WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 18 |

k k T T Если случайный процесс {X(t)} стационарен и mx(t) и Rx(,k), определенные формулами (1.60), одинаковы для всех реализаций, то случайный процесс {X(t)} называется эргодическим. Для эргодического случайного процесса среднее значение и автокорреляционная функция (а также другие моменты, определяемые осреднением по времени) равны соответствующим средним по ансамблю: mx(k)=mx, Rx(,k)=Rx(). Заметим, что только стационарные процессы могут обладать свойством эргодичности.

Эргодические процессы представляют важную разновидность сигналов, так как все их свойства могут быть определены осреднением по времени одной единственной реализации (хотя и непременно достаточно продолжительной).

На практике процессы, соответствующие стационарным случайным явлениям, как правило, обладают свойством эргодичности, что позволяет правильно определить характеристики стационарного случайного процесса по одной выборочной реализации.

Нестационарные случайные процессы К нестационарным относятся все случайные процессы, упомянутые в приведенной выше классификации, не обладающие свойства стационарности хотя бы в широком смысле. Характеристики нестационарного процесса в общем случае представляют собой некоторые функции времени, определить которые можно только осреднением по ансамблю реализации, образующих процесс. В практических задачах часто представляется невозможными получить достаточно большое число реализации для отыскания характеристик процесса с необходимой достоверностью. Это обстоятельство препятствует развитию практическим методов оценивания и анализа нестационарных случайных процессов.

Во многих случаях в классе нестационарных процессов, соответствующих реальным физическим явлениям, можно выделить особые типы нестационарности, для которых задача оценивания и анализа упрощается. Например, некоторые случайные явления описываются нестационарными случайным процессом {Y(t)}, каждая реализация которого имеет вид Y(t)=A(t)X(t), где X(t) – реализация стационарного случайного процесса {X(t)}, A(t) - детерминированный множитель.

Процессы такого типа имеют общий детерминированный тренд. Если нестационарный процесс соответствует конкретной модели такого типа, то для его описания нет необходимости производить осреднение по ансамблю:

любые требуемые характеристики можно оценить по одной реализации, как и для эргодических процессов.

Стационарные реализации Понятие стационарности, рассмотренное выше, связано с осреднением по ансамблю характеристик случайного процесса. Однако на практике часто приходится решить вопрос о стационарности и нестационарности процесса, представленного всего одной реализацией. В этом случае используется несколько отличное от приведенного выше понятие стационарности. Когда речь идет о стационарности одной выборочной функции, то это означает, что характеристики, рассчитанные по коротким временным интервалам, не меняются значительно для различных интервалов. Термин «значительно» используется здесь для обозначение того факта, что наблюдаемые изменения больше, чем можно ожидать за счет обычной выборочной статистической изменчивости.

Для разъяснения этого рассмотрим реализацию Xk(t), полученную по К-й реализации случайного процесса X(t). Определим математическое ожидание и автокорреляционную функцию осреднением по времени на коротком интервале продолжительности Т при начальном моменте t:

t+T mx (t, k) = X (t)dt, (1.61) k T t t+T 0 Rx (t,t +,k) = X (t) X (t + )dt.

k k T t В общем случае, когда выборочные характеристики, определенные формулами (1.61), меняются значительно при изменении начального момента t, отдельная реализация называется нестационарной. В частном случае, когда выборочные характеристики, определенные этими формулами, не меняются значительно при изменении t, реализация называется стационарной Реализация эргодического процесса всегда стационарна. С другой стороны, реализации физически важных нестационарных процессов не обладают свойством стационарности. Следовательно, если предположение об эргодичности оправдано, то подтверждение свойства стационарности одной реализации может служить достаточным основанием для допущения стационарности и эргодичности случайного процесса, к которому принадлежит данная реализация.

1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов Рассмотрим вновь случайный процесс, реализации которого изображены на рисунке 16. Зафиксируем значение временного аргумента.

При фиксированном аргументе случайный процесс превращается в случайную величину и носит название сечения случайного процесса. Для приближенного описания случайного процесса зададим его в равноотстоящие (через интервал) момента времени, то есть получим сечения t1, t2, t3 и т. д. Устремим t к нулю, число сечений N при этом устремляется к бесконечности.

Сигнал (процесс) превращается в систему бесконечного числа случайных величин {X(t1), X(t2), ….,X(tN)}.

Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является совместный закон распределения, заданный в той или иной форме, например, в дифференциальной: fN{X(t1), X(t2), …,X(tN)}. Таким образом, для случайного процесса исчерпывающей характеристикой является бесконечномерная плотность распределения сечений. Для удобства в дальнейшем станем записывать ее в следующей форме: fN (x1, t1, x2, t2,.., xN, tN…..).

