WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 18 |

Из приведенных соотношений видно, что задача аппроксимации спектральной плотности Sx () процесса X(t) функцией S () по минимуму м квадратической погрешности сводится к задаче аппроксимации корреляционной функции Rx ( ) этого же процесса функцией j Rм ( ) = S () exp d также по минимуму квадратической погрешности. Но м решение этой задачи уже подробно рассмотрено. На практике во многих случаях возникает необходимость в выявлении специфических свойств спектра анализируемого сигнала. Это может быть задача выявления экстремальных значений спектральной плотности и частот соответствующих им, сюда же можно отнести задачу определения эффективной ширины спектра мощности и др. Причем эти задачи должны решаться в условиях отсутствия информации о свойствах спектра. В этих случаях аппроксимативный способ оценки спектральной плотности может потребовать слишком сложных моделей, а следовательно, вызовет и большие трудности при технической реализации.

Для более эффективного решения поставленных задач целесообразно применять специальные способы оценки спектральных характеристик.

Для примера рассмотрим способы решения трех поставленных задач.

Пусть необходимо выявить экстремумы спектральной плотности мощности Sx (), идентифицировать минимумы и максимумы и определить их конкретные значения и те частоты, которые им соответствуют.

Условие экстремума Sx () является Sx () = 0. (5.5) Из решения этого уравнения могут быть найдены частоты, соответствующие экстремуму. Для идентификации экстремумов необходимо 2Sx () знание знака второй производной.

Для того, чтобы определить величины экстремумов, необходимо вычислить значения спектральной плотности при частотах, удовлетворяющих условию (5.5).

Итак, для решения поставленной задачи необходимо иметь три характеристики – спектральную плотность и две ее первые производные.

Способы оценки этих характеристик могут быть получены из соотношения (5.1), которое для удобств перепишем в виде S () = Rx ( ) cos( )d. (5.6) x Из выражения (5.6) находим S () x = - sin( )Rx ( )d, (5.7) S () x = - cos( )Rx ( )d. (5.8) o o Сделав в выражениях (5.6) – (5.8) замену Rx ( ) = M[X (t) X (t - )] и затем € перейдя от оператора M[.] к оператору M[.], получим следующие оценки характеристик:

o o € € Sx () = M[X (t) cos( ) X (t - )d ];

€ o Sx () € o = M[X (t) sin( ) X (t - )d ];. (5.9) € o 2Sx () € o 1 = M[X (t) cos( ) X (t - )d ].

2 Соотношения (5.9) дают алгоритм построения аппаратуры, блок – схема которой приведена на рисунке 39.

Как видно из рисунка, аппаратура состоит из трех идентичных по структуре каналов, каждый из которых включает в себя фильтр с регулируемым параметром, множительное устройство (МУ) и блок усреднения (БУ). При этом импульсные характеристики фильтров, стоящих в соответствующих каналах, должны быть равны:

h0 ( ) = cos h1( ) = - sin. (5.10) h2 ( ) = - cos Эти импульсные характеристики не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, технически нереализуемы соответствующие им фильтры. Отсюда следует вывод, что не может быть решена задача получения несмещенных оценок спектральной плотности мощности и ее производных.

o X (t) € h0 ( ) МУ БУ Sx () € h0 ( ) МУ БУ Sx () [ ] € h0 ( ) МУ БУ 2Sx () [ ] Рисунок 40 – Блок-схема аппаратуры для оценки спектральных характеристик Для обеспечения возможности технического решения задач и получения сколь угодно малых погрешностей от смещенности оценок поступим так же, как и при оценке моментов корреляционной функции, т.е.

будем реализовывать фильтры с импульсными характеристиками вида h0 ( ) = cosH ( ) h1( ) = - sin H ( ).

h2 ( ) = - cosH ( ) Здесь функция H ( ), как и ранее, определяется соотношением (4.40).

С помощью аппаратуры, блок – схема которой представлена на рисунке 39, поставленная задача решается следующим образом. На вход аппаратуры подается анализируемый случайный процесс, а параметр фильтров, стоящих в разных каналах, изменяются от минимального значения до максимального.

В моменты, соответствующие равенству нули оценки первой производной спектральной плотности, фиксируется оценка спектральной плотности, знака второй производной и величина параметра фильтров.

Аналогичным образом может быть получен и способ оценки эквивалентной ширины спектра мощности процесса:

x s =, (5.11) 2Sxm где Sxm - максимальное значение спектральной плотности.

Как видно из выражения (5.11), для оценки эквивалентной ширины спектра должны быть предварительно определены дисперсия процесса и x максимальное значение спектральной плотности. Способы оценки дисперсии рассмотрены выше, а для оценки величины S может быть применен только, что рассмотренный способ. Аналогичные же подходы могут быть использованы и для оценки других спектральных характеристик.

Рассмотрим оценивание спектральной плотности мощности методом фильтрации.

Допустим, имеем стационарный случайный процесс и необходимо определить его спектральную плотность при частоте = 0.

