WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |

Критерий максимальной энтропии показывает наименьшее число ^ ограничений на модель исследуемого процесса, хотя оценка S () СПМ x оказывается принципиально смещенной. Если закон распределения случайного процесса предположить нормальным, то энтропия на один отсчет определяется соотношением t H = S()d. (5.31) n ln t Спектральная плотность Sx () определяется отысканием глобального максимума функции, заданной выражением (5.31).

Если известно (р+1) значений АКФ, то на n – м отсчете Rx (n) определяется выражением t Rx (n) = (5.32) S() exp( jnt)d.

t Решение относительно S() находится методом множителей t S() =, (5.33) p 1+ (- jt) a pk k =где {a, a,...} - параметры устройства предсказания р – го порядка.

p1 pВыражение для оценки СПМ может быть записано и другим образом:

€ S() = (n)exp(- jnt), (5.34) rx n=R (n), n p x где rx (n) = (5.35) - rx (n - k), n > p a pk Как видно из (5.34) и (5.35), спектральная оценка сохраняет известные значения АКФ и рекурсивно продолжает их за пределами окна. Т.е. спектр в данном случае не имеет боковых лепестков, обусловленных конечным значением ширины окна.

Параметры АР – модели могут оцениваться различными способами: по имеющейся оценке АКФ (в этом случае оценки АКФ подставляются в уравнение Юла – Уокера вместо значений корреляционной функции) или по отсчетам данных (при этом обычно используют оценку по максимуму правдоподобия ССМП). Однако, в обоих случаях точность оценки СПМ невелика (особенно в случаях коротких записях данных) и во многом зависит от наличия априорной информации о процессе. Как уже указывалось выше, проведение метрологического анализа АР – оценок весьма затруднено самим процессом получения их из временного ряда и коэффициентов авторегрессии. К числу других значительных недостатков авторегрессионого СА следует отнести необходимость определения порядка модели, возможное расщепление спектральных линий /5/, искажение спектра из –за неявного взвешивания, невысокое разрешение.

Спектральные оценки на основе СС – моделей синтезируются следующим образом.

Как указывалось выше, процесс скользящего среднего (5.24) представляет собой случайный процесс на выходе фильтра, передаточная функция которого содержит одни нули, а на вход подается белый шум {nn} Спектральные оценки на основе СС - моделей синтезируются следующим образом.

Как указывалось выше, процесс скользящего среднего (5.24) представляет собой случайный процесс на выходе фильтра, передаточная функция которого содержит одни нули, а на вход подаются белый шум {nn} q X = nn-n bl=математическое ожидание, которого равно нулю, а дисперсия M[nn+1nn]= 1, где 1 =1, при l=1 и =0 во всех остальных случаях.

Автокорреляционная функция СС- порядка q определяется соотношением q - k b b1+ k,....k = 0.q Rx(k) =. (5.36) l = 0,k > q Если известны (q+1) значений АКФ, то параметры СС-процесса можно определить методом моментов, но для спектрального анализа это не является необходимым, так как вполне достаточно определить АКФ, так как на основании теоремы Винера – Хинчина q S() = (m)exp(- jmt). (5.37) Rx m=-q Из (5.37) видно, что эта спектральная оценка идентична оценке по методу Блэкмана-Тьюки /2/.

В данном случае метод моментов для оценки параметров СС- процесса применять невозможно. Если же для отыскания параметров использовать метод наименьших квадратов, то она будут соответствовать оценке АКФ, так как с помощью (5.36) задается однозначное преобразование.

Параметры СС – процесса удобно рассматривать как промежуточный этап оцениванию спектра. Но такой подход не используется, так как оценка СС – параметров в сильной степени нелинейна.

Более того, даже в случае узкополосных спектров представляется необходимым оценивать слишком большое количество коэффициентов для моделирования СС- процесса, это приводит ухудшению спектральных оценок. К числу недостатков этого метода следует отнести низкое разрешение по частоте, необходимость определять порядок модели (что само по себе представляет довольно трудную задачу), а также присутствие боковых лепестков, что в значительной степени снижает любые достоинства его о сравнению с традиционными методами.

Несколько лучшие результаты дает оценивание на основе авто регрессии и скользящего среднего. Рассмотрим этот метод.

В АРСС – модели предполагается, что временной ряд {X } можно n рассматривать как процесс на выходе фильтра с р полюсами и q нулями, на вход которого подается белый шум с нулевым средним и дисперсией 2.

q p X = nn-k - X. (5.38) n b1 ak n-k k =0 k =Если параметры АРСС (p,q) – модели определены, то q 2t1+ 1 bk exp(- jkt) k = S() = H[exp( jt] S() =. (5.39) p 1+ ak exp(- jkt) k = Соотношение между АРСС – параметрами и АКФ определяется выражением q p Rx(m) = bk Rnx(m - k) - ak Rnx(m - k), (5.40) k = 0 k = где: Rxn(k) = M[nn Xn-k] – взаимнокорреляционная функция процессов {n} и {X} или p q bk Rnx (l - k),.......l = 0, q - Rxn (l - k) + ;

ak k =k = Rxn (l) = (5.41) p - ak Rxn (l - k),......l = q +1,.

