WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

11 21 2 3 В данном случае задачу можно решить не переходя к логарифмам, определяя вместо длины контура его усиление. Усиление контура (1,2,1) равно 4/3 > 1. Следовательно, =, w1 = 1, w2 = 3. Имеем Q1 = 1, Q2 =, Q1 Q2 Q1 Q max ; - min ;

11 12 11 1 = 0, Q1 Q2 Q1 Q max ; + min ;

11 12 11 Q1 Q2 Q1 Q max ; - min ;

21 22 21 2 = 0,06.

Q1 Q2 Q1 Q max ; + min ;

21 22 21 Соответственно получаем Q1 Q2 0, y1 = (1- 1) max ; = 11 12 Q1 Q2 0, y2 = (1- 2) max ; =.

21 22 1.3. Идеальное агрегирование Агрегирование, то есть представление сложной модели (описываемой большим числом параметров) в упрощенном (агрегированном) виде (описываемой небольшим числом параметров) не только эффективный метод решения задач большой размерности, но едва ли не единственный подход к принятию решений на высших уровнях управления. И дело здесь не в том, что ограничены наши возможности в решении задач большой размерности. Главная причина агрегированного описания сложных моделей в том, что руководитель (лицо, принимающее решение) способен принимать эффективные решения, оперируя только небольшим числом существенных факторов (порядка 7-8 факторов).

Отсюда следует, что подход к решению задач большой размерности на основе построения агрегированных моделей адекватен иерархическому построению организационных систем. Очевидно, что упрощенное описание является приближенным (ошибка агрегирования), однако, это упрощение окупается повышением эффективности принятия решения на основе агрегированных моделей.

Большой интерес представляют случаи идеального агрегирования, то есть агрегирования с нулевой ошибкой. Дадим формальные определения агрегирования и ошибки агрегирования в задачах календарного планирования.

Определение 1. Агрегированием комплекса операций называется его представление в виде комплекса с меньшим (как правило, значительно меньшим) числом операций.

Это определение обобщает определение агрегирования, данное в [I], где под агрегированием понималось представление комплекса операций в виде одной операции.

Пусть задан класс М возможных ограничений N(t) на количество ресурсов, выделенных для реализации проекта. Обозначим Tm[N(t)] - минимальное время реализации проекта при графике использования ресурсов N(t), a Ta[N(t)] - минимальное время реализации агрегированного проекта при том же графике N(t).

Разность Ta[N(t)] [N(t)]= 1(1.3.1) Tm[N(t)] определяет ошибку агрегирования при заданном графике N(t). Ошибку агрегирования для всех возможных графиков N(t) M будем оценивать выражением = max [N(t)] (1.3.2) N(t)M Определение 2. Агрегирование с нулевой ошибкой называется идеальным.

Приведем примеры идеального агрегирования комплекса операций.

Пример 1.3. Рассмотрим комплекс из п независимых операций.

Обозначим Wi - объем i-ой операции, fi(u) - скорость i-ой операции.

Пусть fi - вогнутые функции. В этом случае, как доказано В.Н.

Бурковым [2], все операции начинаются одновременно и заканчиваются также одновременно, причем скорости операций удовлетворяют соотношениям fi[ui(t)] = w(t)Wi, i = 1, n, (1.3.3) где w(t) определяется из уравнения n [w(t) Wi]= N(t), i i=i – функция, обратная fi.

Момент завершения комплекса определяется из условия T w(t) dt = 1.

(1.3.4) Определим скорость агрегированной операции wэ(t) как решение уравнения (1.3.4), а ее объем примем за Wэ = 1. Очевидно, что для любого N(t) имеем Tа[N(t)] = Tm[N(t)], то есть = 0.

Пример 1.4. Рассмотрим комплекс из n последовательных операций объема Wi i = 1, n и скоростями fi(ui) = if(ui). Определим n Wi агрегированную операцию с объемом Wa = и скоростью wа = i i=f(u). Нетрудно показать, что для любого N(t) имеет место Tа[N(t)] = Tm[N(t)], то есть = 0.

