WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 18 |

Способы оценки моментов корреляционной функции основаны на соотношении (4.30). Так, если в выражение (4.30) корреляционную функцию Rx ( ) заменить на ее оценку R ( ), получим x €k k € = Rx ( )d. (4.32) Используя соотношение (4.32), можно получить несколько способов оценки момента. Среди них наиболее эффективным является следующий:

k пусть в качестве оценки корреляционной функции используется модель, представляющая собой ряд по системе ортогональных функций вида (4.12) N € € Rx ( ) = RM ( ) = ( ).

k k k =Подставляя это значение оценки в выражение (4.32), будем иметь N N €k € k = (4.33) m m m ( )d = € Am, m=0 m= k где Am = ( )d - величина, зависящая от выбора системы m €k ортогональных функций. Оценка величины по соотношению (4.33) требует знания параметров модели корреляционной функции 0, 1,...,.

N € Однако, если в уравнение (4.33) подставить k, полученное из € формулы (4.18) заменой оператора M[.] на оператор усреднения M[.], то €k оценка величины будет равна N o o Am €k € = M[X (t) (4.34) m { m ( ) X (t - )d}].

m=Соотношение (4.34) дает алгоритм построения аппаратуры для оценки величины момента корреляционной функции. Блок – схема такой k аппаратуры приведена на рисунке 37. Эта схема включает в себя фильтр, состоящий из N+1 элементарных фильтров с импульсными характеристиками ( ), ( ),..., ( ), N+1 масштабирующего 0 1 N преобразователя, сумматора, множительное устройство (МУ) и блок усреднения (БУ).

Заметим, что эта аппаратура предназначена для оценки моментной характеристики корреляционной функции любого порядка. При изменении порядка необходимо изменить лишь масштабирующие коэффициенты. Эта же аппаратура может быть применена и для одновременной оценки различных моментов корреляционной функции. При этом добавятся лишь сумматоры с масштабирующими преобразователями, множительные устройства и блоки усреднения.

Способ оценки момента корреляционной функции по соотношению (4.34) существенно проще способа этой оценки по соотношению (4.33), который требовал бы применения в (N+1) раз больше множительных устройств и блоков усреднения. Техническая реализация способа (4.30) существенно упрощается, если ортогональные функции удовлетворяют условию (4.19).

A ( ) A ( ) AN ( ) N МУ N БУ k Рисунок 38 – Блок – схема аппаратуры для оценки величины момента корреляционной функции Погрешность оценки момента корреляционной функции k рассматриваемым способом в основном будет определяться выбранной системой ортогональных функций.

Так, например, если в качестве ортогональных функций выбраны функции Лагерра (4.20), то при прочих равных условиях свойства оценки будут зависеть от величины N и значения параметра функции Лагерра. Для уменьшения погрешности от смещенности необходимо выбрать оптимальное значение, о котором говорилось ранее, и увеличивать число членов модели N. При выбранной же величине для уменьшения статистической методической погрешности нужно число членов модели уменьшать. Это говорит о том, что необходимо выбирать оптимальное число членов модели.

Чтобы правильно определить метрологические характеристики оценки, рекомендуется установить погрешность от смещенности оценки момента нулевого порядка рассматриваемым способом корреляционной функции Rx ( ) = exp-, если используются ортогональные функции Лагерра и значение их параметра находится из уравнения 0 =1.

Другой способ оценки момента корреляционной функции порядка К может быть получен при условии, если в формуле (4.30) сделать замену o Rx ( ) = M[X (t)X (t - )] и затем от оператора M[.] формально перейти к € оператору усреднения M[.]. В результате этих преобразований будем иметь o €k € 0 k = M[X (t) X (t - )d ], (4.35) Блок – схема соответствующей аппаратуры приведена на рисунке 4.7.

Эта аппаратура состоит из фильтра с импульсной характеристикой h( ), множительного устройства (МУ) и блока усреднения (БУ). Основным ее элементом является фильтр. Заметим, что формально эта блок-схема и блоксхема, приведенная на рисунке 38., идентичны. Отличие лишь в типе применяемого фильтра.

o X (t) €k h() БУ МУ Рисунок 39 – Блок – схема аппаратуры для оценки момента корреляционной функции по соотношению (4.35) При рассматриваемом способе фильтр на входе должен иметь импульсную характеристику h()= k, которая не является абсолютно k интегрируемой функцией, т.е. d =. Поэтому такой фильтр физически не реализуем и следовательно, бессмысленно ставить задачу его технической реализации. Отсюда следует вывод, что получение несмещенных оценок моментных характеристик корреляционных функций принципиально невозможно. Позволительно лишь ставить задачу получить искомые оценки со сколь угодно малыми погрешностями от смещенности.

