WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |

Такой способ определения уравнения регрессии довольно прост, но имеет один серьезный недостаток: при каждом уточнении уравнения, т.е. при повышении его степени, все значения коэффициентов, вычисленные ранее, оказываются бесполезными и их приходится определять вновь. В результате возрастает объем вычисленной работы.

От указанного недостатка свободен второй способ определения уравнения регрессии, при котором это уравнение задается в виде X = 1P0 (X ) +2P1(X ) +... +l Pl-1(X ), (2.27) k A A A где Pl-1(X ) - многочлены Чебышева П.Л.

A Первые два из этих многочленов имеют вид n - P0 (X ) = 1; P2 (X ) = X -, A A A a остальные определяются по формуле 2 l (n2 - l ) Pl+1 = P1(X )Pl (X ) - Pl-1(X ). (2.28) A A A 4(4l -1) Коэффициенты 1,...,l в формуле (2.27) также находятся по методу наименьших квадратов. При этом формулы для их определения получаются достаточно простыми.

Достоинство описываемого способа определения уравнения регрессии в том, что вычисленные по формуле (2.28) коэффициенты не зависят от того, каков будет порядок разыскиваемого уравнения регрессии. Это значит, что, находя уравнение регрессии методом последовательных уточнений, мы используем все ранее найденные коэффициенты, больше их не пересчитывая.

Повышение порядка регрессии на единицу потребует теперь нахождения лишь одного коэффициента.

n 1 = X ;

ki n i= n X P1(X ) ki Ai i=2 = ;

n (X ) P1 Ai. (2.29) i=...

n X Pl-1(X ) ki Ai i= l = n (X ) Pl-1 Ai i=Таким образом, рассмотрены способы определения математической зависимости между двумя составляющими объекта измерения. Точно так же решается задача и определения математической зависимости одной составляющей объекта измерения Xk от нескольких XA, XB,.Разница заключается лишь в том, что в данном случае уравнение регрессии надо искать в виде X = (X, X,...;1,...,e ), (2.30) k A B где 1,...,el как и ранее, неопределенные коэффициенты, значения которых должны быть найдены по принципу наименьших квадратов.

2.4 Математическое описание составляющих объекта измерения После того как получены математические зависимости одних составляющих объекта измерения от других, необходимо перейти к математическому описанию самих составляющих, которые являются, входными сигналами ИИС.

Основной предпосылкой для описания составляющих объекта измерения должно быть то, что эти составляющие носят случайный характер и, помимо этого, изменяются во времени. То есть мы должны рассматривать составляющие объекта измерения как случайные процессы или сигналы.

В качестве обобщенной модели какой-то k-той составляющей объекта измерения можно взять модель вида X (t) = (t)N(t) + (t), (2.31) k где (t) и (t) - некоторые детерминированные функции времени;

N(t) – случайная функция времени.

Из формулы (2.31) следует, что для математического описания составляющей объекта измерения Xk(t) нужно уметь описывать детерминированные компоненты и случайную N(t).

2.4.1 Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения.

Детерминированные функции времени (сигналы) могут иметь различный вид. Поэтому естественно стремиться представить любую детерминированную функцию в каноническом виде через какие-то стандартные функции.

Одним из распространенных, канонических представлений детерминированных функций является разложение их в ряд по ортогональным функциям:

(t) = Akk (t), (2.32) k =где Ak –коэффициенты разложения;

0 (t),...,k (t) - ортогональные координатные функции, т.е. такие, что b 0, при i k p(t)k (t)i (t)dt = 1, при i = k.

a Здесь p(t)-весовая функция.

В качестве координатных функций могут выступать самые разнообразные функции. Так, если функция (t) рассматривается на конечном интервале времени от T1 до T2, то в качестве координатных функций могут быть выбраны различные ортогональные полиномы Чебышева, Лежандра и др.

Наиболее часто в качестве координатных ортогональных функций выбираются тригонометрические функции. В этом случае детерминированная функция (p(t), рассматриваемая на конечном интервале времени от T1 до T2, может быть представлена в виде ряда Фурье:

b (t) = + sin kwt + bk cos kwt). (2.33) (a k k =Здесь w = - круговая частота первой гармоники;

(T2 -T1) T ak = (t -T1)sin kwtdt;

T2 - T1 TT bk = (t -T1)sin kwtdt.

T2 -T1 TФормулу (2.33) перепишем в виде b (t) = + Ak sin(kwt +k ), (2.34) k =bk 2 Ak = ak + bk ; k = arctg.

ak Как видно из формулы (2.34) сигнал (t) представлен в виде суммы его bпостоянной составляющей и бесконечного числа гармонических составляющих Ak sin(kwt +k ).