На основании этих примеров можно утверждать, что если комплекс состоит из однородных операций (операций, скорости которых удовлетворяют соотношениям fi = if, где f вогнутые функции) и имеет последовательно параллельную структуру, то такой комплекс допускает идеальное агрегирование в одну операцию.

Существует класс зависимостей fi(ui), при которых возможно идеальное агрегирование любого комплекса операций. Это так называемые степенные зависимости вида fi(u) = ui, < 1, i = 1, n Для случая степенных зависимостей доказано, что существует агрегированное представление комплекса в виде одной операции объема Wэ и со скоростью f = u такое, что для любого N(t) имеет место Tm[N(t)] = Ta[N(t)] [3]. Таким образом, задача сводится к определению объема агрегированной операции (этот объем назван эквивалентным объемом комплекса).

Известны несколько методов определения эквивалентного объема. Первый метод основан на решении задачи распределения ресурсов при заданном уровне ресурсов N. Если Tmin(N) - минимальное время реализации проекта, то эквивалентный объем проекта определяется выражением Wэ = Tmin(N)T Второй метод основан на решении задачи минимизации затрат при заданном сроке реализации проекта. При этом зависимость затрат на i-ую операцию от ее продолжительности определяется выражением Wisi(i)=, i = 1, n.

1i Если smin(T) – величина минимальных затрат, то эквивалентный объем проекта определяется выражением Wэ = s T1-.

min Опишем еще один метод определения эквивалентного объема, основанный на геометрической аналогии. Для этого введем понятие размерности комплекса операций.

Определение 3. Размерностью комплекса операций называется максимальное число независимых операций.

Рис. 1.1.

На рис. 1.1 приведен пример комплекса, имеющего размерность 3. Множество состояний комплекса размерности m можно изобразить в виде некоторой области m-мерного фазового пространства. Для этого определим множество М путей, покрывающих сеть, то есть таких, что каждая вершина сети принадлежит хотя бы одному пути. Как известно, минимальное число таких путей равно размерности комплекса [3].

Обозначим Qi - множество вершин сетевого графика, принадлежащих пути µi (если вершина принадлежит нескольким путям, то оставляем ее только в одном из множеств Qi). Пути µi выделены на рис. 1.толстыми дугами. Поставим в соответствие каждому пути µi координатную ось уi фазового пространства, а последовательности вершин k µi последовательность отрезков длины Wk на оси уi (рис.

1.2). Точка 0 соответствует начальному состоянию комплекса (ни одна операция не начата), а точка А - конечному состоянию (все операции завершены). Чтобы отобразить зависимости между операциями различных путей, «вырежем» из параллелограмма на рис. 1.соответствующие области. Полученная область полностью описывает множество возможных состояний комплекса. Любому процессу выполнения операций соответствует траектория, соединяющая т.0 с т.

А и проходящая в области возможных состояний. Определим расстояние между любыми двумя точками y1 и у2 следующим образом:

m (y1, y2)= y1 - y j j j= В [3] показано, что эквивалентный объем комплекса операций равен длине кратчайшей траектории, соединяющей т.0 с т. А.

Опишем алгоритм определения кратчайшей траектории, использующий геометрическую аналогию.

Рис. 1.2.

Проводим прямую, соединяющую т.0 с т. А. Эту прямую можно описать параметрически в виде yi(t)=tHi, где Hi = (см. рис. 1.2). Определяем минимальное t, начиная с Wk kµi которого прямая выходит за пределы области возможных состояний.

Геометрически это означает, что кратчайшая траектория должна проходить через отрезок ВС на рис. 1.2. Как известно, в этом случае треугольники OBD и ACD должны быть подобными. Это позволяет определить координаты точки D на рис. 1.2 или, соответственно, фронт работ F на рис. 1.1.