И теперь вернемся к определению стационарности или не стационарности сигнала и зададим его несколько строже, нежели это было выполнено ранее.

В зависимости от поведения плотности распределения при прибавлении к каждому временному аргументу одной и той же величины, различают нестационарные процессы, слабо стационарные и стационарные в узком смысле.

Если при прибавлении к каждому временному аргументу одной и величины бесконечномерная плотность вероятности не изменяется, то сигнал (процесс) называется стационарным в узком смысле (см. определение выше), а в противном случае процесс таковым не является (т.е. это – либо процесс, стационарный лишь в широком смысле, либо вовсе нестационарный процесс).

То есть условие стационарности (в узком смысле) может быть записано следующим образом:

f (x1,t + u; x2,t2 + u;..., xm,tm + u;...) = f (x1,t1; x2,t2;..., xm,tm;...). (1.62) Выберем t1+u=0, тогда u= - t1: выражение для плотности приобретает вид:

f (x1,0; x2,t2 - t1;..., xm,tm;...).

Для двумерной плотности распределения соблюдается соотношение f2 (x1,0; x2,t2 - t1) = f2 (x1,t1; x2,t2 ). (1.63) То есть плотность вероятности зависит не от времени, а от временного сдвига между сечениями, а одномерная плотность распределения вообще не зависит от какого – либо временного аргумента:

f1(x1,t1) = f1(x1,0). (1.64) Вместо плотностей вероятностей для описания случайных процессов можно использовать и характеристические функции, представляющие собой преобразования Фурье от соответствующих плотностей распределения. Так, например, N–мерная характеристическая функция определяется соотношением:

n (u1,u2,...,uN ;t1,t2,...tN ) =...exp( j(u1x1 + u2 x2 +... + uN xN * -- * f (x1,t1;...; xN,tN )dx1dx2...dxN = M[exp( ju1x1 + ju2 x2 +... + juN xN )]. (1.65) Отметим, что для независимых случайных величин характеристическая функция системы равна произведению характеристических функций величин, составляющих систему.

Иногда вместо плотностей вероятностей используют интегральные законы распределения – функции распределения. Одномерная функция распределения определяет относительную долю значений xi(t),I=1,2,3,…., которые меньше некоторой величины Xi:

x F1(x1,t1) = f (u,t1)du. (1.66) Очевидно, что для значений X1, в которых функция F(X1, t1) дифференцируема, справедливо равенство F1(x1,t1) f1(x1,t) =. (1.67) xДвумерная функция распределения определяется соотношением F2 (x1,t1, x2,t2 ) = f (u1,t1,u2,t2 )du1du2, (1.68) -откуда следует, что 2F2 (x1,t1, x2,t2 ) f2 (x1,t1, x2,t2 ) =, (1.69) x1xгде функция F2, приведенная в выражении, есть двумерная функция распределения.

1.2.5 Приближенное описание случайных процессов Как уже говорилось выше, для полного описания случайного процесса требуется полный набор его реализаций и математическое (в смысле определения вероятностей законов распределения возможных значений процесса) описание его свойств.

Для решения такой задачи в теории стохастических сигналов используется уже известный прием применения характеристик, которые на практике называют моментными или, попросту, начальными или центральными моментами сигнала {X(t)} или совокупности сигналов{X(t)}и {Y(t)}.

Начальным моментом порядка К случайного процесса {X(t)} называется такая функция времени, которая в каждый момент времени t, равна математическому ожиданию К-й степени самого сигнала:

k k k (t) = M[X (t)] = X (t) f (x,t)dx. (1.70) Для определения любого момента к достаточно знать одномерную функцию плотности распределения вероятностей:

1(t) = M[X (t)] = X (t) f (x,t)dx. (1.71) Это и есть математическое ожидание (или среднее значение) процесса.

Как уже говорилось выше, практически любой (и особенно стационарный по математическому ожиданию) процесс можно представить себе как аддитивную смесь постоянной (или медленно изменяющейся по среднему значению) мультипликативной составляющей.

Моменты, определяемые для центрированного сигнала, носят название центральных.

Центральный момент s-го порядка – это такая функция времени, которая в каждый момент времени равна математическому ожиданию s-ой степени составляющего центрированного сигнала:

s s 0 µs (t) = M[X (t)] = x (t) f (x,t)dx. (1.72) Моменты 0-го и 1-го порядка неинформативны, так как µ0 (t) = 1; µ1(t) = 0.

