WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 18 |

X (t) = Ф + cos kwt + sin kwt. (1.125) Uk Vk k =1 k =Коэффициенты разложения при этом обладают следующими свойствами.

1. M[Ф] = M[U ] = M[Vk ] = 0, то есть все они центрированы.

k 2. Коэффициенты разложения некоррелированны между собой:

M[ФUk ] = M[ФVk ] = 0 при любых k.

0, k m 3. M[U U ] =.

k m, k = m Dk 4. M[UkVm ] = D D[Ф] =.

То есть сигнал описывается разложением:

X (t) = Ф + cos(kwt) + Vk sin(kwt)) = (Uk k = = Ф + sin(kwt + k )), (Ak k =где Vk Ak = U + Vk2 ; k = arctg.

k U k Любой стационарный случайный сигнал может быть представлен в виде бесконечного ряда тригонометрических функций со случайными амплитудами и фазами.

Определим дисперсию к-й гармоники:

Dk = M[{U cos kwt +Vk sin kwt}]= k = cos2 (kwt)M[U ]+ 2sin(kwt)cos(kwt)M[UkVk ]+ k = sin2 (kwt)M[Vk2]. (1.126) Дисперсия Dx характеризует мощность к-й гармонической составляющей канонической модели сигнала.

Зависимость величины Dk от частоты получила название спектра случайного сигнала или спектра мощности случайного сигнала или энергетического спектра.

T Dk = Rx ( )cos kw d T -T D Rx (t,t1) = + cos(kw(t - t1)). (1.127) Dk k =Спектр случайного сигнала, ограниченного во времени, имеет линейчатых дискретный характер, он определен на строго фиксированных частотах.

Спектр обладает следующими основными свойствами.

1. Он неотрицателен Dk=>0.

2. Представляет собой четную функцию k: Dk=D-k Рисунок 25 – Энергетический спектр случайного сигнала 3. Положим =D Dx = +, Dk k =то есть энергия (мощность) всего сигнала складывается из мощности (энергии) постоянной составляющей и всех гармоник.

4. Рассмотрим, как ведет себя дисперсия к-й гармоники при неограниченном увеличении промежутка времени Т.

T T 1 2 2Dx T 2Dx Dk = Rx ( ) d = Rx ( ) d < ( ) d =, (1.128) x k T T T T -T 0 T где = ( ) d - интервал корреляции процесса X(t).

k x 2Dx То есть, Dk < - при увеличении Т дисперсия гармоники убывает.

k T 5. Как видно из равенства (1.128) предел дисперсии при неограниченном увеличении Т равен нулю lim Dk = 0. (1.129) T Рассмотрим, к чему стремится дисперсия при неограниченном росте порядкового номера гармоники к.

Обозначим: kw =, в = kwT = k, н = -k, d T =, d = = d, kw kw k k Dk = Rx cos d, lim Dk = 0.

k k k -k при больших к k Dk = cos( )d.

k -k То есть, при больших к энергетический спектр затухает.

Рассмотрим вопрос определения полосы частот сигнала.

В основу определения частотного диапазона кладется энергетический подход, то есть под полосой частот подразумевает такая, в которой сосредоточена практически вся энергия (мощность) сигнала, а именно – 95 %.

N X (t) = Ak sin(kwt + k ) M k =m wн = mw; wв = Nw.

Таким образом, верхняя и нижняя границы полосы частот при известных m и N легко определяются. Ширина спектра при w = (N - m)w N DM = - мощность сигнала в полосе частот.

Dk k =m Отсюда ищутся m и N. Но непосредственно таким подходом воспользоваться нельзя, нужны другие способы. Например, предположим, что потери энергии на частотах от 0 до m-1 и от N+1 до равны, тогда:

D0 m- + = 0.025Dx, (1.130) Dk k =отсюда определяют m:

= 0.025Dx, Dk k =N +из этого выражения можно найти N, но вычислить сумму бесконечного ряда неудобно, поэтому часто прибегают к такому подходу:

D0 N Dx = + +, Dk Dk k =1 k =N +это мощность всего сигнала;

D0 N Dk = Dx - - = 0.025Dx. (1.131) Dk k =N +1 k =Этим уравнением для определения N воспользоваться проще, для этой цели можно применить и такое выражение:

D0 N 0.975Dx = +. (1.132) Dk k =Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), рассматриваемый на интервале времени 0t<.

Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии к-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.

D0 Dk jkw Dk Rx ( ) = + e + e- jkw = 2 2 k =1 k = Dk jkw Dk = e + e- jkw 2 k =0 k =Заменим во второй сумме к на -к:

Dk jkw -1 D-k jkw Rx ( ) = e + e 2 k =0 k =но Dk=D-k. Тогда Dk jkw -1 D-k jkw Dk jkw e + e = e (1.133) 2 2 k =0 k =- k =Таким образом частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену:

Dk jkw Rx ( ) = e. (1.134) k =В свою очередь T Dx = Rx )cos(kw )dt. (1.135) T -T Найдем отношение Dk T * = Rx ( )cos(kw )d = S (kw). (1.136) w -T Это – функция kw, обладающая свойствами:

* * S (-kw) = S (kw), то есть S*(kw) - четная функция своего аргумента, кроме того, она неотрицательна.

Перейдем от Dk к введенной нами функции:

* Dk = wS (kw) T * S (kw) = Rx ( )cos(kw )d, (1.137) -T * Rx ( ) = (1.138) S (kw)eikw w.

k =Устремим w к нулю, а интервал времени Т к бесконечности. S*(kw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.

* R ( ) = (u) exp( ju )du x S (1.139) * S (u) = Rx ( )cos(u )d.

Вместо аргумента u и введем w:

* R ( ) = (w) exp( jw )dw x S (1.140) * S (w) = Rx ( ) cos(w )d.

Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.

Для того чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье – преобразования от СПМ, переобозначим ее:

* S (w) S(w) =. (1.141) В формулах произойдут следующие изменения * Rx ( ) = (w)exp( jw )dw S (1.142) S * (w) = 1 Rx ( ) cos(w )d.

Рассмотрим свойства новой спектральной плотности:

jw e + e- jw cos(w ) = ;

Rx ( )cos(w )d = Rx ( )exp( jw )d + - + Rx ( )exp(- jw )d.

В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т.к. Rx ( ) = Rx (- ), то Rx ( )cos(w )d = Rx ( )exp(- jw )d + - + ( )exp(- jw )d = Rx ( )exp(- jw )d, x R - то есть спектральная плотность может быть записана в виде:

S(w) = Rx ( )exp(- jw )d. (1.143) Вывод: АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.

Сделаем подстановку: exp(jw)=cos(w) + jsin(w), тогда Rx ( ) = S(w) cos(w )dw + j S(w)sin(w )dw, - но так как СПМ является четной функцией, а синус – нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда Rx ( ) = S(w)cos(w )dw, Rx ( ) = 2 cos(w )dw S(w) то есть: (1.144) S(w) = 1 Rx ( ) cos(w )dw Укажем некоторое свойства спектральной плотности мощности. Вопервых, СПМ является четной функцией своего аргумента S(w) = S(-w), во-вторых, спектральная плотность – неотрицательная функция:

S9w) 0, и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:

Dx = Rx (0) = (1.145) S(w)dw.

То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это – условие нормировки.

Частотный диапазон сигнала и способы его определения Под частотным диапазоном случайного сигнала понимают такую полосу частот, в которой сосредоточена практически вся его мощность (95 %).

Мощность сигнала – это его дисперсия, значит, в частотном диапазоне содержит 95 % дисперсии. Будем рассматривать только одну ветвь (в соответствии с рисунком 26).

Случайный сигнал будет содержать энергию, соответствующую площади заштрихованной фигуры.

wв Dx (1.146) S(w)dw = 0.95 2.

wн Рисунок 26 – К вопросу об определении частотного диапазона сигнала Однако это уравнение нельзя использовать для вычисления ширины спектра, так как в него входит два неизвестных.