На практике очень часто число членов ряда (2.34) ограничивают конечным числом n, выбирая величину n так, чтобы 95 % энергии сигнала было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до nw.

Энергия сигнала (t) существующего на интервале времени от T1 до T2, определяется по формуле:

T E = (t)dt. (2.35) TПодставляя в выражение (2.35) значение (t) из формулы (2.33), представим энергию сигнала в функции коэффициентом ряда Фурье:

T2 -T1 T2 -T2 2 E = + bk ) = Ak. (2.36) (ak 2 k =0 k =Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье, которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по формуле:

T2 -T1 n 0.95E = Ak. (2.37) k =Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как верхнюю граничную частоту спектра, которая принимается равной частоте наивысшей гармоники, т.е.

wb nw n Fb = = =. (2.38) 2 2 T2 -TЭнергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо его энергии относится так называемая мощность сигнала и его действующее значение.

Мощностью сигнала (t), существующего на интервале времени от Tдо T2, называется величина TE Pc = = (2.39) (t)dt, T2 -T1 T2 -T1 Ta действующим значением- TE Pc = = (2.40) (t)dt.

T2 - T1 T2 - T1 TИз формул (2.35), (2.39) и (2.40) видно, что все энергетические характеристики сигнала (энергия Е, мощность Р, и действующее значение) жестко связаны между собой.

Если, сигнал (t) представлен в виде ряда Фурье (2.33) или (2.34) то, как следует из выражений, (2.36) и (2.39), его мощность может быть определена по формуле 2 2 Pc = Ak. (2.41) (a + bk ) = k 2 k =0 k =Ряд Фурье (2.38) для функции (t) существующий на интервале от T1 до T2 может быть записан также в комплексной форме:

jkwt (t) = e, (2.42) ck k =где комплексный коэффициент Ck определяется по формуле T2 jkwt Ck = (2.43) (t - T1)e- dt.

T2 - T1 TКоэффициенты разложения в ряде (2.42) связаны с коэффициентами разложения ряда (2.33) соотношением:

bk - jak Ck Nk =. (2.44) Если сигнал (t) задается в виде ряда (2.42), то его мощность подсчитывается по формуле:

* Pc = Ck, (2.45) Ck k =где C*k - комплексная величина, сопряженная с Ck.

В тех случаях, когда детерминированный сигнал (t) является непериодической функцией и ( p(t) dt <, то его можно представить в виде:

jwt (t) = (2.46) S(w)e dw, где - jwt S(w) = (2.47) (t)e dt.

Обычно в такой форме представляют импульсные сигналы.

Комплексная величина S(w) называется спектральной плотностью * сигнала или комплексным спектром. Модуль S(w) = S(w)S (w) величины S(w) называется просто спектром сигнала.

Энергия сигнала (t) представленного в виде выражения может быть подсчитана по формуле:

1 E = S(w) dw, (2.48) a верхняя граничная частота Eb его спектра определяется из уравнения 2F 1 0.95E = S(w) dw, (2.49) 2F 2 S(w) dw = 0.95 S(w) dw. (2.50) 0 Уравнением (2.49) целесообразно пользоваться при известной энергии сигнала, а уравнением (2.50) - при неизвестной.

Большое значение для математического описания сигналов имеет теорема Котельникова, которая утверждает, что непрерывная функция времени (t) не содержащая частот выше граничной wb = 2Fb, полностью определяется отсчетами мгновенных значений (kt) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы t =.

wb Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию (t) в виде sin wb (t - kt) (t) = (kt). (2.51) wb (t - kt) k =n / sin wb (t - kt) (t) (kt). (2.52) wb (t - kt) k =-n / Если функция ц(t) с ограниченным спектром рассматривается на конечном интервале времени Т, то точное разложение (2.51) заменяется приближенными:

n / sin wb (t - kt) (t) (kt), (2.53) wb (t - kt) k =-n / где T n = +1 2FbT.

t Таким образом, в данном случае функция определяется в виде конечного числа n=2FbT ее отсчетов.

2.4.2 Методы представления случайных компонент составляющих объекта измерения Рассмотрим способы представления случайных компонент составляющих объект измерения.

Случайный сигнал (процесс) N (t) в общем случае может быть охарактеризован его m-мерной плотностью вероятности системы m случайных величин (N(t1),….., N(tm)), где t1,...,tm- произвольные значения аргумента t.