k =Уравнения (5.41) аналогичны уравнениям Юла-Уоркера. Основную трудность при рассматриваемом методе анализа составляет определение АРСС-параметров, которое требует очень большого количества вычислительных процедур и поэтому накладывает большие ограничения на обработку в реальном масштабе времени. Для уменьшения вычислительной нагрузки в настоящее время разработаны субоптимальные методы /1/, в которых используется среднеквадратический критерий, и решаются линейные уравнения. Недостаток указанных методов заключается в том, что они обеспечивают только раздельную оценку АР – и СС – параметров.

Кроме того, при их использовании необходимо определять порядок АР – и СС – частей процесса, что является само по себе серьезной и трудной задачей.

Следующим методом, подлежащим рассмотрению, является метод гармонического разложения Писаренко.

Основная идея этого метода состоит в моделировании случайного сигнала, состоящего из синусоид и белого шума, как частного случая АРССпроцесса.

Детерминированная часть сигнала, состоящая из р синусоид описывается разностным уравнением 2-го порядка с вещественными коэффициентами 2 p Xn = am Xn-m (5.42) m=Аддитивная смесь процесса (5.42) с белым шумом описывается выражением 2 p yn = Xn + n = - am yn - m, m = (5.43) M[nn + k ] = 2,.......M[n] = 0, k т.е. белый шум не коррелирован с синусоидами.

Но X = yn-m -n-m, следовательно n-m 2 p 2 p amyn - m = amn - m (5.44) m = 0 m = или в матричной форме /5/ T T Y A = W A, (5.45) где T Y = [yn yn-1....yn-2 p ], AT = [1a1....a2 p-1a2 p ], T W = [nn-1....n-2 p ].

Уравнение процесса при этом запишется в виде Ry A = A (5.46) Ry (0)....Ry (-2 p) Ry =.

............................

Ry (2 p)....Rx (0) Дисперсия 2 – собственное значение автокорреляционной матрицы, а вектор АРСС – параметров А – собственный вектор, про масштабированный так, чтобы первый элемент соответствующей ему матрицы был равен 1.

Уравнение (5.46) представляет собой основу гармонического разложения Писаренко.

При использовании рассматриваемого метода необходимо знать число синусоид и параметры модели (либо значения АКФ). Если же число синусоид неизвестно, то их количество следует определять при помощи нелинейных процедур (S). Следует отметить, что в настоящее время не существует рекурсивных методов решения уравнения (5.46), что приводит к значительным вычислительным затратам при технической реализации метода гармонического разложения. Кроме того, получаемые спектральные оценки очень чувствительны к шумам и обладают плохим разрешением. В обобщенном методе Прони модель случайного процесса представляет собой набор экспонент с произвольными амплитудами, фазами и коэффициентами затухания. Функция дискретного времени p €n X = bmznm (5.47) m = аппроксимирует измеренные значения X0, X1,…….Xn-1. В выражении (5.47) bm = Am exp( jm);

(5.48) zm = exp(m + jmt), где Am – амплитуда, ь- коэффициент затухания, m – частота, t - интервал дискретизации.

Определение параметров {Am,m,m, t} и р имитирующих ошибку N -€ = xn - xn (5.49) n=представляет собой сложную нелинейную задачу. Существует и субоптимальное решение, которое не обеспечивает минимума (5.49), но все же дает удовлетворительные результаты. Это решение основано на методе Прони, где на промежуточном этапе проводится отыскание корней полинома (что устраняет проблему нелинейности), а затем определяются необходимые коэффициенты.

Этот полином p p p -1,a = (z) = (z - zk ) = aiz (5.50) k = 1 i = состоит из р экспонент, определяемых выражением (5.48). которые используются в качестве его корней и коэффициентов. Путем преобразований выражения (5.50) с учетом (5.47) получаем рекурсивное разностное уравнение p € € xn = - xn-m, (5.51) am m=сходное с аналогичным, используемым в методе гармонического разложения Писаренко. Если еn - ошибка аппроксимации, то € xn =xn+en (5.52) и (5.51) примет вид p p p € € xn = - xn-m + en = - en-m + ln-m (5.53) am am am m=1 m=1 m=То есть, моделью суммы экспонент и аддитивного шума является АРСС – модель с одинаковыми АР и СС – параметрами, возбуждаемая шумом. Задача определения этих параметров остается такой же.

Для процесса, определяемого суммой р вещественных синусоид и шума (=0), справедливо соотношение p p n * € xn = zm + bm zm ] = Am cos(nnt +m ), (5.54) [bm m=1 m=Am exp( jm ) где bm = ;....Zm = exp( jmt), Zm – корни единичного модуля с частотами в виде комплексно – m сопряженных пар, которые появляются до тех пор, пока fm = 0 или.

