WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
УДК.65.012 Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 1999 – 55 с.

В работе рассматриваются задачи календарного планирования проектов (комплексов операций), связанные, в основном, с оптимальным распределением ограниченных ресурсов. Развиваемый в работе подход основан на идее агрегирования, то есть представления проекта (или его частей) в виде одной или нескольких операций.

Рассматриваются задачи построения агрегированных описаний и задачи оптимального распределения ресурсов в проектах, представленных агрегированными операциями.

Рецензент: д.т.н. В. В. Кульба Текст препринта воспроизводится в том виде, в котором представлен авторами.

Утверждено к печати Редакционным советом Института.

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ................................................................................................4 ГЛАВА 1. Методы построения агрегированных операции....................6 1.1. Постановка задачи календарного планирования...........6 1.2. Построение модели операции..........................................6 1.3. Идеальное агрегирование...............................................15 1.4. Методы приближенного агрегирования линейных моделей..............................................................................25 ГЛАВА 2. Оптимальное распределение ресурсов в агрегированных комплексах...............................................35 2.1. Сети с упорядоченными событиями.............................35 2.2. Оптимальность эвристического правила по степени критичности операций.....................................44 2.3. Задача календарного планирования при учете совмещения агрегированных операций........................... 49 ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................55 ЛИТЕРАТУРА.........................................................................................55 3 ВВЕДЕНИЕ Управление проектами стало широко применяться начиная с 60х годов. В настоящее время методология и методы управления проектами являются эффективным инструментом при реализации самых различных проектов от строительства дома до организации спортивных соревнований, реформирования предприятий и т.д.

Центральной задачей в управлении проектами является задача формирования плана реализации проекта или задача календарного планирования. Как правило, эта задача связана с распределением ограниченных ресурсов по операциям проекта. Поэтому задачу календарного планирования называют часто задачей оптимального распределения ресурсов в проекте (комплексе операций). Отметим сразу, что эта задача в общем случае относится к сложным многоэкстремальным или комбинаторным задачам оптимизации.

Точные эффективные методы получены только для небольшого числа частных постановок или для задач небольшой размерности. Поэтому для решения реальных задач календарного планирования развиваются два подхода.

Первый подход основан на использовании эвристических алгоритмов. Первая группа эвристических алгоритмов использует некоторые эвристические правила приоритетности операций при возникновении конфликтной ситуации, связанной с ограниченностью ресурсов. Вторая группа эвристических алгоритмов использует идею локальной оптимизации, то есть улучшения некоторого начального решения. Второй подход основан на идее агрегирования, то есть уменьшения числа операций проекта путем замены нескольких операций (подпроектов) одной операцией. Полученный агрегированный проект, как правило, допускает более эффективные методы решения (в силу меньшей размерности). Полученное агрегированное решение затем дезагрегируется в календарный план исходного проекта.

Метод агрегирования естественным путем вписывается в иерархическую организационную структуру системы управления проектом. Действительно, на верхнем уровне решения принимаются на основе агрегированных описаний руководителем всего проекта, а на нижних уровнях - руководителями подпроектов.

В работе рассматривается второй подход. Дается определение агрегирования и описание методов построения агрегированных операций. Рассматриваются методы решения агрегированных задач.

ГЛАВА 1. Методы построения агрегированных операций 1.1. Постановка задачи календарного планирования Проектом называется некоторый процесс изменений, то есть не рутинный, не повторяющийся процесс, требующий специальных методов проектного управления. Для организаций, которые в основном занимаются реализацией проектов, рекомендуется и специальная форма управления (проектно-ориентированные организации).

Проект обычно представляют как некоторое множество операций (комплекс операций). Операция это процесс, требующий затрат времени и ресурсов. Для формального описания операции необходимо задать ее объем W и зависимость скорости (интенсивности) операции от количества ресурсов, ее выполняющих.

Будем обозначать эту зависимость w = f(u(t)), где u(t) - вектор ресурсов в операции в момент t.

Пусть tн - момент начала операции, a t0 - момент ее окончания.

Тогда объем операции удовлетворяет условию tо W = f[u(t)] dt.

tн Как правило, ресурсы участвуют в операции в определенных соотношениях, называемых набором ресурсов. Набор ресурсов можно представить в виде uj = j v, j = 1,m, где m - количество видов ресурсов, v - интенсивность набора, j, количество ресурса j-го вида на единицу мощности набора.

В качестве величины интенсивности набора, как правило.

берется вид ресурса, который является основным (определяющим).

Например, количество людей, выполняющих работу, определяет требуемое количество материалов, инструмента, рабочей одежды и т.д.

Для определяющего ресурса, очевидно, = 1. Ограничение на ресурсы теперь можно записать в следующем виде:

n ui(t) N (t), j = 1, m ij j i=где n - число операций комплекса, Nj(t) - количество ресурсов j-го вида в момент t.

