WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |

~ (10) ( fi ) = sup sup min { ~ (si ) }.

si fi iI xXi ( fi ) sS( x) Выражение (10) есть функция принадлежности нечеткого вы~ ~ ~ ~ игрыша АЭ в ситуации игры s = ( s1, s2, …, sn ).

Здесь и далее тильда обозначает нечеткость соответствующей переменной.

В общем случае, когда предпочтения АЭ на множестве коллективных решений нечеткие, то есть заданы нечеткими отноше~ ниям предпочтения (НОП) Ri с функциями принадлежности ~ (x, y), x, y X, i I. Фиксируем для i-го АЭ нечеткую обстаRi ~ ~ ~ новку s-i, тогда (8) можно записать как ~ (x, si, s-i ). Аналоx ~ ~ ~ гично можно записать (10) как: ( fi, si, s-i ). Тогда обобщенное fi ~ НОП i-го АЭ на множестве Si есть [75, 82]:

~ ~ ~ ~ (11) (~i1, si2, s-i ) = sup min { ~ (x1, si1, s-i ), s i x x1,x2X ~ ~ ~ ~ (x1, si2, s-i ), (x1, x2 ) }.

x Ri Имея НОП (11) можно по аналогии с тем как это делается в [82] построить для каждого АЭ множество максимально недоминируемых при данной обстановке альтернатив, а затем воспользоваться (6) для определения нечеткого равновесия Нэша. Такой путь возможен, но трудоемок, поэтому вспомним, что в рассматриваемой модели предпочтения АЭ четкие, и вернемся к выражению (10).

~ Введем на множестве Si отношение « ~ » доминирования s-i ~ ~ ~ стратегий: при фиксированной остановке s-i игры si2 ~ sis-i тогда и только тогда, когда:

~ ~ ~ ~ ~ ~ (12) fi1 fi2 : fi2 fi1 и ( fi1, si1, s-i ) ( fi2, si2, s-i ).

fi fi Рациональным будем считать выбор активным элементом недоминируемой стратегии. Вектор недоминируемых стратегий назовем нечетким равновесием Нэша. Отметим, что в предельном случае – при переходе к четким стратегиям – введенное нечеткое равновесие Нэша совпадает с (6).

~ Обозначим P( ) – множество нечетких равновесий Нэша.

~ ~ Очевидно, что выполнено P( ) P( ), то есть P( ).

Введем следующее предположение:

A.2.2. Функции выигрыша АЭ строго однопиковые с точками ~ пика ri; нечеткие множества si, i I, нормальны1.

Теорема 2.1. В нечетком анонимном механизме активной экспертизы для любого АЭ и для любого равновесного по Нэшу его сообщения существует недоминируемое равновесное по Нэшу четкое сообщение.

Доказательство. В силу предположения А.2.2 множество Xi(fi) состоит не более чем из двух точек (и не менее, чем одной точки), которые мы обозначим xi- ( fi ) и xi+ ( fi ), xi- ( fi ) xi+ ( fi ).

Очевидно, что при этом выполнено:

fi1 > fi2 xi- ( fi2 ) xi- ( fi1) ri xi+ ( fi1 ) xi+ ( fi2 ).

Выражение (9) при этом упрощается и принимает вид:

~ (13) ( fi ) = max { ~ ( xi- ( fi ) ), ~ ( xi+ ( fi ) )}.

x x fi ~ Пусть при нечеткой обстановке s-i для i-го АЭ существует ~ нечеткая недоминируемая стратегия si*. Сделаем ее четкой (произведем «дефаззификацию»), положив соответствующую функцию принадлежности (si ) равной нулю всюду, за исключением ~ si* точки, на которой достигается максимум в (12)-(13).

Получим четкую недоминируемую стратегию i-го АЭ. Аналогичным образом можно поступить по одиночке и для других АЭ, получив в итоге четкое равновесие Нэша типа (6), эквивалентное исходному. • Следствием утверждения теоремы 2.1 является тот факт, что для любого АЭ и для любой его нечеткой стратегии всегда существует не худшая для него четкая стратегия. Поэтому, с одной стороны, можно утверждать, что допущение возможности сообщения экспертами нечеткой информации качественно не изменяет2 структуру и свойства равновесных стратегий.

Нормальным называется нечеткое множество, максимальное значение функции принадлежности которого равно единице [82].

С содержательной точки зрения нечеткое коллективное решение может давать лицу, принимающему решение (ЛПР), большую информацию, нежели чем четкое коллективное решение экспертов.

С другой стороны, при нечетких сообщениях АЭ расширяется ~ множество равновесных по Нэшу стратегий (P( ) P( ) ), что порождает определенные трудности при построении соответствующего прямого механизма (см. также модель интервальной экспертизы ниже). Поясним последнее утверждение более подробно. Соответствующим исходному механизму (s), : S X, пряn мым механизмов h(r), h: X, называется механизм [17, 78, 85], в котором АЭ сообщают центру информацию о своих точках пика, после чего центр вычисляет равновесные s*(r) в исходном механизме при данных точках пика заявки, то есть h(r) = (s*(r). Если соответствующий прямой механизм неманипулируем, то есть в нем сообщение достоверной информации является равновесной стратегией каждого АЭ, то он называется эквивалентным прямым механизмом [78, 85].