2 2t Таким образом, необходимо решить уравнение (5.50) для нахождения корней полинома p 2 p * (z) = - zi )(z - zi ) = z2 p-k, (5.55) (z ak i=1 k =Спектр сигнала представляется набором –функций, то есть zi =1 и затухающих экспонент.

По сравнению с гармоническим разложением Писаренко метод Прони обладает некоторыми преимуществами:

1) не требуется знать оценки АКФ;

2) ложных спектральных линий меньше;

3) смещение оценок частоты и мощности меньше, чем при разложении Писаренко.

Но тем не менее, оценивание СПМ по этому методу носит резко не линейный характер, коэффициенты процесса определяются через корни полинома методом наименьших квадратов, необходимо определить порядок модели, а зависимость от уровня помех высока /5/.

Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона (ММП) осуществляется измерением мощности на выходе узкополосных фильтров /2/.

Различие между ММП и методом Блэкмана – Тьюки заключается в том, что форма частотной характеристики при ММП для каждой частоты различна, в то время как в методе Блэкмана – Тьюки она остается неизменной.

Фильтры, реализующие алгоритмы спектрального оценивания по ММП, относятся к фильтрам с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и имеют р весовых коэффициентов A = [a0,a1,...an-1]. (5.56) Коэффициенты фильтра выбираются так, чтобы на частоте анализа его реакция ровнялась бы единице, а дисперсия была минимальна.

То есть необходимо минимизировать дисперсию выходного процесса AH Rx A (5.57) при единичной отклике фильтра на частоте 0 (то есть синусоида с частотой 0 проходит через фильтр без искажений) EН A = 1, (5.58) где Rx - ковариационная матрица X, E - вектор, определяемый n соотношением E = [1 exp( j0t)...exp[ j( p -1)0t]], T 1 S() = Lim M x(t)exp(- jt)dt, (5.61) T 2T 2 T где Т – интервал наблюдения, – частота анализа S() = R( )exp(- j)d (5.62) t - как основ для получения спектральных оценок. Для устранения статистической несостоятельности в указанных оценках используется метод, предложенный Барлеттом и Тьюки /4/, который предлагает проведение дополнительного сглаживания спектральных оценок вида € S() = M A() (5.63) 2 T T € € S() = R( )cos( )d (5.64) на ограниченных временных (частотных) отрезках при аналоговом оценивании или ограниченных выборках временных последовательностей при синтезе дискретных оценок СПМ.

В цифровой форме оценки (5.63) и (5.64) принимают вид соответственно N - 1 N - t S€( ) = x ( i t ) x ( k t ) exp[ - j ( i - k ) t ], (5.65) N i = 0 k = - t 2 N € € S() = R(kt)cos(kt) - R(0). (5.66) k = Согласно принятой классификации традиционные методы спектрального оценивания могут быть охарактеризованы следующим образом:

- оценки СПМ могут быть как аналоговыми, так и цифровыми;

- оценки строятся по реализации исследуемого процесса без предварительного его моделирования;

- оценки линейны относительно своих параметров;

- спектральные оценки получаются на ограниченных интервалах времени;

- оценивание СПМ может производиться как по имеющейся оценке АКФ процесса, так и непосредственно по его реализации.

Упомянутая выше процедура дополнительного сглаживания оценки /4/ эквивалентна умножению в преобразовании Фурье на некоторую весовую функцию – спектрального g() или корреляционного h( ) окна.

Приведенная характеристика оценок СПМ, получаемых традиционными методами, будет в дальнейшем продолжена путем рассмотрения метрологических характеристик спектральных оценок, получаемых с помощью разного вида окон. Для обеспечения единства подхода в качестве критерия отличия получаемых оценок от истинностных значений СПМ, с помощью которого будут сравниваться различные оценки СПМ, станем использовать один и тот же среднеквадратический критерий € € () = M {S() - S()} = 2cv + D[S()]= min. (5.67) Относительная среднеквадратическая погрешность при этом определяется следующим образом € 2cv D[S()].

() = + (5.68) 2 S () S () С учетом дополнительного сглаживания (использования корреляционных окон) соотношения (5.65) и (5.66) примут вид соответственно:

€ € S() = h( ) R( )cos( )d, (5.69) N -t € € € S() = (5.70) h(kt) R(kt)cos(kt) - h(0)R(0).

k =При этом оценки с верху относительной дисперсии оценки СПМ и относительной ошибки от смещенности будут определяться соотношениями вида € D[S()] (5.71) 2 h(0)d, S () T 1 € = M[S() - S()]. (5.72) [h( ) -1]R( )cos( )d cv S() Погрешности оценивания, как видно из (5.71) и (5.72), определяются видом весовой функции h( ) (корреляционного окна).

К настоящему времени предложено много различных корреляционных окон, среди которых наибольшее распространение получили окна: Пугачева – Даниэля, Бартлетта, Хемминга, Тьюки, Парзена /4/.

Приведем краткий сравнительный анализ спектральных оценок с использованием перечисленных окон.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.