Ограничения на ресурсы часто связаны с ограниченностью финансов. Если обозначить cj- стоимость единицы ресурсов j-го вида в единицу времени, a S(t) - объем финансирования в момент t, то ограничения, связанные с финансированием, принимают вид n m ijvi(t) Sj(t).

c j i=1 j=Это ограничения типа мощности. Если ограничены средства, выделенные на проект, то получаем ограничения типа затрат:

n Q, Si i=где tio m Si = vi(t) dt.

c j j=tiн Наконец, если задан график Q(t) поступления ресурсов на проект (график финансирования проекта), то получаем следующие ограничения на ресурсы:

t n m ij () d Q(t).

cj i v i=1 j=Задача оптимального распределения ресурсов (задача календарного планирования) заключается в определении распределения ресурсов v(t) ={vi(t)} такого, что все операции комплекса выполнены за минимальное время (задача оптимальною быстродействия), либо потери, связанные с задержкой времени реализации комплекса или ряда его операций, минимальны (минимизация упущенной выгоды). Критерий минимизации упущенной выгоды, обычно, рассматривается в виде n Ф = (ti - di), ti di, qi i=где di - желательный срок завершения i-й операции, qi - потери в единицу времени при завершении операции позже di. Заметим, что и настоящее время в условиях дефицита финансовых средств.

насыщенности рынка и материальных, и трудовых ресурсов.

ограничивающим фактором являются финансовые ресурсы. Это позволяет рассматривать задачи календарного планирования, как задачи распределения ресурсов одного вида (финансовых ресурсов).

Такой подход тем более обоснован, поскольку он позволяет сконцентрировать внимание именно на особенностях решения задач календарного планирования на основе агрегирования. Поэтому в дальнейшем, если это не оговорено особо, будем считать, что все операции выполняются ресурсами одного вида (финансовыми ресурсами). Будем обозначать далее m u(t) = ijvi(t) c j j=количество финансовых ресурсов на i-ой операции в момент t и, соответственно, f,(u) - скорость i-ой операции в зависимости от количества ресурсов.

1.2. Построение модели операции Для решения задач календарного планирования необходимо, в первую очередь, получить описание всех операций, то есть определить объем каждой операции и зависимость f(u) скорости операции от количества ресурсов. Дело в том, что на практике, как правило, известны продолжительности операций при различных количествах ресурса на ней, то есть зависимости (v). Если операции выполняются с фиксированным уровнем ресурсов (v принимает только одно значение) или с постоянным уровнем ресурсов (количество ресурсов в процессе выполнения операции не меняется), то проблем не возникает.

Действительно, в этом случае W W (v)= или f(v)=, f(v) (v) и скорость операции определяется с точностью до параметра W (при известной зависимости (v) объем W может выбираться произвольно).

Ситуация становится сложнее, если операция выполняется с переменным уровнем ресурсов.

Пример 1.1. Пусть операция состоит из двух частей, каждая из которых может выполняться при двух уровнях ресурсов. Обозначим ij - продолжительность i-ой части при j-ом уровне ресурса, i = 1, 2;

j = 1, 2;

T1 = 11 + T2 = 12 + - продолжительности операций при выполнении обеих частей, соответственно при первом и втором уровнях ресурсов. Пусть 11 =2, 21 =3, 12 =1, 22 =2, T1=5, T2=3.

Примем объем операции W = 15. Тогда при T1 = 5 средняя скорость операции w1 = 3, а при Т2 = 3 – w2 = 5. Пусть операция выполняется сначала при первом уровне ресурсов в течение 2 дней, а затем при втором уровне ресурсов. Тогда очевидно, что операция будет закончена за 4 дня, так как 11 + 22 = 4. Определим, однако, момент завершения операции на основе средних скоростей w1 и w2;. За два дня будет выполнено при скорости w1 = 3 х(2) = 6 ед. объема операции.

Оставшиеся 15 - 6 = 9 ед. объема при скорости w2 = 5 будут выполнены за 9/5 = 1,8 дня. В целом операция будет завершена за 3,дня, что меньше истинного срока t = 4. Если выполнять операцию сначала при втором уровне ресурса (w2 = 5) в течение одного дня, а затем при первом (w1 = 3), то операция, как легко проверить, завершится за 41/3 дня, что больше 4. Ошибки в определении времени завершения операции объясняются тем, что скорость завершения операции является средней величиной. Для уменьшения ошибки следует соответствующим образом выбрать объемы частей операции.

Так, если взять объем первой части x1 = 7,5, и объем второй части x2 = 7,5, то ошибки не возникнет. Действительно, при выполнении первой 7,части со скоростью w1 = 3, она будет завершена за /3 = 2,5 дня.

Вторая часть при скорости w2 = 5 будет завершена за 7,5/5 = 1,5 дня, что в сумме даст 4 дня.

