WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

23 4 24 A1 = A(1,2)= = = 3, 7 7 а также объединяются операции 3, 4, 5 и 6 в одну операцию с величиной 2 6 4 A2 = A(3,4,5,6)= = = 4,8.

10 Во втором варианте операция 1 остается, а объединяются операции 2, 3, 4, 5 и 6 в одну операцию с величиной 26 A2 = A(2,3,4,5,6)= = 4,8.

Если взять = 0,12, то агрегирование в две операции невозможно. Действительно, соответствующий граф, приведенный на рис. 1.7, не имеет путей из двух дуг.

Рис. 1.7.

Оптимальный вариант всего один. В этом варианте объединяются операции (2, 3, 4, 5) в одну агрегированную операцию со значением 2 45 40 A2 = A(2,3,4,5)= = = 9 9 Рассмотрим теперь произвольный комплекс операций. Возьмем продолжительности всех операций равными минимальным значениям i, и определим критический путь в сети. Обозначим через Ткр длину критического пути. Поставим задачу выравнивания ресурсов, то есть определения максимально равномерного графика ресурсов, требуемых для выполнения комплекса операций за время Ткр. Эту задачу удобнее рассматривать, когда сетевой график изображен в форме «операциидуги», то есть дуги сетевого графика соответствуют операциям, а вершины - событиям (моментам завершения одной или нескольких операций). Задача выравнивания ресурсов эффективно решается при заданном упорядочении 0, 1,2,..., m моментов завершения событий (m+1 - число событий). Эта задача рассматривалась еще в шестидесятых годах [4]. В [5] для ее решения предлагалась гидродинамическая модель (переток жидкости между сообщающимися сосудами), а в [4] задача решалась методом квадратичного программирования. Мы рассмотрим геометрический подход к решению задачи. Обозначим Ak, - общий объем операций, которые должны быть выполнены в первых k интервалах, Вk - общий объем операций, которые могут быть выполнены в первых k интервалах.

Для определения Аk необходимо определить правосдвинутый график использования ресурсов, то есть график, соответствующий началу всех операций в наиболее поздние моменты времени. Для определения Вk необходимо определить левосдвинутый график использования ресурсов, то есть график, соответствующий началу всех операций в наиболее ранние моменты времени. На основе этих графиков определяются значения Аk и Вk k = 1,m.

Построим на плоскости графики зависимости Ak и Вk от соответствующих моментов совершения событий наиболее поздних п р поздних Tk и наиболее ранних Tk. Область между двумя графиками определяет множество возможных состояний комплекса операций, определяемых как объем операций, выполненный к соответствующему моменту t. Любому процессу выполнения операций комплекса соответствует траектория, соединяющая точку 0 с точкой К на рис. 1.8.

Тангенс угла наклона этой траектории определяет количество ресурсов в соответствующий момент времени. Очевидно, что решению задачи выравнивания уровня ресурсов соответствует кратчайшая траектория, соединяющая точку 0 с точкой К. Точки излома траектории определяют моменты изменения количества ресурсов. Поиск кратчайшей траектории можно осуществлять непосредственно на плоскости с помощью карандаша и линейки.

Рис.1.8.

Пример 1.7. Рассмотрим комплекс из четырех операций (рис 1.9).

Рис. 1.9.

Числа у дуг на рис. 1.9 равны аi, а числа в скобках минимальным продолжительностям i. Критический путь выделен толстыми дугами. График зависимостей {Ak} и {Bk} приведены на рис.

1.10.

Из рисунка видно, что кратчайшая траектория проходит через точку В. Таким образом, мы имеем оптимальный график использования ресурсов, состоящий из двух участков. На отрезке [0, 5] Рис. 1.10.

уровень ресурсов равен N1 = 26/5 = 5,2, а на отрезке [5, 10] – N2 = 27/5 = 5,4. Поэтому комплекс можно представить в виде двух последовательных агрегированных операции. Первая агрегированная операция объединяет две операции - (0, 1) и (0, 2), имеет объем Wi = и величину А1 = 5,2. Вторая агрегированная операция объединяет три операции - (1, 2), (1, 3) и (2, 3) имеет объем W2 = 27 и величину А2 = 5,4. Допуская относительную ошибку порядка 2% можно весь комплекс заменить одной агрегированной операцией объемом W = и величиной А2 = 5,3.

