WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |

Отличие моделей заключается в том, что в задаче (13), по сравнению с задачей (10), АЭ достоверно знает зависимость между своим действием и результатом деятельности, а центру попрежнему известен лишь интервал возможных значений. Следовательно, имеет место асимметричная информированность участников. Так как в обоих случаях информированность центра одинакова, то одинакова в обоих случаях и максимальная гарантированная эффективность управления (максимальное гарантированное значение целевой функции центра на множестве гарантированно реализуемых действий АЭ). Отличие в информированности АЭ приводит к тому, что увеличивается гарантированное значение его целевой функции. Системы стимулирования (11) и (14) одинаковы, однако АЭ имеет возможность «обмануть центр», то есть выбрать действие Q-(y*) (обеспечив тем самым z = Q-(y*)) и получить при этом вознаграждение c(y*) превышающее его реальные затраты c(Q-(y*)).

В предельном случае, то есть при увеличении информированности участников АС, задачи (10) и (13) и их решения переходят, соответственно, в детерминированную задачу (3) и ее решение (5), то есть принцип соответствия [79] имеет место.

2.2.3. Внешняя вероятностная неопределенность относительно результатов деятельности АЭ В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе, предположим, что реальное сокращение z A0 = [0; + ) продолжительности проекта зависит от действия АЭ, но является случайной величиной с интегральной функцией условного распределения F(z, y) – модель теории контрактов [79, 105, 107, 133-136, 144].

Будем считать, что, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют информацию лишь об этом распределении. Кроме того, предположим, что действия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, которому становится известен лишь результат деятельности. Поэтому стимулирование АЭ центром уже не может (как в детерминированном случае) основываться на действиях АЭ, а должно зависеть от случайной величины – результата деятельности.

Дополнительно к предположениям А.2.4 и А.2.5 введем следующее предположение относительно свойств функции распределения (модель простого активного элемента [22, 79, 42]):

F(z), z < y А.2.7. F(z, y) = 1, z y, F(T - T0) < 1.

Содержательно предположение А.2.7 означает, что реальное сокращение продолжительности проекта оказывается не большим, чем действие АЭ. Кроме того, считается, что, даже если АЭ ориентируется (выбирает действие) на такое сокращение длительности, что продолжительность проекта в детерминированном случае оказалась бы меньшей, чем плановая, то существует ненулевая вероятность того, что фактическая продолжительность проекта превысит плановую.

Так как функции полезности (не путать с целевыми функциями! [78]) участников проекта:

(16) ( (z), z) = (z) + (z), (17) f( (z), z) = (z) – c(z) зависят от случайных величин, распределения которых им известны, будем считать, что они выбирают свои стратегии, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом, целевые функции участников определяются их ожидаемой полезностью, то есть имеет место1: (, y) = E (, z) = E { (z) + (T – T0 – z)}, f(, y) = E f(, z) = E { (z) – c(z)}, а задача управления имеет вид:

( (z), z) p(z, y* ) dz min M, y*[0;T -T0 ] A (18) y0* Arg max f ( (z), z) p(z, y) dz.

yA Символ «E» обозначает оператор вычисления математического ожидания.

* Теорема 2.5а. Оптимальное решение (z) задачи (18) имеет вид:

c(z), z z* * (19) (z*, z) =, 0, z > z* где оптимальное значение результата деятельности АЭ z* определяется следующим выражением:

* (20) z* = arg min (, y).

y[0,T -T0 ] Доказательство теоремы 2.5а использует тот факт, что в модели простого АЭ стационарные точки функции полезности и целевой функции совпадают, то есть, практически, повторяет доказательство утверждения 3.1.15, приведенного в работе [79], и по этой причине опускается.

Если затраты АЭ зависят не от результата его деятельности, а непосредственно (и только!) от его действия, то есть c = c(y), то дело обстоит несколько более сложным образом. Для этого случая оптимальное решение задачи оперативного управления дается следующей теоремой.

Теорема 2.5б. Если затраты АЭ зависят от его действия, то оп* тимальное решение (z) задачи (18) имеет вид:

c( y*), z = y* * (21) (y*, z) =, - F( y*) 0, z y* где оптимальное значение результата деятельности АЭ z* определяется следующим выражением1:

(22) z* = arg max {с(y) + E (T – T0 – z)}.

yA Докажем, что система стимулирования (21)2 реализует действие y* A. Ожидаемая полезность АЭ равна:

Символ «E» обозначает оператор математического ожидания.

Отметим, что в работе [42] для близкой к рассматриваемой задачи (также в модели простого АЭ) была доказана оптимальность следующей z c'(x) системы стимулирования: w0(z) = dx.

1- F(x) y f(y, ) = (z) p(z) dz + (y) [1 – F(y)] – c(y).

Подставляя систему стимулирования (21), легко видеть, что * * выполнено условие реализуемости: y A f(y*, ) f(y, ).