Рассмотренный пример показывает, насколько важно выбрать объемы частей операции при ее выполнении с переменной интенсивностью.

Рассмотрим задачу выбора объемов частей операции в общем случае. Пусть операция состоит из n частей, каждая из которых может выполняться при m различных уровнях ресурсов. Обозначим ij продолжительность i-ой части при j-ом уровне ресурсов, уi - объем i-ой части операции, Qj - продолжительность операции при j-м уровне ресурсов. Обозначим далее xij = 1, если i-ая операция выполняется j-м уровнем ресурсов, xij = 0 в другом случае. Тогда продолжительность операции определяется на основе ее описания (то есть на основе объемов частей {уi} и продолжительностей {Qj}) и будет равна Q = Q xi, (1.2.1) yi j i, j а истинная продолжительность T = ij.

(1.2.2) xij i,j Относительная ошибка описания операции составит Q = 1-. (1.2.3) T Поставим задачу определить объемы частей {уi} и продолжительности {Qj} так, чтобы ошибка была минимальной.

Очевидно, что если существуют числа {уi} такие, что ij = уiTj, где Tj =, то ошибка = 0. Запишем условие (1.2.3) в виде ij i Q - 1- T (1.2.4) (1- )T Q (1+ )T.

Условия (1.2.4) можно представить в виде двух неравенств:

((1+ ) 0, min )ij - yiQ j j i (yiQ - (1- )ij) 0.

min j j i Наконец, введя новые переменные:

ui = min((1+ )ij - yiQ ), j j vi = min(yiQ - (1- )ij), j j приведем задачу к следующему виду:

min, 0, (1.2.5) ui i 0, vi i ui = (1+ )ij - yiQ, i = 1, n, j = 1, m, j vi = yiQ - (1- )ij i = 1, n, j = 1, m.

j (1.2.5) Это задача нелинейного программирования. Если зафиксировать {уш} или {Qj}, то она становится задачей линейного программирования.

Поэтому задачу (1.2.5) можно решать как последовательность задач линейного программирования, фиксируя сначала значения {Qj} (например, взяв Qj =, j = 1,m ), а затем {уi} и т.д.

ij i Заметим, что в ряде случаев величины {Qj} выбираются из других соображений. Так, например, мы хотим получить описание операции с линейной зависимостью скорости операции от количества W W ресурсов, то есть f(w) = u = /Q. В этом случае Q =, где uj uj количество ресурсов, соответствующее j-му уровню. Если принять W = 1, то Q = становится известным и задача (1.2.5) является j u j задачей линейного программирования.

Рассмотрим приближенный метод построения описания операции. В его основе лежит идея приближенного представления чисел ij в виде yiQj. Относительная ошибка такого представления составит yiQ j (1.2.6) = max1-.

i, j ij Представим (1.2.6) в виде ij ij (1.2.7) (1- i)max yi (1+ i)min j j Q Q j j или ij ij max - min j j Q Q j j (1.2.8) i =, ij ij max + min j j Q Q j j = max i.

i Легко показать, что задача минимизации сводится к задаче минимизации = max i, где i max ijw j j (1.2.9) i =, w =.

j min ijw Q j j j Условие (1.2.9) легко сводится к виду w 1 ik j max = qkj. (1.2.10) i wk ij Обозначим n wj = j, n =, n qkj =. Тогда система (1.2.10) kj сведется к виду (1.2.11) j - k -, j, k = 1, m.

kj Необходимо определить минимальную 0, при которой система (1.2.11) имеет решение.

Определим полный граф с m вершинами и длинами дуг ( - ).

kj Как известно, система (1.2.11) имеет решение, если в графе отсутствуют контуры положительной длины.

Алгоритм решения задачи.

1 шаг. Положим 0 = 0. Определим контур µ1 положительной длины. Если таких контуров нет, то задача решена ( = 0 = 0). Если L(µ1) > 0, то полагаем длины дуг равными - 1, где ij L(µ1) 1 = n(µ1) ((µ) - число дуг контура µ).

k-й шаг. Определяем контур µk положительной длины, при длинах дуг - k-1. LkЕсли Lk = L(µk) 0, то = k-1. Если L(µk) > 0, то ij определяем k = Lk, nk где nk = n(µk), и переходим к следующему шагу.

За конечное число шагов будет получена величина такая, что в графе отсутствуют контуры положительной длины при длинах дуг -. Соответствующие потенциалы вершин {i} и величина ij определяют оптимальное решение задачи (1.2.11), а значит (1.2.10) и (1.2.7). Определив i, мы можем найти уi и, следовательно, получить полное описание операции.

Пример 1.2. Возьмем 11 = 2, 21 = 3, 12 = 1, 22 = 2. Имеем 11 21 2 q12 = max ; = max ; = 2, 12 22 1 12 22 1 2 q21 = max ; = max ; =.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.