Пример 1.8. Рассмотрим комплекс из шести операций, рис. 1.11.

Рис. 1.11.

Рис. 1.12.

График {Ак}, {Вк} приведен на рис. 1.12. В данном случае удается уменьшить число операций за счет агрегирования только до четырех. Однако, если требование равномерной загрузки ресурсов на комплексах является существенным, можно добиться этого, увеличив минимальную продолжительность агрегированного комплекса. Пунктирная прямая OL на рис. 1.12, проходящая через точку М, соответствует агрегированию комплекса в одну операцию с параметрами Tmin= 9 9/29, A = 45/6.

ГЛАВА 2. Оптимальное распределение ресурсов в агрегированных комплексах Задача оптимального распределения ресурсов для агрегированных комплексов, по сути дела, не отличается от обычных задач распределения ресурсов. Особенность только в том, что число операций в агрегированном комплексе невелико, что позволяет в ряде случаев применять точные алгоритмы решения задач. Так, например, как будет показано ниже, при заданном упорядочении событий сети задача оптимального распределения ресурсов сводится к задаче выпуклого программирования, что позволяет решать задачу путем перебора возможных упорядочений событий. В этой главе рассматриваются как известные, так и новые методы решения задачи распределения ресурсов для агрегированных комплексов.

2.1. Сети с упорядоченными событиями Пусть события сети пронумерованы согласно их упорядочению.

Обозначим Rs – множество операций, которые могут выполняться в sом интервале (в интервале между (s-1) и s-ым событиями, s = 1,r ), Qi – множество интервалов, в которых может выполняться i-ая операция, xis – объем i-ой операции, выполняемый в s-ом интервале, s(zs), где zs = {xis: iRs}, минимальная продолжительность s-го интервала, как функция zs. Продолжительность комплекса, очевидно, равна r T(z) = (zs ) (2.1.1) s s=Теорема 1. [2] T(z) – выпуклая функция z.

Задача. Определить {xis 0, i = 1, n, s = 1,r }, удовлетворяющие условиям:

(2.1.2) = Wi, i = 1, n xis sQi и минимизирующие T(z).

Согласно теореме 1 это задача выпуклого программирования.

Рассмотрим применение приведенных выше общих результатов к задаче распределения дискретных ресурсов, когда количество ресурсов на каждой операции фиксировано. На практике такие задачи возникают при формировании календарных планов работы специализированных бригад. Обозначим, как и раньше, i – продолжительность i-ой операции, aij – фиксированное количество ресурсов j-го вида на i-ой операции. Будем обозначать множество независимых операций комплекса через вектор x = (x1, x2, …, xn), где xi = 1, если i-ая операция принадлежит множеству, и xi = 0 в противоположном случае. Вектор x, удовлетворяющий условиям n aij N, j = 1,m, (2.1.3) xi j i=будем называть допустимым вектором. Пусть x1, x2, …, xq – множество допустимых векторов. Обозначим через us продолжительность интервала, в котором выполняются операции, соответствующие вектору xs.

Задача. Определить us, s = 1,q, удовлетворяющие условиям s us = i, i = 1, n xi sQi q и минимизирующие T =.

us s=Это задача линейного программирования, в которой матрица ограничений задается косвенно, в виде (2.1.3). Пусть x1, x2, …, xn – базисные вектора некоторого начального решения. Обозначим через yi вектор x, для которого xi = 1, xj = 0, j i. Выразим yi через базисные векторы. Пусть n j yi = x (2.1.4) cij j=n и обозначим bi =.

cij j=Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: определить вектор x, удовлетворяющий (2.1.3) и максимизирующий n c = bi.

(2.1.5) xi i=Если в оптимальном решении этой задачи c 1, то начальное решение оптимально. В противном случае оптимальное решение вспомогательной задачи определяет вектор, который нужно ввести в базис согласно процедуре симплекс-метода.

