WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 18 |

Y M (t1) X (t2 ) Ryx (t1,t2 ) xy (t1,t2 ) = =. (1.85) (t1) (t2 ) (t1) (t2 ) y x y x Как видно из формулы (1.85), pyx - это коэффициент корреляции между сечениями Y(t1) и X(t2).

Рассмотрим свойства этих функций:

1. (t1,t2 ) = xy (t1,t2 ), так как yx • • Y • X • Ryx = M (t1) X (t2 ) = M (t2 )Y (t1) = Rxy (t2,t1). (1.86) Взаимная корреляционная функция несимметрична относительно своих аргументов.

(t1,t2 ) = (t2,t1).

yx xy 2. Ryx (t1,t2 ) (t1) (t2 ) y x (t1,t2 ) 1. (1.87) yx 3. При одинаковых значениях временных аргументов:

Y Ryx (t,t) = M (t) X (t) = Dyx (t)- взаимная дисперсия. (1.88) Ryx (t1,t2 ) описывает степень линейной статистической взаимосвязи между временными сечениями различных сигналов.

Пусть t2 – t1 = - интервал времени между сечениями.

Рисунок 19 – Графики зависимостей АКФ и ВКФ от интервала времени между сечениями АКФ симметрична, и для ее описания можно изучать только одну ветвь, а в случае ВКФ необходимо исследовать обе ветви.

Нормированная ВКФ достигает своего максимума при 0, то есть два сигнала наиболее линейно связанные при этом сдвиге между их временными сечениями.

Если ( ) = 1, то сигналы X(t) и Y(t) связаны линейной yx функциональной зависимостью при =0. Все понятия можно обобщить на случай системы произвольного числа сигналов {Xi(t)}, i = 1, N Для этого достаточно установить mxi(t) – математические ожидания всех сигналов;

Rxi(t1, t2) – АКФ всех сигналов;

Ryi, xi(t1, t2) –ВКФ между всеми парами сигналов.

Математическое описание стационарных случайных сигналов Пусть имеем случайный процесс {X(t)}, который является стационарным. При этом его одномерная плотность вероятности будет зависеть только от X, и не будет зависеть от времени:

f (X,t) = f (X ). (1.89) Не будут зависеть от времени и все начальные и центральные моменты:

k (t) = k и, в частности, дисперсия Dx (t) = = Dx.

x Для АКФ справедливо следующее соотношение: Rx(t1, t2) = Rx(t1 - t2), то есть АКФ зависит не от начала отсчета, а лишь от сдвига между временными сечениями.

Дисперсия характеризует мощность случайного сигнала, например:

i(t) = X (t), P(t) = i2 (t) * R, M[P(t)]= R * M[X (t)].

То есть, если предположить, что сигнал центрирован, то это выражение представляет его дисперсию (мощность, выделяемую на единичной нагрузке).

Рассмотрим АКФ стационарного случайного сигнала:

t2 - t1 =, Rx (t2 - t1) = Rx ( ).

1. По величине АКФ процесса не может превышать его дисперсию:

Rx ( ) Dx =.

x 2. АКФ – четная функция своего аргумента:

Rx ( ) = Rx (- ).

3. АКФ при нулевом аргументе равна дисперсии сигнала:

Rx (0) = Dx.

Для нормированной корреляционной функции эти свойства трансформируются следующим образом:

1) x ( ) = 1;

2) x ( ) = (- ) ;

x 3) x (0) = 1.

Общим для АКФ и нормированной АКФ стационарного случайного сигнала является то, что при неограниченном увеличении временного сдвига между сечениями обе они стремятся к нулю:

lim Rx (t) = lim x ( ) = 0.

t При описании свойств стационарного процесса часто указывают такой интервал времени, начиная с которого можно считать px = 0. Это интервал корреляции, который принято обозначать k. k показывает, в каком промежутке времени сечения сигнала сильно коррелированны (при >k эти сечения считаются некоррелированными ). Кроме того интервал корреляции часто несет информацию о частотных свойствах сигнала, определяя длительность АКФ во времени.