Далее процедура повторяется. Определяем минимальное t, начиная с которого траектория выходит за пределы области возможных состоянии, далее определяем соответствующую точку на границе области (из условия подобия треугольников) и т.д., пока не получим траекторию, состоящую из отрезков прямых, целиком лежащую в области возможных состояний.

На втором этапе происходит корректировка полученной траектории. А именно, рассматриваем три последовательных точки излома траектории и корректируем, если это необходимо, положение средней точки из условия подобия треугольников.

Пример 1.5. Рассмотрим комплекс из 5 операций (рис. 1.3, нижние числа в вершинах равны объемам операций). Пусть а = '/z, то есть fi(ui)= ui, i = 1,5.

Рис. 1.3.

Задачу определения кратчайшей траектории удобно решать в параллельной системе координат (рис. 1.4). В этой системе любой точке фазового пространства состояний соответствует фронт F, то есть линия, проходящая через соответствующие координаты этой точки на параллельных координатных осях у1, у2 и у3. Из рис. 1.4. видно, что кратчайшая траектория обязательно пройдет через фронты F1 и F2, причем между фронтами траектория будет отрезками прямой линии.

Рассмотрим три последовательных фронта Fн, F1 и F2. Из условия подобия треугольников имеем уравнение x =.

(1.3.5) 24 - x 9 + (24 - z)Рис. 1.4.

Рассматривая три последовательных фронта F1, F2 и Fк, получаем аналогично z =.

(1.3.6) 24 - z 9 + (24 - x)Получили систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными.

Ее решение можно получить на основе итерационного алгоритма.

Берем начальное значение x0 и из уравнения (1.3.6) определяем z0. На основе z0 определяем х1 из уравнения (1.3.5), затем z1 и т.д. Для определения начального значения x0 рассматриваем три фронта – F0, Fи Fk. Имеем из условия подобия треугольников x =.

49 - x 242 + Из этого уравнения находим x0:

x0 =.

25 + 32 + Рис. 1.5.

Изображение комплекса операций в параллельной системе координат позволяет в ряде случаев выписать выражение для эквивалентного объема в аналитическом виде. На рис. 1.5 представлен комплекс из операций размерности 3. При этом объемы операций на каждой координатной оси уi умножены на нормирующий множитель i, так что фронты F0 и Fk являются параллельными прямыми. Пунктирные стрелки на рис. 1.5 показывают зависимости между операциями, принадлежащими различным координатным осям. Пусть все пунктирные стрелки имеют направление слева направо, то есть начало дуги лежит левее ее конца. В этом случае прямая линия, соединяющая начальный фронт с конечным, является допустимой траекторией, и поэтому эквивалентный объем равен m 1 1.

Wэ = =[(W1 + W2 + W3) + (W4 + W5 + W6) + (W7 + W8) ] Hi i=1.4. Методы приближенного агрегирования линейных моделей Линейная зависимость скорости операции от количества ресурсов широко применяется на практике. Без ограничения общности линейную зависимость можно представить в виде ui, ui ai fi(ui)=.

(1.4.1), ui ai ai Действительно, в общем случае линейная зависимость имеет вид ki ui, ui ai fi(ui)=.

ai, ui ai ki Как известно, описание операции инвариантно к умножению скорости и объема операции на любое положительное число. Поэтому, ~ ~ 1 положив fi = fi, Wi = Wi, мы получим зависимость (1.4.1) ki ki Метод агрегирования рассмотрим сначала для случая Wi независимых операций. Обозначим i = минимальную ai продолжительность i-ой операции, T = max i i минимальную продолжительность комплекса из n независимых операций. Положим n Wi Wэ A = =.

T T i=Величины А и Т примем за параметры агрегированной операции.