Sx (0 ) = Sx () ( - 0 )d, (5.12) - четная функция, и тогда СПМ может быть определена при (t) помощи структуры, изображенной на рисунке 40.

Схема включает в себя два блока – фильтр с частотной характеристикой W(j) и устройство измерения дисперсии (УИД).

o X (t) €y Y(t) D W(j) УИД Рисунок 41 – Схема устройства для оценивания спектральной плотности мощности по методу фильтрации Определим дисперсию выходного сигнала фильтра Y(t):

Dy = S ()d = W ( j) Sx ()d. (5.13) y - Необходимо, чтобы Dy равнялась значению спектральной плотности на частоте 0 Sx (0 ), для этого нужно, чтобы выполнялось условие W ( j) = ( - 0 ).

Это и есть идея метода фильтрации. Рассмотрим, что должен представлять собой такой фильтр.

На рисунке 41 показан график зависимости квадрата модуля частотной характеристики фильтра от частоты.

Такой идеальный фильтр технически реализовать не представляется возможным, и вместо идеального фильтра с частотной характеристикой W(j) используем реальный, с частотной характеристикой Wр(j), но тогда оценка будет принципиально меньше, чем уже полоса пропускания ф = C ; ф 0 ; 0; = C1ф.

CM CM CM ( - 0 ) = W ( j) Рисунок 42– График амплитудно – частотной характеристики фильтра для оценки СПМ по методу фильтрации Статистическая методическая погрешность оценки спектральной плотности мощности будет определяться такой же погрешностью оценки дисперсии:

= (Dy ).

CT CT Было показано, что статистическая методическая погрешность CT ky оценки Dy пропорциональна отношению, т.е.

T ky = (Dy ) = C.

CT CT T const С другой стороны, cy = const, =.

ky ky cy Так как фильтр узкополосный, то const =, тогда = C2, ky CT ф ФT где Т – постоянная времени фильтра.

Чем больше Т, тем меньше методическая статистическая погрешность. При уменьшении полосы пропускания ф уменьшается погрешность от смещенности, но увеличивается статистическая методическая погрешность. Поэтому для выбора характеристик фильтра лучше использовать среднеквадратическую погрешность ф 2 2 = + = C12 + C2. (5.14) кв CM CT c фT Т.е. существует некоторая оптимальная полоса пропускания ф, значение которой можно выбирать, исходя из заданной квадратической погрешности, а значение Т определяют исходя из заданной погрешности от смещенности.

Другим способом оценки спектральной плотности мощности является так называемый косвенный способ (по имеющейся оценке автокорреляционной функции) или метод Блекмана-Тьюки.

€ Пусть имеем оценку автокорреляционной функции Rx ( ), требуется € получить оценку спектральной плотности Sx ().

Можно записать 1 S () = Rx ( ) cosd = Rx ( ) cosd. (5.15) x - € Оценку Rx ( ) получаем как последовательность отсчетов € € € Rx (0), Rx (),..., Rx ((N -1)), т.е. имеется принципиально конечное число отсчетов оценки АКФ. Интеграл приближенно можно переписать N - Sx () Rx (m) cos m. (5.16) m=€ Сделав замену Rx (m) на Rx (m), получаем:

N -^ € S ( ) Rx (m) cos m x, или точнее m=N - € € € Sx () {2 (m)cosm - R0}. (5.17) Rx m=Тогда оценка спектральной плотности мощности примет вид:

N - € € € Sx () {2 (m)cosm - R0}, (5.18) h(m)Rx m=где h(m) определяют, исходя из обеспечения минимума среднеквадратической погрешности € = M[{S() - S()}2 ] = min Следующим подходом к получению эффективных оценок спектральной плотности мощности является аппроксимативный способ.

Априорно выбирается та или иная модель СПМ.

SM () = SM (0, 1,...,,).

N Выбирается тот или иной критерий адекватности: моментов, производных или квадратический.

Рассмотрим последний из них:

= () - SM ()]2 d ;

M [S M S ()SX ()d = RM ( ) cosSX ()dd = - - 1 RM ( )[ ()cosd]d = X M S R ( )RX ( )d ;

2 - - 1 = RM ( )d - RM ( )RX ( )d + - 1 RX ( )d = [ RM ( ) - RX ( )]2 d. (5.19) 2 - Если здесь ввести погрешность аппроксимации автокорреляционной функции, тогда шаг дискретизации определиться соотношением =.

При построении модели необходимо выбрать базис (лучше ортогональный), причем необходимо отдавать себе отчет в том, что с какого типа сигналом мы имеем дело: с широкополосным (с монотонной АКФ) или узкополосным (с колебательной АКФ).