Докажем, что (21) минимизирует затраты центра на стимулирование. Предположим противное, то есть пусть существует ~ M, такое, что выполнено:

y* * (23) ~ (z) p(z) dz + ~ (y*) [1 – F(y*)] < E (y*, z) = c(y*).

Подставляя в условие реализуемости действия y* системой стимулирования ~ конкретное значение действия АЭ: y = 0, получим (первое неравенство следует из (23)):

0 > ~ (z)p(z, y*) dz – c(y*) ~ (0) – c(0), Aчто противоречит А.2.4. • Сравним эффективность стимулирования в двух случаях. Первый случай - когда функция затрат АЭ зависит от результата его деятельности, второй случай когда функция затрат АЭ зависит от его действия. Так как множества A и A0 совпадают, то будем рассматривать одну и ту же функцию затрат c( ).

Следствие. Эффективность стимулирования в случае, когда затраты АЭ зависят от ненаблюдаемого центром действия АЭ, не выше, чем в случае, когда затраты АЭ зависят от его результата деятельности, наблюдаемого центром.

Вычислим ожидаемое значение функции стимулирования (19):

z* * E (z*, z) = c(z) p(z) dz + c(z*) [1 – F(z*)] c(z*).

Последнее неравенство получено оценкой интеграла сверху в силу монотонности и неотрицательности затрат АЭ.

В ходе доказательства теоремы 2.5б было установлено, что ожидаемое значение функции стимулирования (21) равно следую* щей величине : E (y*, z) = c(y*).

Если приравнять действия y* и z*, реализуемые, соответственно, системами стимулирования (21) и (19), то получим:

* * E (y*, z) E (z*, z).

Так как минимальные затраты на стимулирование по реализации любого действия системой стимулирования (21) выше, чем системой стимулирования (19), то по теореме о минимальных затратах на стимулирование [78] получаем утверждение следствия. • Итак, теоремы 2.5а и 2.5б дают решение задачи синтеза оптимальной функции стимулирования, побуждающей простой активный элемент к сокращению времени выполнения проекта.

Проверим выполнение принципа соответствия – при «предельном переходе» от вероятностной АС (рассматриваемой модели простого АЭ) к соответствующей детерминированной АС оптимальные решения должны совпадать. Действительно, система стимулирования (19) переходит в оптимальную в детерминированной модели компенсаторную систему стимулирования [79], а (21) в точности совпадает с оптимальной квазикомпенсаторной системой стимулирования (4).

2.2.4. Внешняя нечеткая неопределенность относительно результатов деятельности АЭ В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе, предположим, что реальное сокращение z A0 = [0; + ) продолжительности проекта зависит от действия АЭ, но, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют о нем нечеткую информацию ~ ~ P (z, y), P : A A0 [0; 1]. По-прежнему будем считать, что действия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, а стимулирование зависит от результата деятельности, в то время как целевая функция центра зависит от действия АЭ (если в рассматриваемой модели с нечеткой неопределенностью целевая функция центра зависит от результата деятельности АЭ, то в рамках вводимых ниже предположений задача управления сводится [79] к детерминированной, то есть описанной выше).

Дополнительно к предположениям А.2.4 и А.2.5 введем следующее предположение относительно свойств нечеткой информационной функции:

~ А.2.8. Нечеткая информационная функция P (z, y) 1нормальна [82], то есть:

~ ~ y A sup P (z, y) = 1 и z A0 y A: P (z, y) = 1.

zAТак как функции полезности участников проекта (центра и АЭ): ( (z), z) и f( (z), z) = (z) – c(z) зависят от неопределенных величин, то будем считать, что они выбирают свои стратегии, недоминируемые по индуцированному нечеткому отношению предпочтения (НОП) [82]. Множество максимально недоминируемых (по НОП, индуцированному на множестве A функцией полез~ ности АЭ f(z) и нечеткой информационной функцией P (z, y)) ~ обозначим P(RA0 ( ), A). Алгоритм построения этого множества описан в [75, 82]. Таким образом, задача управления имеет вид:

( ( y* ), y* ) min M, y*[0;T -T0 ] (24).

~ y* P(RA0 ( ), A) ~ Обозначим Q(z) = {y A | P (z, y) = 1}. Решение задачи (24) дается следующей теоремой.

* Теорема 2.6. Оптимальное решение (z) задачи (24) имеет вид:

c(z* ), z = z* * (25) (z) =, 0, z z* где оптимальное значение результата деятельности АЭ z* в рамках гипотезы благожелательности определяется следующим выражением:

(26) z* = arg min { min [c(z) + (T – T0 – y)]}.

zA0 yQ(z) Если гипотеза благожелательности не выполнена, то оптимальное значение результата деятельности АЭ z* определяется следующим выражением:

(27) z* = arg min { max [c(z) + (T – T0 – y)]}.

zA0 yQ(z) Множество максимально недоминируемых (по НОП, индуцированному на множестве A целевой функцией АЭ f(, z) и нечеткой ~ информационной функцией P (z, y)) действий АЭ описывается достаточно сложно (см. [75, 82]), и использование такого описания для решения задачи стимулирования затруднительно. Поэтому в теории активных систем (по аналогии с тем как это делалось в теории принятия решений [82]) был предложен подход, заключающийся в сведении задачи анализа зависимости множества недоминируемых альтернатив от системы стимулирования к анализу зависимости решения задачи четкого математического программирования (ЧМП) от системы стимулирования [75, 79]. Более конкретно, было доказано, что, если выполнено предположение А.2.8, то действие y0 A является четко недоминируемым [82] тогда и только тогда, когда существует результат деятельности z0 A0, такой, что пара (y0, z0) является решением следующей задачи ЧМП:

~ (28) f(, z) max, P (z, y) = 1, y A, z A0.

