (t -1,t - )dd1, (1.181) 0 то есть, чтобы отыскать дисперсию выходного сигнала необходимо знать АКФ входного.

4. взаимная корреляционная функция:

t Y Ryx (t,t + u) = M (t) X (t + u) = h( )Rx (t -,t + u - )d. (1.182) Выходной сигнал стационарной ЛДС при входном нестационарном сигнале будет нестационарным.

Иногда используют следующий подход. Входной сигнал представляют в виде канонической модели X (t) = mx (t) + k (t), Uk k =тогда выходной сигнал:

t t Y (t) = h(t)m(t - )d + h( )k (t - )d (1.183) Uk 0 k =t (t) = h(t)k (t - )d k Y (t) = my (t) + (t).

Uk k k =Если на входе линейной динамической системы имеем каноническую модель входного сигнала, то на выходе получаем каноническую модель выходного сигнала с теми же коэффициентами разложения. Отличаются только координатные функции.

Пусть входной сигнал является стационарным. Рассмотрим характеристики выходного сигнала системы.

tt my (t) = h(u)mx (u)du = mx 0 h(u)du. (1.184) Вывод: выходной сигнал стационарной ЛДС при стационарном входном сигнале не стационарен по математическому ожиданию.

t t Dy (t) = h( )h(1)Rx (,1)dd1 (1.185) 0 t t+u Ry (t,t + u) = h( )h(1)Rx (u -1 + )dd1. (1.186) 0 По автокорреляционной функции выходной сигнал не стационарен при стационарном входном.

Взаимно–корреляционная функция:

t Ryx (t,t + u) = h( )Rx (u + )d. (1.187) То есть, входной и выходной сигналы нестационарно связаны.

Рассмотрим теперь установившийся ( статический) режим работы ЛДС, устремив верхний предел интегрирования к бесконечности.

1. my = mx 0 h(u)du ; (1.188) 2. Dy = h( )h(1)Rx (1 - )dd1 ; (1.189) 0 3. Ry (u) = h( )h(1)Rx (u -1 + )dd1 ; (1.190) 0 4. Ryx (u) = h( )Rz (u + )d. (1.191) В установившемся режиме работы выходной сигнал ЛДС при стационарном входном является стационарным и стационарно связанным со входным.

Спектральная плотность мощности выходного сигнала определяется выражением S (w) = Ry (u)exp( jwu)du.

y Подставим сюда выражение для АКФ:

S (w) = h( )h(1) Rx (u -1 + )exp(- jwu)dudd1.

y 0 2 - Рассмотрим интеграл в скобках:

u -1 + u = u1 + 1 - = Rx (u)exp(- jw(u + 1 - ))du = du = du1 uв = ;uн = = exp( jw )exp(- jw1) Rx (u)exp(- jwu)du = = Sx (w)exp( jw )exp(- jw1) – подставим в исходный интеграл S (w) = Sx (w) h( )h(1)exp(- jw1) exp( jw )dd1 = y 0 = Sx (w){ h(1)exp(- jw1)d1}{ h( )exp( jw )d}= (1.192) 0 Sx (w)W ( jw)W (- jw) = Sx (w)W ( jw).

То есть, спектральная плотность мощности выходного сигнала ЛДС при подаче на нее стационарного случайного сигнала связана с СПМ выходного сигнала через квадрат модуля частотной характеристики.

Если искать дисперсию, АКФ и ВКФ по соотношениям (1.189), (1.190) и (1.191), то придется иметь с двойными интегралами, в то время как эти характеристики можно найти проще, пользуясь найденной зависимостью (1.192):

Dy = S (w)dw = Sx (w)W ( jw) dw, (1.193) y 0 то есть дисперсия, так же как и СПМ, зависит не от всей частотной характеристики, а только от АЧХ.

Ry ( ) = S (w) exp( jw )dw = Sx (w)W ( jw) exp( jw )dw.

y - Рассмотрим, какое практическое применение имеет найденная зависимость. Спектр выходного сигнала зависит от СПМ выходного и амплитудно-частотной характеристики системы.

Пусть на выход ЛДС подается белый шум, тогда S (w) = S0 = const, (1.194) y S (w) = S0 W ( jw), y то есть СПМ выходного сигнала зависит только от квадрата модуля частотной характеристики системы. Меняя частотную характеристику, можно получать сигналы с различными спектрально-корреляционными свойствами, окрашенные шумы. Это очень важный вывод, так как многие задачи планирования эксперимента решаются имитационным моделированием, которое предполагает, в свою очередь, использование в качестве исследуемых сигналов случайных процессов с заданными спектральными характеристиками (для проверки свойств синтезируемых фильтров, систем, и т.д.).

Ryx (u) = )Rx (u + )d. (1.195) h( Пусть мы определили АКФ входного сигнала и функцию взаимной корреляции между входным и выходным сигналами. Соотношение (1.95) можно использовать для определения ИПХ исследуемой системы. Найдем ВКФ между входным X(t) и выходным Y(t) сигналами системы, заменив в соотношении (1.195) у аргумента знак на противоположный:

Ryx (-u) = )Rx (-u + )d (1.196) h( Rxy (u) = )Rx (u - )d. (1.197) h( Пусть на вход системы подается стационарный белый шум. Его корреляционная функция:

Rx ( ) = N ( ), Rx (u - ) = N (u - ), Rxy (u) = N ) (u - )d.

h( Согласно фильтрующему свойству дельта – функции:

Rxy (u) = N * h(u), то есть вид ВКФ совпадает с видом импульсной переходной характеристики ЛДС.

Rxy (u) h(u) =. (1.198) N Соотношение (1.198) можно использовать как алгоритм определения ИПХ.

Далее подается тестовый сигнал – белый шум и вычисляются взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов.

Sxy (w) = xy "R (u)exp(- jwu)du = = ) Rxy (u - )exp(- jwu)dudt.

h( 0 2 - Внутренний интеграл:

u - = u u1в = Rx (u1)e- jw(u1+ )du1 = u = u1 + = 2 u1н = du = du = e- jw Rx (u1)e- jwu1du1 = e- jw Sx (w) 2 - подставляем в исходный интеграл:

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.