Основное применение получил второй центральный момент:

µ2 (t) = M (t) = Dx (t). (1.73) X Это – дисперсия сигнала, которая характеризует степень разбросанности отдельных реализаций относительно математического ожидания.

Ту же информацию о процессе {X(t)} дает и среднеквадратическое отклонение, численно равное квадратному корню из дисперсии и имеющее размерность самого сигнала.

Для описания случайных процессов используют также смешанные моменты.

Смешанным начальным моментом порядка (k+s) случайного сигнала {X(t)} называется такая функция двух временных аргументов t1 и t2, которая при фиксированных значениях этих аргументов численно равна математическому ожиданию произведения k-й и s-й степеней соответствующих сечений сигнала:

k s dk,s (t1,t2 ) = M[X (t1)X (t2 )]. (1.74) Центральный смешанный момент порядка (k+s) определяется выражением вида:

k s 0 µk,s (t1,t2 ) = M (t1) X (t2 ). (1.75) X Для приближенного описания свойств случайного процесса наиболее широкое применение получил центральный смешанный момент порядка (1+1):

X µ1,1(t1,t2 ) = M (t1) X (t2 ) = Rx (t1,t2 ) (1.76) – математическое ожидание произведения двух сечений центрированного сигнала. Это уже упоминавшаяся автокорреляционная функция сигнала {Х(t)} (авто – т.е. характеризуется корреляция, или взаимосвязь двух сечений одного и того же процесса).

1. Таким образом, для приближенного описания свойств сигнала используют математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.

Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для этого рассмотрим ее собственные свойства.

АКФ обладает свойством симметричности относительно своих аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных аргументов местами:

Rx (t1,t2 ) = Rx (t2,t1). (1.77) 2. По величине АКФ не может превышать произведения среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:

Rx (t1,t2 ) (t1) (t2 ). (1.78) x x 3. При совпадении временных аргументов АКФ превращается в дисперсию:

Rx (t,t) = M (t) = Dx (t). (1.79) X То есть набор характеристик, необходимых для приближенного описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: mx и Rx(t).

Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t1=t2=t:

Rx (t,t) (t), то есть Rx (t,t) Dx (t). (1.80) x Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах, и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.

На практике часто используют нормированную автокорреляционную функцию, под которой понимают функцию вида:

X M (t1) X (t2 ) Rx (t1,t2 ) x (t1,t2 ) = =. (1.81) (t1) (t2 ) (t1) (t2 ) x x x x Нормированная АКФ – величина безразмерная. По определению нормированная АКФ – это коэффициент корреляции между двумя сечениями случайного процесса.

Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при переходе к нормированной функции:

1) x (t1,t2 ) = x (t2,t1);

2) x (t1,t2 ) 1;

3) при равенстве временных аргументтов:

t1 = t2 = t, x (t,t) = 1.

Выясним, как будет вести себя px(t1,t2) при изменении интервала времени между сечениями t1 - t2 = от нуля до бесконечности.

Рисунок 17 – Реализация случайного процесса (к вопросу о поведении нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между сечениями) Таким образом, выясняется четвертое свойство АКФ:

lim Rx (t1,t2 ) = 0. (1.82) t1-tЕсли рассматривать АКФ как функцию интервала времени между сечениями, то эта функция, при стремящемся к бесконечности аргументе, будет стремиться к нулю:

lim x (t1,t2 ) = 0, (1.83) то есть взаимосвязь между сечениями будет ослабевать и даже теряться (в соответствии с рисунком 17).

Математическое описание системы двух случайных сигналов Пусть имеем два случайных сигнала {X(t)} и {Y(t)}, каждый из которых можно представить в виде совокупности их сечений. Для точного их описания их следует представлять бесконечным числом случайных величин.

Рисунок 18 – Возможные изменения нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между реализациями Если совместная плотность распределения всех сечений этих сигналов не изменяются при прибавлении ко всем временным аргументам одной и той же величины, то эти сигналы называются стационарными и стационарносвязанными.

Рассмотрим приближенное описание свойств системы двух сигналов.

Для этого будем использовать моментные характеристики.

Для каждого из сигналов указывают его математическое ожидание и АКФ:

mx(t), my(t); Rx(t1, t2), Ry(t1, t2).

Кроме этих характеристик вводится еще одна: взаимная корреляционная функция Rxy(t1, t2) (ВКФ).

Взаимной корреляционной функцией между двумя сигналами {X(t)} и {Y(t)} называется такая функция времени, которая при фиксированных значениях временных аргументах равна математическому ожиданию произведения соответствующих сечений этих сигналов:

(Y Rx, y (t1,t2 ) = M t1) X (t2 ). (1.84) Иногда вместо этой функции используют нормированную ВКФ:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.