Рассмотрим методы определения.

k 1. Выбирается малая величина <<1, и на расстоянии от оси времени проводят две прямые, параллельные этой оси (в соответствии с рисунком 20).

Рисунок 20 – Определение интервала корреляции (метрологический подход) Тот момент времени, начиная с которого удовлетворяется условие:

x ( ) < принимают за k. Величину обычно принимают равной 2 – 5 % от 1.

2. На оси времени как на основании строится прямоугольник, высота которого равна единице, а площадь равна площади всей фигуры под кривой нормированной АКФ ( в соответствии с рисунком 21).

= x ( )d. (1.90) k Этот метод применяется для определения монотонных, не x знакопеременных АКФ.

Рисунок 21 – Определение интервала корреляции (формантный подход) Для вычисления знакопеременных АКФ принято использовать следующие три подхода:

1) = ( ) d ; (1.91) k x 2) = ( ) d ; (1.92) k x µN 3) =, (1.93) x µN -где µN - момент АКФ, определяемый соотношением:

N µN = ( )d ;

x N - любое целое положительное число.

Из приведенных методов наиболее часто на практике используется четвертый.

Посмотрим, какой из приведенных способов дает наибольшее значение интервала корреляции:

= x ( )d ( )d =, k1 x k = x ( )d = ( ) ( ) d ( )d =, k 3 x x x k 0 так как x (t) 1.

Таким образом, ;.

k1 k 2 k 3 k Пример.

Пусть имеем стационарный случайный процесс X (t) c нормированной корреляционной функцией x ( ) = e- и определим его интервал корреляции первыми четырьмя способами:

1 e- = ; - = ln ; = ln.

k То есть, чем больше, тем круче спадает АКФ, и тем меньше величина интервала корреляции.

1 - = d = ; = d = ;

k1 k e e 0 - = d =.

k e Приближенное описание АКФ Во-первых, АКФ может быть приближенно описана интервалом корреляции. Кроме того, для приближенного описания АКФ используются моментные характеристики этой функции.

Нормированным моментом порядка К АКФ называется величина k µk = ( )d. (1.94) x Если К=0, то µk =, то есть интервал корреляции представляет собой k момент АКФ нулевого порядка. Для приближенного описания АКФ используется ее модель M (1, 2,...,, ), N где 1, 2,..., - коэффициенты (параметры) модели.

N Для описания АКФ необходимо отыскать значения этих параметров, что можно проделать, используя метод моментов, согласно которому моменты истинной АКФ должны равняться моментам модели функции корреляции:

( µk = µkM ), k = 1,2,3... (1.95) Использование метода моментов позволяет достаточно точно описывать АКФ при больших значениях.

При малых более целесообразно пользоваться критериям производных, который сводится к тому, что коэффициенты модели вычисляются приравниванием соответствующих производных нормированной АКФ и ее модели в нуле:

( xk ) (0) = (0), k = 1,2,3... (1.96) x Описание системы стационарных и стационарно связанных сигналов Пусть имеем два случайных сигнала, которые стационарно связаны между собой.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) системы имеет вид:

X Rxy (t1,t2 ) = M (t1)Y (t2 ).

Для описания системы двух случайных процессов необходимо знать двумерную плотность вероятности f [X (t1),Y (t2 )]= f (X,t1 + u,t2 + u). (1.97) Выражение (1.97) представляет собой условие стационарной связности.

Как в случае АКФ, положим = t2 - t1. Рассмотрим свойства ВКФ системы двух стационарно связанных сигналов.

1. Так как Rxy (t1,t2 ) = Ryx (t2,t1), то Rxy ( ) = Ryx (- ) (1.98) (в соответствии с рисунком 22).

2. Аналогично Rxy ( ) ; (1.99) x y 3. Rxy (0). (1.100) x y Рисунок 22- График ВКФ системы двух стационарно связанных сигналов Нормированная функция взаимной корреляции:

Rxy ( ) xy ( ) = (1.101) x y обладает аналогичными свойствами:

1) xy ( ) = xy (- );

2) xy ( ) 1.