Замечание 1. Так как допустимый вектор определяет множество независимых операций, то задача (2.1.3), (2.1.5) решается для каждого множества Rs независимо.

Замечание 2. Для исключения зацикливания процедуры следует запоминать вектора, исключаемые из базиса в случае, если им соответствует u = 0, до тех пор, пока не будет исключен вектор со значением u > 0.

Задача (2.1.3), (2.1.5) является задачей линейного целочисленного программирования с переменными, принимающими значения 0, 1, и в общем случае не имеет эффективных методов решения. Рассмотрим несколько практически важных случаев, когда задача (2.1.3), (2.1.5) принимает более простой вид.

I) Пусть операции разбиты на m типов так, что операции j-го типа выполняются ресурсами j-го вида в количестве ai ( i = 1, n ).

Обозначим через Rjs множество операций j-го типа, которые могут выполняться в s-ом интервале. В этом случае задача (2.1.3), (2.1.5) разбивается на несколько независимых подзадач, - для каждого Rjs :

cjs = xi max, bi iR js (2.1.6) xi N.

ai j iR js Задача (2.1.6) известна как «задача о ранце» и решается достаточно эффективно методом динамического программирования.

Начальное решение оптимально, если cjs 1, j = 1,m, s = 1,r cjs = 0, если Rjs =.

Задача (2.1.6) решается элементарно, если все ai = 1. Очевидно, в этом случае cjs равно сумме Nj положительных максимальных bi (или просто сумме всех положительных bi, если их число меньше, чем Nj).

Пример 2.1. Рассмотрим комплекс из пяти операций (рис. 2.1), данные о которых приведены в таблице 3. (номера операций указаны у дуг на рисунке).

Таблица 3.

ii ai2 I II III IV Рис. 2.1.

Все операции выполняются ресурсами одного вида, количество которых равно N = 11.

1. Получение начального решения. Для получения начального решения мы применим эвристический алгоритм, согласно которому приоритет имеет операция с меньшим значением позднего момента п начала ti (это правило называется распределением по степени п критичности операций). В случае одинаковых ti начинаем любую п операцию. Значения ti приведены ниже.

i п tiПрименяя вышеприведенное эвристическое правило, получим следующее решение:

x1 = (1, 1, 0, 0, 0), u1 = x2 = (0, 1, 1, 0, 0), u2 = x3 = (0, 0, 1, 1, 0), u3 = x4 = (0, 0, 0, 1, 1), u4 = x5 = (0, 0, 0, 0, 1), u5 = Продолжительность комплекса составляет T = = 10.

us s=Выразим векторы yi через базисные векторы:

y5 = x5,b5 = y4 = x4 - x5,b4 = y3 = x3 - x4 + x5,b3 = y2 = x2 – x3 + x4 - x5,b2 = y1 = x1 – x2 + x3 – x4+ x5,b1 = Получаем следующую задачу о ранце:

x1 + x3 + x5 max, 6x1 + 4x3 + 7x5 1.

Задача разделяется на три независимых подзадачи:

x1 + x3 max, (2.1.7) 6x1 + 4x3 11;

x3 max, (2.1.8) 4x3 11;

x3 + x5 max, (2.1.9) 4x3 + 7x5 11.

Оптимальное решение задачи (2.1.7): x1 = x3 = 1, задачи (2.1.8):

x3 = 1, задачи (2.1.9): x3 = x5 = 1. Решение задач (2.1.7) и (2.1.9) имеют одну и ту же величину с = 2.Поэтому вводим в базис любой вектор, например x6 = (0, 0, 1, 0, 1) = y3 + y5 = x3 – x4 + 2x5.

Определяем согласно процедуре симплекс-метода u3 u5 u6 = min ; = 1 2 и исключаем вектор х5. Новое решение u1 = u1 = 2; u1 = u2 = 2; u1 = u3 - = 3,5;

1 2 1 u1 = u4 + = 1,5; u1 = ; T1 = 9,5.