Эквивалентный объем агрегированной операции определяется как сумма объемов операций, а зависимость скорости агрегированной операции от количества ресурсов N имеет вид (1.4.1), то есть N, N A fэ(N)=.

A, N A Для обоснования предложенного метода агрегирования докажем, что при N(t) A ошибка агрегирования равна 0. Действительно, момент T окончания агрегированной операции определяется из уравнения Tm N(t)dt = Wэ.

Положим N(t) Wi ui (t) =.

A T Заметим, что ui(t) ai для всех i. Поэтому момент завершения i-ой операции определяется из уравнения Ti Ti Wi N(t)dt.

i u (t)dt = Wi = A T 0 Wэ Подставляя T = получаем, что Ti = Tm. Более того, если N(t) = N, A то есть количество ресурсов не меняется во времени, то ошибка агрегирования равна 0 при любом N > A. Действительно, Wэ продолжительность агрегированной операции Tm = = T, то есть A совпадает с продолжительностью комплекса операций. Учитывая стремление к выравниванию уровня ресурсов, выполняющих каждый комплекс операций, можно утверждать, что предложенный метод агрегирования будет давать практически небольшие ошибки агрегирования.

Пусть теперь комплекс операций состоит из последовательности из п операций. В данном случае идеальное агрегирование, то есть представление комплекса в виде другого комплекса с меньшим числом операций, возможно только в случае, если несколько соседних операции имеют равные значения ai. Если несколько соседних операций имеют близкие значения аi то возможно приближенное агрегирование с ошибкой, зависящей от степени близости аi.

Рассмотрим задачу определения относительной ошибки приближения аi одним значением А для всех n операций.

Относительная ошибка определяется выражением A = max1-.

(1.4.2) i ai Представляя (1.4.6) в виде A 1- 1-, ai получаем после несложных преобразований (1- ) max ai A (1+ ) min ai.

i i Минимальная относительная ошибка определяется выражением amax - amin =, (1.4.3) amax + amin а окончательное значение 2aminamax A = (1- )amax = (1+ )amin =.

(1.4.4) amin + amax Определим (n+1)-вершинный граф с вершинами 0, 1, 2, …, n.

Вершины i, j (i < j) графа соединим дугой (i, j), длина которой равна относительной ошибке при агрегировании (j – i) операций (i+1), (i+2), …, j в одну. Обозначим эту длину i,j.

Пусть задана допустимая ошибка приближения. Поставим задачу определить агрегированный комплекс с минимальным числом операций так, чтобы относительная ошибка при замене нескольких последовательных операций одной агрегированной операцией не превышала е. Для решения этой задачи достаточно исключить из графа все дуги i, длины которых превышают, и в оставшемся частичном графе определить путь, соединяющий начальную вершину 0 с конечной вершиной n и имеющий минимальное число дуг. Эта задача легко решается алгоритмами поиска кратчайших путей в графе.

Пример 1.6. Комплекс состоит из шести последовательных операций, данные о которых приведены в таблице 1. Длины дуг ij графа, определяемые на основе выражения (1.4.3), приведены в таблице 2.

Пусть = 0,2. Граф с дугами, длины которых не превышают 0,2, приведен на рис. 1.6.

Таблица 1.

i1 2 3 4 5 Wi 12 16 10 15 8 ai 3 4 5 5 4 Ti 4 4 2 3 2 Таблица 2.

j 1 2 3 4 5 i о 0 1/7 1/4 1/4 1/4 1/1 0 1/9 1/9 1/9 1/2 0 0 1/9 1/3 0 1/9 1/4 0 1/5 Рис. 1.6.

Толстыми дугами выделены пути с минимальным числом дуг.

Как видно из рисунка, имеются два пути - (0, 2, 6) и (0, 1, 6)- из двух дуг. Они определяют два оптимальных варианта агрегирования комплекса. В первом варианте объединяются операции 1 и 2 в одну операцию с величиной А, определяемой по выражению (1.4.4):

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.