Многомерные плотности вероятности позволяют описать случайный процесс сколь угодно полно. Однако нахождение m-мерной плотности вероятности – очень трудная задача, которую удается решить далеко не всегда. Поэтому на практике часто ограничиваются рассмотрением хотя и менее полных, но зато более простых так называемых характеристик или моментов случайного процесса.

Обычно указывают математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию, корреляционную функцию. Иногда дополнительно указывают коэффициенты асимметрии и эксцесса. Для определения приведенных характеристик достаточно знать лишь двумерную плотность распределения.

При математическом описании случайного процесса желательно также указать стационарным или нестационарным он является.

Для стационарных случайных процессов, помимо рассмотренных, указывают еще ряд важных характеристик. Одной из таких характеристик является интервал корреляции. Наиболее распространенными формулами для подсчета этой величины являются:

N R ( )d =, (2.54) k RN (0) RN ( )d =. (2.55) k RN (0) Другой важной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная плотность дисперсии (мощности) Sn (w) = RN ( )e- jw d. (2.56) Для оценки интервала частот, в котором существует стационарный случайный процесс, вводят понятие эквивалентной ширины спектра мощности, которую определяют по формуле N S (w)dw wэ =, (2.57) SNm (w) Где SNm (w)- максимальное значение спектральной плотности.

Эквивалентная ширина спектра мощности связана с интервалом корреляции соотношением wэ = const. (2.58) k Во многих практических случаях также полезно провести исследование случайного процесса, для того, чтобы изучить, является ли он эргодическим.

Эргодическим называется такой процесс, для которого среднее по времени равно в вероятностном смысле среднему по ансамблю реализаций.

Если процесс окажется эргодическим, то в дальнейшем его обработка с помощью информационно- измерительной системы будет значительно проще, чем неэргодического.

Выше рассмотрены основные способы математического описания детерминированных и случайных функций, которые являются элементами модели (2.31) составляющей Xk(t) объекта измерения. После этого нетрудно описать характеристики самой составляющей XK(t) Из изложенного в данном разделе видно, что математическое описание объекта измерения- непростая задача и требует для своего решения провести большой объем экспериментальных исследований и статистической обработки их результатов.

3 Методы оценки характеристик составляющих объекта измерения В первой части настоящего пособия, было показано, что для математического описания объекта измерения необходимо располагать определенной совокупностью характеристик его составляющих, описывающих с той или иной степенью полноты свойства этих составляющих. Как правило, эти характеристики могут быть определены лишь путем обработки результатов экспериментальных исследований. Из за случайного характера составляющих объекта измерения обработка результатов измерений должна производиться статистическими методами. В итоге получаются не сами характеристики составляющих объекта измерения, а некоторые их приближенные значения, называемые оценками.

^ Под оценкой характеристики составляющей X (t) понимается некоторое преобразование последней ^ = {X (t)}, (3.1) A где вид преобразования должен выбираться исходя из типа A оцениваемой характеристики. В тоже время должно обеспечиваться как можно меньшее отклонение оценки от оцениваемой характеристики.

Для количественного описания степени отклонения оценки от оцениваемой характеристики используется ряд величин, наиболее употребительными из которых являются погрешности от смущенности и статическая методическая, определяемые по формулам =, (3.2) СТ m - m =, (3.3) СМ где и - математическое ожидание и среднеквадратическое m отклонение оценки.

Погрешность от смещенности характеризует систематическую, а статическая методическая – случайную составляющие погрешности определения характеристики по ее оценке.

Оценка, имеющая погрешность от смещенности, равной нулю, называется несмещенной.

Обычно на величины погрешностей накладываются ограничения сверху, обусловленные специфическими условиями эксплуатации объекта исследования. При одинаковых ограничениях на величины погрешностей возможны различные способы получения одной и той же оценки, отличающиеся друг от друга простой технической реализацией и оперативностью. Возникает необходимость выбрать такой из них, который при заданных требованиях к оперативности был наиболее прост в технической реализации.

Чтобы правильно решить эту задачу, рассмотрим различные способы оценивания характеристик случайных процессов.

При этом основное внимание сосредоточим на оценке характеристик стационарных случайных процессов. В природе стационарных процессов в чистом виде не существует. Однако при определенных ограничениях на длительность интервалов измерения и при известных требованиях к точности измерения эти процессы можно считать практически стационарными.

Именно для этого класса процессов, удовлетворяющих условию эргодичности, существует большое число различных способов статической обработки.

3.1 Методы оценки одномерных моментных характеристик Как уже было показано, составляющие объекта измерения представляют собой случайные процессы. К одномерным характеристикам случайного процесса X (t) относятся начальные и центральные моменты различных порядков.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.