В соответствии с результатом теоремы 2.3 при использовании системы стимулирования (25) максимум целевой функции АЭ достигается в точке z. Кроме того, (25) – минимальная (квазикомпенсаторная) система стимулирования, реализующая этот результат деятельности. В соответствии с (28) множество Q(z) A и только оно [78] будет множеством четко недоминируемых действий, то ~ * есть P(RA0 ( (z)), A) = Q(z).

Значит АЭ выберет одно из четко недоминируемых при данной системе стимулирования действий. Осталось устранить неопределенность относительно конкретного выбора АЭ. В рамках ГБ для этого используется минимум по множеству Q(z), при использовании МГР – максимум (см. выражения (26) и (27)), то есть на втором этапе (этапе согласованного планирования [19, 78]) центру остается решить задачу поиска оптимального реализуемого действия АЭ – см., соответственно, выражения (26) и (27). • Отметим, что при предельном переходе к соответствующему 1, z = y ~ детерминированному случаю (в котором P (z, y) = 0, z y ) из теоремы 2.6 следует, что оптимальным становится решение (5), которое оптимально в соответствующей детерминированной задаче.

1, z [ y(1 - ); y(1 + )] ~ Пример 6. Пусть P (z, y) = 0, z [ y(1 - ); y(1 + )], где [0; 1]1. Тогда Q(z) = [z - ; z + ]. Вычислим множество z z Q(z) = [ ; ]. Тогда оптимальное решение имеет вид:

1 + 1 - z* = arg min { min [c(z) + (T - T0 - y)]} = zA0 yQ(z) z = arg min [c(z) - (T - T0 - )].

zA1 + Получили скалярную задачу оптимизации. В случае линейных штрафов получаем, что оптимально решение (6), где ( ) = c’-1( ).

1 + Отметим, что полученное решение совпадает с решением, оптимальным в случае соответствующей интервальной неопределенности (см. теоремы 2.4а и 2.4б), то есть методы учета этих двух типов неопределенности согласованы.

При отсутствии неопределенности ( = 0) получаем решение, в точности совпадающее с (5). Легко проверить, что с ростом неопределенности (увеличением [0; 1]) эффективность стимулирования не возрастает. • В случае интервальной и вероятностной неопределенности и симметричной информированности участников АС относительно времени завершения проекта устранение неопределенности производится, соответственно, применением МГР и ожидаемых полезностей, то есть методами, исследованными достаточно подробно [79].

Рассматривать их адаптацию к частному случаю задачи оперативного управления временем завершения проекта мы не будем, поэтому сконцентрируем основное внимание на случае нечеткой неопределенности относительно времени завершения проекта, который, практически, не исследован в литературе по управлению АС в условиях неопределенности.

При данной функции принадлежности нечеткая неопределенность может рассматриваться как интервальная неопределенность – см.

обсуждение совпадения соответствующих решений ниже.

2.2.5. Внешняя нечеткая неопределенность относительно времени завершения проекта Предположим, что результат деятельности АЭ совпадает с его действием, однако относительно времени T завершения проекта имеется нечеткая информация: (t), : [0; + ) [0; 1]. Задача T T оперативного управления заключается в выборе центром системы стимулирования, которая минимизировала бы его выплаты с учетом имеющейся информации.

Воспользовавшись результатом теоремы 2.3, получаем, что минимальные затраты центра на стимулирование АЭ, побуждающие последнего сократить продолжительность проекта на величину y 0 равны c(y).

Четкая целевая функция центра равна:

(y, T) = c(y) + (T – T0 – y).

Обозначим Y(T) = Arg min (y, T). Множество Y(T) может расyA сматриваться как нечеткое отображение (t, y): A A [0; 1] Y времени окончания проекта в действия АЭ, то есть:

1, yArg min ( y,t) yA (29) (t, y) = Y 0, yArg min ( y,t) yA Образом нечеткого множества (t) при нечетком отображении T (t, y) в соответствии с принципом обобщения [82] будет нечеткое Y множество (y) с функцией принадлежности (30) (y) = sup min { (t); (t, y)}.

T Y tОбозначим Amax = Arg max (y) – множество действий АЭ, yA максимизирующих функцию принадлежности (30).

Оптимальным будем считать максимизирующее решение [82], то есть любое действие из множества Amax. Из вышесказанного следует справедливость следующей теоремы.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.