Для приближенного описания ВКФ используется ряд характеристик:

координата и величина экстремума, интервал взаимной корреляции, моментные характеристики и производные ВКФ при различных значениях аргументах.

Интервал взаимной корреляции двух стационарно связанных случайных сигналов определяется как интервал времени, внутри которого ВКФ отлична от нуля, а вне его – равна или близка к нулю (в соответствии с рисунком 23).

Рисунок 23 – К вопросу об определении интервала взаимной корреляции Способы отыскания сходны со способами определения интервала корреляции с отличием, что в данном случае приходится оценивать взаимодействие как в положительной, так и в отрицательной области.

1) xy ( ) = ; (1.102) 2) = xy ( )d = xy ( )d + ( )d = кв xy - - = xy ( )d + xy ( )d; (1.103) 0 3) = xy ( )d; (1.104) кв 4) = xy ( ) d. (1.105) кв Так же, как и в случае АКФ, для приближенного описания ВКФ используют ее моменты, которые определяются следующим образом:

(q) q µxy = xy ( )d, (1.106) где q- порядок момента.

Если известна координата максимального значения ВКФ, то можно использовать и такие моменты:

(q) = - )q xy ( )d. (1.107) xy ( 1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву) Всякий случайный процесс может быть представлен в виде:

X (t) = mx (t) + X (t) (1.108) и описан моделью:

X (t) = mx (t) + k (t), (1.109) Uk k =где Uk - коэффициенты разложения случайной величины;

k - координатные, детерминированные функции.

В качестве критерия адекватности модели исследуемому сигналу можно взять критерий минимума среднеквадратической погрешности:

= M[{X (t) - X (t)} ]= min, (1.110) M M[X (t)]= M[mx (t)]+ ]k (t). (1.111) M M[Uk k =Чтобы обеспечить равенство математических ожиданий модели и сигнала необходимо, чтобы сумма равнялась нулю. Это возможно, когда все случайные величины Uk центрированы. Дальнейшее построение модели сводится к отысканию Uk.

= min X (t) = k (t) (1.112) M Uk k = = M (t) - X (t) = min. (1.113) X M Это выполняется при = 0, k (t) 0 X X M или = M (t) - X (t) M = 0.

k (t) k (t) X M Но = U, k k (t) 0 M (t) - X (t)U = 0, k X M отсюда X 0 X M (t)Uk = M (t)Uk, (1.114) M X, Uk ]m (t) = M (t)U k = 0,1,.... (1.115) M[Um k m= Это нереально, поэтому кроме требования центрированности, накладываем еще одно условие M[Um (t)U (t)]= Rm,k.

k Для того чтобы избежать необходимости решать систему уравнений, потребуем выполнения условия ортогональности Dk, m = k Rm,k = (1.116) 0, m k то есть случайные величины U должны быть некоррелированными.

M = Dk, U k U Dkk (t) = M X (t), k = 1,2,3,... (1.117) k Вместо системы уравнений получаем совокупность уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное.

Определяем координатные функции U M X (t) k k (t) = (1.118) Dk при известной дисперсии.

Или наоборот, задаваясь координатными функциями, отыскиваем дисперсии:

U M X (t) k Dk =. (1.119) k (t) Вывод: любой случайный процесс X(t) можно описать моделью X (t) = mx (t) + k (t), M Uk k =причем математические ожидания модели и сигналы должны совпадать, а коэффициенты разложения представляют центрированные и некоррелированные случайные величины.

U Dkk (t) = M X (t).

k U Так как Dkk (t) 0, то и M X (t) 0, следовательно, любой k коэффициент разложения должен быть коррелирован с самим сигналом X(t).

Вычислим минимальное значение среднеквадратической погрешности.

Итак, центрированная модель имеет вид N X (t) = k (t) M U k k =Среднеквадратическая погрешность определяется выражением = M (t) - X (t).

X M Или 2 0 0 X M = M (t) - 2M (t) X (t) + M (t) X M X причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.