Таким образом, для того чтобы технически реализовать способ (4.35), необходимо, во-первых, в аппаратуре применять фильтр с абсолютно интегрируемой импульсной характеристикой h(), а во-вторых, обеспечить сколь угодно малую погрешность от смещенности.

Эту задачу можно решить различными способами. Для примера рассмотрим следующий: применим в аппаратуре фильтр с импульсной характеристикой k h( ) = H ( ). (4.36) Здесь H() – такая функция, которая обеспечивает, во – первых, k условие d < и во – вторых, сколь угодно малую погрешность от смещенности оценки.

Проанализируем влияние вида функции H() на погрешность от смещенности. Оценка (4.35) с учетом того, что применен фильтр с импульсной характеристикой (4.36) примет вид o o k €k € = M[X (t) H ( ) X (t - )d ].

Абсолютное значение погрешности от смещенности этой оценки будет равно €k k k C = M[ ] - = {H ( ) -1}Rx ( )d. (4.37) Из выражения (4.37) видно, что погрешность от смещенности будет меньше, чем функция H() отличается от единицы. Вполне понятно, что обеспечить близость функции H() к единице на всем интервале (0<) невозможно. Но в этом и нет необходимости, так как корреляционная функция анализируемого процесса существенно отличается от нуля лишь на ограниченном интервале времени, соизмеримом с интервалом корреляции анализируемого процесса.

Поэтому надо стремиться к тому, чтобы обеспечить близость функции H() к единице лишь на ограниченном интервале времени, на котором функция корреляции исследуемого процесса существенно отлична от нуля.

При этом, так как значения Rx ( ) наиболее весом при малых (<к), то именно при малых и является целесообразным обеспечивать близость функции H() к единице. При малых функция H() может быть представлена в виде ряда Маклорена:

(k ) k H ( ) = (4.38) H (0) k!, k =где H (0) = (k ) k H (0) =.

d H ( ) > k d Из формулы (4.38) следует понимать, что если выполнить условие (k ) H (0) =1, H = 0 при k =1,2,..., N, (4.39) то чем больше величина N, тем при прочих равных условиях функция H() будет меньше отличаться от единицы при малых.

Итак, функцию H() надо выбирать в соответствии с условием (4.39).

Одним из вариантов решения этой задачи является следующий.

Для того, чтобы импульсная переходная характеристика была абсолютно интегрируемой функцией, выберем функцию H() вида N T H( ) = exp ( )k, k T k =а коэффициенты 0, 1,..., определили из системы уравнений (4.39).

N В результате получим = и k k! N T H ( ) = exp ( )k. (4.40) k T k =Из уравнения (4.40) следует, что lim H ( ) =1, lim H ( ) =1, lim H ( ) = 1.

N T N,T В силу этого, как видно из выражения (4.37) при выборе функции H() вида (4.37) lim C = 0, lim C = 0, lim C = 0. Другими словами, погрешность от N T N,T смещенности оценки в рассматриваемом случае может быть сделана сколь k угодно малой соответствующим выбором величин Т и N. Например, если k Rx ( ) = exp, где - интервал корреляции, то относительной значение x k погрешности от смещенности оценки момента нулевого порядка этой корреляционной функции рассматриваемым способом будет равно (4.37) N + k C T = =.

C N + k 1 + T Из полученной формулы видно, как эффективен рассматриваемый способ с точки зрения обеспечения малых погрешностей от смещенности.

k Действительно, если, например, величина Е выбрана так, что = 0.1, то при T N=0 0.1, при N=1 0.01, а при N=2 0.001.

C C C Таким образом, даже при очень небольшом N возможно получить весьма малые значения погрешностей от смещенности. При выборе функции H() вида (4.40) фильтр с импульсной характеристикой H() будет иметь структуру, показанную на рисунке хх.хх. Этот фильтр включает в свой состав (N+k+1) одинаковых фильтров нижних частот с передаточными функциями 1/(1+Tp) и блок суммирования.

Сравнивая два рассмотренных способа оценки величин момента k-го порядка корреляционной функции, приходим к тому, что, во – первых, последний способ существенно проще технической реализации, в следствии использования фильтров с нерегулируемыми параметрами. Во – вторых, что является весьма важным, при одинаковом числе фильтров последний способ обеспечивает погрешности от смещенности оценки несравнимо меньшие, чем первый.

Таким образом, именно последнему способу следует отдать предпочтение при оценивании моментов корреляционной функции анализируемого процесса.

4.4 Оценка интервала корреляции Под интервалом корреляции случайного процесса X(t) понимается k тот интервал времени, на котором корреляционная функция этого процесса практически отлична от нуля.