Если для каждого профиля предпочтений (профилем предпочтений в случае однопиковых целевых функций называется вектор точек пика) в исходном (непрямом) механизме существует единственное равновесие Нэша (вектор равновесных по Нэшу сообщений АЭ), то это равновесие подставляется в соответствующий прямой механизм. Именно так дело обстоит в четком механизме активной экспертизы, в котором существует единственное равновесие Нэша и для которого можно построить эквивалентный прямой механизм.

Сложнее дело обстоит, когда существует несколько равновесий Нэша. В этом случае для задания соответствующего прямого механизма используют соответствие отбора равновесий, определяющее единственное для каждого профиля предпочтений равновесие в непрямом механизме. При этом возникают следующие трудности. Основная проблема заключается в том, что при практическом использовании соответствия отбора равновесий нет никакой гарантии, что АЭ выберут равновесие, отбираемое применяемым соответствием. Выходов из этой ситуации несколько: либо использование максимального гарантированного (по множеству равновесий при каждом профиле) результата, либо введение дополнительных гипотез о поведении АЭ (см. интервальные модели экспертизы ниже). В первом случае уменьшается эффективность управления, во втором требуется обоснование вводимых гипотез.

Таким образом, можно сделать следующий качественный вывод – при использовании механизмов нечеткой активной экспертизы увеличивается информация, поступающая к ЛПР, но, в то же время, возникает неопределенность относительно равновесных стратегий экспертов, снятие которой либо приводит к снижению эффективности данного механизма, либо требует дополнительной информации для введения обоснованных предположений о поведении экспертов. И тот и другой способ применимы далеко не во всех ситуациях, встречающихся на практике, поэтому наиболее прямолинейным способом решения проблемы множественности равновесий является отказ от нечеткости, то есть переход к четким механизмам экспертизы, в которых равновесие единственно.

Частным случаем механизмов нечеткой активной экспертизы является класс механизмов интервальной активной экспертизы, к описанию которых мы и переходим. Пусть каждый эксперт (ак~ тивный элемент) сообщает центру отрезок si = [ si- ; si+ ], где 0 si- si+ 1, i I. Механизм интервальной экспертизы является частным случаем механизма нечеткой экспертизы, так как первому соответствует конкретная функция принадлежности:

1, si [si- ; si+ ] (14) ~ (si ) =, i I.

si 0, si [si- ; si+ ] При использовании анонимного механизма множество S(x) имеет вид:

n S(x) = {s S | si = nx}.

i=Коллективное решение является интервалом с функцией принадлежности:

1, nx [ n si- ; n si+ ] i=1 i=(15) ~ (x) =.

x n n 0, nx [ si- ; si+ ] i=1 i=Интервальный выигрыш i-го АЭ имеет функцию принадлеж~ ности ( fi ), определяемую следующим образом fi n n n n s-; s+ ] или nxi+ ( fi ) [s-; s+ ] 1, nxi- ( fi ) [ i i i i i =1 i =1 i =1 i =~ (16) =.

fi n n n n 0, nxi-( fi ) [ i i ] и nxi+ ( fi ) [ i i ] s-; s+ s-; s+ i =1 i=1 i=1 i =Построим равновесие Нэша. Пусть АЭ упорядочены в порядке возрастания их точек пика: r1 r2 … rn. Построим разбиение n - i n - i +отрезка [0; 1]: = [ ; ], i I. По аналогии с четким i n n случаем [15] можно утверждать, что если существует (а он если существует, то единственен) АЭ с номером k таким, что rk, то k он является диктатором, то есть его тока пика будет принадлежать интервальному коллективному решению.

- + Обозначим i = s-, i = s+. Структура равновесия j j ji ji * ~ Нэша s и его свойства в рамках предположений А.2.1-А.2.даются следующей теоремой.

~ Теорема 2.2. 1) Если i > nri, то si* = [0; a], где a – произвольное число из отрезка [0; 1];

+ ~ Если i + 1 < nri, то si* = [a; 1], где a – произвольное число из отрезка [0; 1];

- + ~ Если nri [i ; i + 1], то si* = [a; b], где a b и a [0; min {nri - i ; 1}].

Доказательство теоремы 2.2 тривиально, так как заключается в проверке того, что построенные сообщения при фиксированной обстановке являются недоминируемыми, и опускается.

Следствие. В интервальном механизме активной экспертизы диктатором является АЭ с номером k (см. определение выше).

Равновесные сообщения имеют следующий вид:

~ ~ (17) i < k si* = [0; a], i > k si* = [b; 1], * ~ а сообщение диктатора таково, что rk ( s ).

Отметим, что в соответствии с результатом теоремы 2.2 одним из равновесий Нэша является сообщение всеми экспертами одинаковых сообщений, совпадающих с отрезком [0; 1] (см. выражение (17)), то есть всем интервалом возможных значений оцениваемой величины. Понятно, что подобные сообщения (являющиеся равновесными!) не несут для ЛПР никакой информации.