5.1 Современные методы оценивания спектральной плотности мощности Все методы получения оценок СПМ, которые будут рассматриваться в данном разделе, относятся к цифровым методам спектрального оценивания на неограниченных выборках временных последовательностей. Оценки СПМ, получаемые на авторегрессионых (АР) моделей со скользящим средним (СС) и АРСС – моделей, нелинейных относительно параметров модели, вычисляемых в ходе спектрального анализа, в силу чего перечисленные модели обладают всеми недостатками, присущими нелинейным методам получения оценок вероятностных характеристик (в частности, очень затруднительным представляется определение метрологических свойств оценок и, естественно, сравнение этих оценок по точностным критериям со всеми другими оценками).

Основное преимущество этих методов перед традиционными заключается в том, что последние используют значения АКФ или реализации процесса (в случае метода периодограмм Шустера) лишь на ограниченной выборке временной последовательности, а это ведет к образованию боковых лепестков в спектральных оценках, возникновению ложных максимумов в спектральных оценках, эффекту «маскировки» или слабых сигналов, в то время как у методов, использующих моделирование входного временного ряда, этот недостаток отсутствует. Но с другой стороны, применение этих методов требует довольно большой априорной информации о процессе, которую получить удается не всегда.

Спектральный анализ с использованием методов с моделированием входного рода разбивается на три этапа /5/:

1) выбор модели временного ряда;

2) оценивание параметров модели;

3) получение оценки СПМ подстановкой оценок параметров модели в расчетное выражение для спектральной оценки.

Кроме того, задача спектрального оценивания в случае применения моделей входных последовательностей осложняется необходимостью выбирать порядок модели.

Наиболее часто в спектральном анализе используются следующие нетрадиционные методы /5/:

- АР – моделирование;

- СС – моделирование;

- АРСС – моделирование;

- метод максимальной энтропии;

- метод гармонического разложения Писаренко;

- метод максимального правдоподобия Кейпона;

- анализ с комбинированным временным и корреляционным взвешиванием;

- анализ со взвешенным средним с пересекающимися сегментами.

Рассмотрим подробнее метод СА, основанный на АР – моделировании входной последовательности.

Пусть входная {Un} и выходная последовательность связаны выражением q p X = U - X. (5.20) n bl n-l an n-k l=0 k =Как видно из (5.20), это – общая авторегрессионая модель со скользящим средним (АРСС - модель). Ей соответствует системная функция B(z) H (z) =. (5.21) A(z) z-преобразования АР- и СС-частей процесса задаются следующим образом:

p A(z) = z-m;

am m= (5.22) q -m B(z) = z.

am m=Пусть входной процесс – белый шум с СПМ.

S() = t, тогда спектральная плотность выходного сигнала B{exp( jt)} € S() = t. (5.23) A{exp( jt)} Как видно из (5.23) для того, чтобы оценить СПМ сигнала {Xn} необходимо определить значения коэффициентов авторегрессии {к} к нулю и положить 0=1 и b0=1, то процесс (5.20) сводится к СС – процессу порядка q:

q X = U, (5.24) n bl n-l l =СПМ которого определяется выражением € S() = t A{exp( jt)}. (5.25) (5.20) можно свести к АР – процессу порядка р, устремив к нулю все коэффициенты {bк} в этом случае соотношение примет вид p X = - X + U, (5.26) n an n-k n k =его спектральная плотность:

t € S() =. (5.27) B{exp( jt)} Оценивание АР –коэффициентов связано с решением линейных уравнений и в этом заключается основное преимущество АР – моделей по сравнению с СС – и АРСС – моделями.

В этом случае (5.27) можно представить в виде t € S() =. (5.28) p 1+ (- jt) ak k =При вычислении оценки СПМ необходимо определить соотношение между параметрами модели и АКФ, которая может оцениваться или являться неизвестной. Эти соотношения задают уравнения Юла – Уокера /5/, которые могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

aRx (0), Rx (-1)...Rx[(- p -1)] Rx (1) a R (1), Rx (0)...Rx[(- p -1)] R (2) x x =. (5.29).

..........................................

( p - 1), Rx ( p - 2)...Rx (0) p Rx ( p) Rx a При помощи (5.29) определяются коэффициенты авторегрессии. Для нахождения дисперсии систему (5.29) необходимо преобразовать Rx (0), Rx (-1)...Rx[(- p)] x R (1), Rx (0)...Rx[(- p - 1)] x a2 =. (5.30).

.

.......................................

( p), Rx ( p - 1)...Rx (0) p Rx a Система (5.30) решается с использованием алгоритмов Левинсона – Дербина и Берба и их модификаций.

Спектральное оценивание по методу максимальной энтропии основано на экстраполяции интервала значений корреляционной функции на значение аргумента, где ее вид неизвестен. Действуя таким образом, можно добиться исчезновения размытия оценки СПМ из –за усеченности оценки АКФ. При известных значениях корреляционной функции на сегменте [0, p] обеспечивается положительная полуопределенность ее в точках вне пределов этого сегмента {Rx ( p + 1), Rx ( p + 2),...}, т.е. осуществляется некоторая экстраполяция АКФ. Способов проведения экстраполяции много и, в частности, существует и такой, при котором временной ряд имеет максимальную энтропию и, соответственно, наиболее плоский спектр.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.