Знание интервала корреляции позволяет правильно выбирать шаг дискретизации во времени, параметры аппаратуры для оперативного анализа характеристик этого процесса, обеспечивает возможность адаптации алгоритмов обработки к свойствам анализируемого процесса и помогает решению других важных технических задач.

Выше (в первой части настоящего пособия) было показано, что существует несколько формул для определения величины интервала корреляции. Так, одной их них является следующая:

= ( )d.

k1 x Величина есть не что иное как нормированный момент нулевого kпорядка корреляционной функции. Поэтому для оценки величины н0 kможет применен любой из рассмотренных способов оценки величины момента.

нДругой формулой, применяемой для определения интервала корреляции, является следующая:

x ( )d = =.

k ( )d x Таким образом, для получения оценки необходимо определить уже k рассмотренными способами моменты корреляционной функции первого и нулевого порядков.

Более широкое распространение получил интервал корреляции, определяемый по формуле = ( )d.

k 3 x При оперативной оценке величины приходится сталкиваться с k большими трудностями, чем при оценке величин и.

k1 k Заслуживают внимания два способа оценки этой величины. Первый способ, который назовем аппроксимативным, основан на вычислении величины по модели корреляционной функции ( ) :

k 3 x €k 3 = м ( )d. (4.41) Техническая реализация алгоритма оценки (4.41) будет определяться видом модели ( ) корреляционной функции. Наиболее эффективным при м этом является использование моделей вида (4.12), представляющих собой ряды по системе ортогональных функций.

Подставляя в выражение (4.41) ( ) из уравнения (4.12) и принимая м во внимание формулу (4.13), получим N €k = m. (4.42) m m=Таким образом, оценка по формуле (4.42) сводится к суммированию k с соответствующими весами квадратов величин параметров модели.

Погрешность от смещенности оценки таким образом будет равна величине квадратичной погрешности аппроксимации функции ( ) функцией ( ).

x м Достоинством рассматриваемого способа является инвариантность к виду закона распределения анализируемого процесса. К недостаткам же следует отнести относительную сложность аппаратуры.

Наиболее простая техническая реализация аппаратуры возможна тогда, когда известен заранее закон распределения исследуемого процесса X(t).

Именно для этого случая разработано наибольшее число способов оценки.

k Так, если закон распределения процесса X(t) можно свести к оценке o величины процесса X (t), так как нормированная корреляционная kфункция последнего с точностью до постоянного коэффициента равна квадрату нормированной корреляционной функции процесса X(t).

Для определения интервала корреляции применяется также формула = ( )d, k 4 x или в качестве интервала корреляции принимается наименьшее, k начиная с которого выполняется условие ( ), где величина x выбирается исходя из конкретных практических соображений.

Способы оценки величин и требуют, как правило, k 4 k предварительной оценки корреляционной функции. С точки зрения оперативности оценки этих величин целесообразно применять в качестве оценок корреляционных функций те или иные их модели.

5 Методы оценки спектральных характеристик составляющих объекта исследования Исчерпывающей спектральной характеристикой стационарного процесса является спектральная плотность мощности Sx () (СПМ). Эта характеристика связана с корреляционной функцией процесса X(t) соотношением S () = Rx ( ) exp- j d. (5.1) x быть получен из соотношения (5.1) если заменить корреляционную € функцию Rx ( ) ее оценкой Rx ( ) j € €x Sx () = (5.2) R ( )exp- d.

Оперативность оценки спектральной плотности по алгоритму (5.2) будет целиком и полностью определяться оперативностью оценки корреляционной функции. Выше было показано, что наиболее оперативными являются аппроксимативные способы оценки корреляционной функции, когда в качестве оценки корреляционной функции берется некоторая модель RМ ( ). Как следует из (5.2), оценкой спектральной плотности мощности будет являться также некоторая модель S () = Rм ( ) exp- j d. (5.3) м Найдем квадратическую погрешность аппроксимации спектральной плотности Sx () и моделью S () м = () - Sм ()]2 d.

s x [S Подставив в эту формулу Sx () из уравнения (5.1) и S () из м выражения (5.3), получим = (5.4) s x [R ( ) - Rм ( )]2 d.

Сопоставляя выражения (5.4) и (5.3), приходим к выводу, что =, s где – квадратическая погрешность аппроксимации корреляционной функции Rx ( ) моделью Rм ( ). Так как обеспечивается минимум величины, то будет минимальной величина s.

Таким образом, способ оценки спектральной области по соотношению (5.3) является оптимальным в том смысле, что будет обеспечен и минимум величины s.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.