Существует несколько способов определения частотного диапазона.

Рассмотрим первый из них. Предположим, что потери энергии слева и справа от частотного диапазона одинаковы:

wн Dx (1.147) S(w)dw = 0.025 Dx S(w)dw = 0.025 2.

wв S(w) – монотонная функция, т.е. решение единственно. Ширина частотного диапазона по его верхней и нижней границам:

wc = wв - wн.

Та частота, на которой спектральная плотность имеет максимум, называется основной частотой сигнала w0.

Если известна основная частота w0, то делается предположение о том, что спектр сигнала симметричен относительно этой частоты:

wв = w0 + wc /. (1.148) = w0 - wc / wн Тогда уравнение (1.146) примет вид wc w0 + Dx S(w)dw = 0.95. (1.149) wc w0 В этом уравнении имеется единственное неизвестное – wc – эквивалентная ширина спектра мощности, и так как СПМ – монотонная функция, то уравнение имеет одно решение.

Итак, для определения частотного диапазона необходимо следующее.

1. Определить основную частоту w0.

2. Решить уравнение и найти эквивалентную ширину спектра мощности.

3. Найти верхнюю и нижнюю границы частотного диапазона.

Возможен и частотный случай, когда нижняя граничная частота равна нулю, и приходится определять только верхнюю частоту диапазона:

wв Dx (1.150) S(w)dw = 0.95 2.

Здесь единственное неизвестное – верхняя граничная частота, которая численно равна эквивалентной ширине частотного диапазона.

Наибольшее применение на практике получил формантный подход к определению частотного диапазона wc.

Согласно этому подходу, вначале определяется ширина частотного диапазона. Под ней понимается величина основания прямоугольника (в соответствии с рисунком 27), построенного на оси частот и имеющего высоту, равную максимальному значению СПМ, а площадь – равную площади фигуры, ограниченной кривой спектральной плоскости.

Рисунок 27 – Формантный метод определения частотного диапазона Dx wcSн = Dx wc = 2Sн wc wн = w0 - (1.151) wc wв = w0 +.

Достоинством этого подхода является минимум вычислений. На практике часто используют его модификацию:

S(w)dw Dx wc = = (1.152) 2Sн 2Sн или S (w)dw wc =. (1.153) 2Sн Рассмотрим связь между этими двумя способами:

S (w)dw = S(w)S(w)dw Sн S(w)dw 00 С учетом этого неравенства:

Sн S(w)dw S(w)dw 0 wc1, wc2, Sн Sн но S(w)dw wc =, wc1 wc.

2Sн Это справедливо для любых сигналов. Еще одним способом определения частотного диапазона является так называемый метрологический подход. При этом подходе под частотным диапазоном понимается такой, в котором СПМ S(w) незначительно отличается от своего наибольшего значения (в соответствии с рисунком 28).

Координаты пересечения линии, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на SH-, с кривой S(w) дают граничные частоты WH WB.

Рисунок 28 – Метрологический подход к определению частотного диапазона S(w) Sн - = S(w); 1- = ;

Sн = 5 -10% S(w) 1- =. (1.154) Sн Sн Этот способ дает заниженные значения эквивалентной ширины спектра мощности.

В зависимости от того, в каком соотношении находятся между собой w0 и ширина спектра, различают два типа сигналов:

Широкополосные, у которых ширина частотного диапазона значительно превышает значение основной частоты: wc >> w0 ;

Узкополосные, у которых основная частота намного больше эквивалентной ширины спектра мощности.

Укажем здесь еще одно свойство всех стационарных случайных процессов, которое носит название соотношения неопределенности.

Произведение интервала корреляции случайного сигнала на эквивалентную ширину спектра его есть величина постоянная, значение которой зависит от способов задания этих характеристик:

wc = const. (1.155) k Например, рассмотрим широкополосный сигнал с нулевой основной частотой w0 = 0, тогда SH = S(0). Мы знаем, что S(w)dw Dx wc = =, 2Sн Sн w0=0, S(w) = Rx ( ) cos(w )d, 1 Dx Dx x S(0) = Rx ( )d = ( )d = = Sн x Dx wc = = ; тогда wc =.

k 2Dx 2 k k Рассмотрим теперь некоторые специальные виды сигналов.