Основной качественный результат теоремы 2.2 заключается в том, что в интервальных механизмах активной экспертизы существует множество равновесий Нэша. Для уменьшения их числа необходимо вводить те или иные гипотезы о поведении АЭ или модифицировать механизм, например, ограничивать «ширину» отрезков, сообщаемых АЭ, и т.д.

Выше мы рассмотрели модель нечеткой активной экспертизы, в которой механизм планирования и целевые функции АЭ были четкими, а нечеткими могли быть сообщения АЭ. «Фаззифицировать» можно и другие параметры, например, механизм планирования и др. В качестве иллюстрации в заключение настоящего раздела кратко рассмотрим модель экспертизы, в которой все параметры за исключением предпочтений АЭ четкие.

~ Пусть Ri – НОП i-го АЭ, i I, на множестве X = [0; 1], ~ имеющее функцию принадлежности (x, y), i I. Если стратеRi гии АЭ и механизм планирования четкие, то четким является и результат экспертизы – коллективное решение.

~ Механизм планирования ( ) и НОП АЭ Ri индуцируют на ~ множестве Si = [0; 1] НОП Qi с функцией принадлежности ~ (si, si2, s-i ). При фиксированной обстановке игры s-i, в частQi ~ ном случае, функцию принадлежности НОП Qi можно записать в 1 ~ ~ виде: (si, si2, s-i ) = ( (si, s-i ), (si2, s-i )). Значит НОП Qi Ri ~ ~ Qi является прообразом НОП Ri при отображении ( ), то есть объединением всех нечетких множеств в Si Si, образы которых ~ при этом отображении лежат в нечетком множестве (опредеQi ление прообраза нечеткого множества для общего случая приведено в [82]).

Построим в Si нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив с функцией принадлежности ~ ~ (18) (si, s-i) = 1 - sup [ (z, si, s-i ) - (si, z, s-i ) ].

i Qi Qi zSi Функцию (18) можно рассматривать как функцию выигрыша i-го АЭ и определять по ней нечеткое равновесие Нэша. В предельном случае (при переходе к четким предпочтениям АЭ) нечеткое равновесие Нэша переходит в четкое (см. выражение (6)).

2.2. Механизмы стимулирования Рассмотрим задачу оперативного управления продолжительностью проекта. Пусть проект состоит из двух участников – руководителя проекта (центра в терминологии теории активных систем [22, 78]), осуществляющего управление проектом, и исполнителя (активного элемента (АЭ) в терминологии теории активных систем). Таким образом, проект рассматривается в виде активной системы (АС), имеющей следующую структуру.

Участники АС - менеджер проекта (центр) и исполнитель (АЭ).

Центр выполняет планирующие, управляющие и контролирующие функции и несет ответственность за завершение проекта в директивные сроки с требуемым качеством и запланированными затратами. Активный элемент является исполнителем работ по проекту, то есть от его действий (и, быть может, от состояния природы – см.

первую главу) зависят качество, сроки и т.д.

В качестве основного выберем такой показатель как время завершения проекта (см. также обсуждение во введении к данной главе). Если в процессе реализации проекта оказывается, что прогнозируемое время его завершения отличается от планового, то возникает необходимость в оперативном управлении – дополнительных мерах по сокращению продолжительности выполнения незавершенной части проекта. Реализация этих мер требует соответствующих затрат, то есть возникает задача определения оптимальных коррекционных воздействий, причем критерием эффективности, как правило, выступают финансовые показатели, зависящие как от продолжительности проекта (санкции и штрафы за задержку сроков завершения и т.д.), так и от затрат на выполнение проекта (см. примеры в первой главе).

При решении задачи управления центр должен учитывать активность АЭ, то есть вознаграждение исполнителя в зависимости от сокращения им сроков должно быть согласовано с его предпочтениями. В теории активных систем задачи согласования предпочтений и интересов изучаются при синтезе механизмов стимулирования [77, 79], поэтому рассмотрим постановку задачи стимулирования исполнителей, в которой критерием эффективности являются финансовые показатели центра, зависящие в свою очередь от продолжительности проекта.

Последовательность изложения материала настоящего раздела следующая. Сначала рассматривается задача стимулирования в детерминированной АС, то есть в АС, функционирующей в условиях полной информированности о существенных внешних и внутренних параметрах. Затем исследуются более сложные модели, учитывающие возможность наличия интервальной, вероятностной или нечеткой неопределенности. В качестве одного из способов снижения неопределенности предлагается также использовать механизмы с сообщением информации, которые подробно рассматриваются в следующем разделе.

2.2.1. Детерминированная АС (отсутствие неопределенности) Будем считать, что известны плановое T0 и прогнозируемое T времена завершения проекта (ограничимся наиболее распространенным на практике случаем T T0). Как отмечалось выше, рассматриваемая модель охватывает как задачи планирования (решаемые до начала реализации проекта), так и задачи оперативного управления, которые могут последовательно решаться в ходе реализации проекта по мере поступления новой информации – уточнения прогнозируемого времени завершения проекта и других параметров (см. модели в разделах 1.2. и 1.3, а также механизмы экспертного прогнозирования в разделе 2.1).

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.