0 N N N 2 X (t) = (t)m (t)M[UkUm]= k (t), M k Dk k =1 m=1 k = 0 0 X (t) X (t) = k (t) X (t), M Uk k = X M 0 U M (t) X (t) = (t)M X (t), k k k =но N U M X (t) = k (t), то есть k Dk k =N X M M (t) X (t) = k (t), Dk k =N N 2 min = Dx (t) - 2 k (t) + k (t), Dk Dk k =1 k =N min = Dx (t) - k (t). (1.120) Dk k =Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность убывает до нуля, когда N стремится к бесконечности.

N Выражение k (t), будем считать дисперсией модели.

Dk k =Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально можно представить в виде N min = (t,t1) - k (t)k (t1) t = t1`. (1.121) R x Dk k =где Rx(t,t1) - АКФ сигнала. Отсюда можно предложить, что N k (t)k (t1) = RM (t,t1) - АКФ модели.

Dk k =Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:

X M RM (t,t1) = M (t) X (t) = N N N N = M (t)m (t1)U Um = (t)m (t1)M[UkUm]= k k k k =1 m=1 k =1 m=N = k (t)k (t1), (1.122) Dk k =то есть, наше предложение о виде АКФ модели верно.

Таким образом, минимум среднеквадратической погрешности определяется выражением min = {Rx (t,t1) - RM (t,t1)} t = t1. (1.123) Выводы.

1. В качестве модели АКФ случайного процесса можно брать ее каноническую модель:

N RM (t,t1) k (t)k (t1), Dk k =и чем точнее модель АКФ, тем точнее будет модель самого сигнала.

2. Из выражения для канонической модели АКФ вытекает каноническая модель сигнала, и для построения последней необходимо предварительно синтезировать каноническую модель его функции корреляции.

1.2.7 Математическое описание стационарных случайных сигналов в частотной области Настоящий раздел посвящен рассмотрению частотных, или спектральных свойств стационарных случайных процессов. В зависимости от того, на ограниченном или неограниченном промежутке времени исследуется сигнал, эти свойства разительно отличаются друг от друга.

Спектральное представление стационарного сигнала, рассматриваемого на ограниченном интервале времени Пусть X (t) - центрированный стационарный случайный процесс на участке 0 t T, а Rx (t,t1) - АКФ этого процесса.

Так как X (t) - стационарный сигнал, то его корреляционная функция является функцией одного аргумента:

Rx (t,t1) = Rx (t1 - t) = Rx ( ), где = t1 - t. Найдем диапазон изменения:

0 t T -T t1 - t T; -T T.

0 t1 T На рисунке 24 изображен график зависимости АКФ от интервала между сечениями.

Рисунок 24 – График АКФ, ограниченного во времени стационарного случайного процесса Построим каноническую модель АКФ, для этого представим ее в виде тригонометрического ряда Фурье:

b Rx ( ) = + cos(kw ) + sin(kw ). (1.124) bk k k =1 k =Определим коэффициенты ряда:

T bk = Rx ( ) cos(kw )d ;

T0 -TT k = Rx ( )sin(kw )d, T0 -Tw = ; k = 0, так как АКФ – четная функция своего аргумента, sin- Tнечетная, а интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю;

bk = Dk, тогда D Rx ( ) = + cos(kw );

Dk k =T Dx = Rx ( )cos(kw )d, избавляемся от To:

T0 -T2 w = = =, тогда T0 2T T T Dk = Rx ( ) cos(kw )d.

T -T Докажем, что эта модель является канонической., для этого вместо подставим его значение D Rx (t,t1) = + cos(kw(t - t1)), Dk k =но cos(kw(t-t1))=cos (kwt-kwt1)=cos(kwt) cos(kwt1)+sin(kwt) sin(kwt1), тогда D Rx (t,t1) = + (cos(kwt)cos(kwt1) + sin(kwt)sin(kwt1)) Dk k =Таким образом, сам сигнал может быть представлен в виде:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.