Полосовые шумы Полосовым шумом называется сигнал, СПМ которого постоянна на заданной полосе частот, а вне ее равна нулю (в соответствии с рисунками и 30).

w0 – частота, делящая частотный диапазон пополам:

wн + wв w0 = ;

Рисунок 29 – Спектр узкополосного сигнала Рисунок 30 – Спектр широкополосного сигнала S0 – интенсивность шума.

Основной частотой широкополосного сигнала считается нулевая частота.

Рассмотрим узкополосный шум. Выразим его интенсивность через дисперсию:

Dx wcS0 = - это площадь прямоугольника на рисунке 29, Dx Dx S0 = =.

2wc 2(wd - wн ) Рассмотрим функцию корреляции полосового шума.

Rx ( ) = S(w) cos(w )dw = 2S(w) cos(w )dw = - wв wв = 2 cos(w )dw = 2 cos(w )dw = S(w) S wн wн wв 2Dx wв Dч sin(w ) = = cos(w )dw = 2(wв - wн ) wв - wн wн wн Dx 2 wв - wн wв + wн cos, = sin (wв - wн ) 2 но wв - wн = wc, (wв + wн ) / 2 = w0, тогда 2 wc cos(w ) Rx ( ) = Dx sin, wc или wc sin Rx ( ) = Dx cos(w0 ). (1.156) wc АКФ полосового шума имеет колебательный, затухающий характер.

Рассмотрим вопрос: при каких условиях отсчеты шума будут некоррелированными АКФ будет равной нулю, когда либо синус, либо косинус равны нулю:

wc wc а) sin = 0, когда = k, 2 k=1,2……(при k =0 значения АКФ равно единице);

= 2k / wc ; w = 2f ; wc = 2fc, = k / fc. (1.157) Таким образом, отсчеты шума будут некоррелированными, если их брать через интервал 1/ fC:

б) cos(w0 ) = 0; w0 = (2k +1) / 2, k = 0,1,2,....

(2k +1) = ; w0 = 2f ;

2w(2k +1) 2k = =. (1.158) 2 * 2f0 4 fНайдем шаг по аргументу:

2k +1 (2k +1) +1 2k +1- 2k + 2 -1 - = =. (1.159) 4 f0 4 f0 4 f0 2 fТаким образом, получены два шага дискретизации, при которых отсчеты сигнала становятся некоррелированными. Из них надо брать тот, который имеет наименьшее значение, для узкополосных сигналов это - 1 /2f– наименьший шаг, при котором отсчеты некоррелированны.

Рассмотрим теперь широкополосный шум.

wн = 0; wв = wc.

Для определения АКФ сигнала воспользуемся формулой для функции корреляции узкополосного шума (1.156), положив wH = 0.

Dx sin(wc ) Rx ( ) = sin(wв ) = Dx wв wc sin(wc ) = k k k wc = k; = = =.

wc 2fc 2 fc Шаг дискретизации по времени для получения некоррелированных отсчетов составляет t =. (1.160) 2fc Белый шум Белый шум – это такой стационарный случайный сигнал спектральная плотность мощности которого постоянна на любой частоте (в соответствии с рисунком 31).

Рисунок 31 – Спектр белого шума Понятие белого шума аналогично понятию белого света, содержащего все спектральные составляющие. Белый шум представляет собой математическую абстракцию, так как площадь под прямой S(w0) = Sбесконечна (а следовательно, бесконечна и дисперсия, т.е. полная мощность сигнала).

Rx ( ) = S(w)exp( jw )dw = S0 exp( jw )dw = - = 2Sexp( jw )dw = 2S0 ( ).

2 - 2S0=N - интенсивность белого шума (как уже отмечалось, о мощности белого шума говорилось бессмысленно).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.