4 2 Заменяя вектор x5 = (x6 – x3 + x4) в формулах для yi, мы получим y1 = x1 – x2 + 1/2x3 – 1/2x4+ 1/2x6,b1 = 1/y2 = x2 – 1/2x3 + 1/2x4 - 1/2x6,b2 = 1/y3 = /2x3 - 1/2x4 + 1/2x6,b3 = 1/1 y4 = 1/2x1 + /2x3 - /2x6,b4 = 1/y5 = -1/2x3 + 1/2x4 + 1/2x6,b5 = 1/Новые задачи о ранце имеют вид:

(x1 + x2 +x3) max, 6x1 + 5x2 + 4x3 11;

(x2 + x3 +x4) max, 5x2 + 4x3 + 4x4 11;

(x3 + x4 +x5) max, 5x2 + 4x3 + 4x4 + 7x5 11.

Все три задачи имеют оптимальное значение с = 1. Поэтому полученное решение является оптимальным.

Последовательность векторов xs полученного оптимального решения не является единственной. Этим в ряде случаев можно воспользоваться для того, чтобы найти решение с минимальным числом прерываний операций. В работе [3] показано, что задача минимизации числа прерываний операций сводится к задаче коммивояжера. В нашем примере число прерываний равно 1 и уменьшить его нельзя, поскольку при выполнении комплекса без прерываний операций продолжительность его будет целым числом.

Заметим, что начальное решение, полученное на основе эвристического правила является оптимальным решением без прерываний операций, поскольку продолжительность комплекса в этом решении Т = 10 является ближайшим целым числом, которое больше минимальной продолжительности Т1 = 9,5.

Как уже отмечалось выше, описанный метод дает оптимальное решение при заданном упорядочении событий сети. Если возможных упорядочений несколько, то необходимо решить задачу при каждом из них и выбрать лучшее решение. Однако, в ряде случаев можно судить об оптимальности полученного решения без перебора других упорядочений событий. Для этого необходимо решить задачу о ранце, не предполагая упорядоченности всех событий сети. Если в результате решения этой задачи будет получен вектор со значением c > 1, то следует решить задачу при новом упорядочении, при котором этот вектор будет допустимым. В нашем примере достаточно рассмотреть следующую задачу о ранце:

(x1 +x2 + x3 + x4 +x5) max, 6x1 + 5x2 + 4x3 + 4x4 + 7x5 11.

Легко видеть, что в оптимальном решении этой задачи с = 1, так что лучшего решения не существует, какое бы упорядочение событий мы ни взяли.

Для иллюстрации изменения упорядочения событий рассмотрим следующий пример.

Пример 2.2. Рассмотрим тот же сетевой график, что и в примере 2.1 с данными, приведенными в таблице 4.

Таблица 4.

ii aiНачальное решение в данном случае будет следующим:

x1 = (1, 1, 0, 0, 0), u1 = x2 = (0, 1, 1, 0, 0), u2 = x3 = (0, 0, 1, 0, 1), u3 = x4 = (0, 0, 0, 1, 1), u4 = x5 = (0, 0, 0, 0, 1), u5 = Продолжительность комплекса Т = 11. Действуя, как и в примере 2.1, мы получим следующую задачу о ранце:

x2 + x5 max, 5x2 + 6x5 11.

При заданном упорядочении событий эта задача распадается на две независимые задачи и, очевидно, каждая из них будет иметь величину с = 1. Следовательно, полученное начальное решение является оптимальным при заданном упорядочении.

Заметим, однако, что если изменить очередность событий II и III, то операции 2 и 5 становятся независимыми. В этом случае оптимальное решение задачи о ранце будет следующим:

x2 = x5 = со значением с = 2. Поэтому вводим в базис вектор x6 = y2 + y5 = x2 – x3 + 2x5, u2 u u6 = min ; = 1.

1 Исключаем из базиса любой из векторов, например вектор x5. Имеем u1 = u1 = 4; u1 = u2 - u6 = 0; u1 = u3 + u6 = 3;

1 2 u1 = u4 = 2; u1 = 1; T1 = 10.

4 Повторяя процедуру, убеждаемся, что полученное решение является оптимальным.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.