WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |

Предположим, что в случае задержки выполнения проекта центр выплачивает, например, заказчику или вышестоящей организации, штрафы (t), t T0 (в частном случае, например, штрафы могут быть линейны: (t) = t). Исполнитель имеет возможность сократить срок реализации проекта (относительно прогнозируемого) или, что то же самое – сократить продолжительность одной или нескольких критических операций, что требует от него определенных затрат1 c(y), где y A – время, на которое сокращается продолжительность проекта. Переменная y может интерпретироваться как действие АЭ – выбираемая им стратегия.

Следует подчеркнуть, что в настоящем и следующем разделе c(y) – затраты исполнителя, но не затраты на проект (как это имело место во введении и первой главе)! Для того, чтобы побудить АЭ к выбору некоторой стратегии центр должен использовать соответствующую систему стимулирования, то есть назначить зависимость (y) вознаграждения АЭ от выбираемых им действий. Эта зависимость ( ) M называется функцией стимулирования (M – множество допустимых функций стимулирования).

Интересы участников проекта (активной системы) выражены их целевыми функциями. Будем считать, что рациональность поведения участников проекта заключается в стремлении к максимизации целевых функций. Более подробно, предположим, что центр заинтересован в том, чтобы минимизировать свои выплаты (суммарные выплаты по штрафам и стимулированию АЭ), то есть целевая функция центра •( ( ), y) имеет вид:

(1) ( ( ), y) = (y) + (T – T0 – y).

Целевая функция активного элемента f( ( ), y) представляет собой разность между стимулированием и затратами:

(2) f( ( ), y) = (y) – c(y).

Введем следующие предположения:

А.2.3. A = [0; T – T0].

А.2.4. M – множество кусочно-непрерывных положительнозначных функций.

А.2.5. c(y) – положительнозначная, монотонно возрастающая, строго выпуклая, непрерывно дифференцируемая функция, такая, что c(0) = 0.

В ходе всего изложения материала настоящего раздела, если не будет оговорено особо, будем предполагать, что выполнена гипотеза благожелательности (ГБ) – из множества реализуемых действийP( ) = Arg max f(y, ) yA активный элемент выбирает действия, наиболее благоприятные для центра.

Последовательность функционирования следующая: центр сообщает АЭ функцию стимулирования, после чего АЭ при известной функции стимулирования выбирает свое действие. Следова Реализуемым некоторой системой стимулирования действием АЭ называется такое его допустимое действие, на котором достигается максимум его целевой функции [78, 79].

тельно, задача центра заключается в выборе такой допустимой системы стимулирования, которая минимизировала бы значение его целевой функции при условии, что АЭ выбирает допустимое действие, максимизирующее его собственную целевую функцию:

( ( y*), y*) min M, y*[0;T -T0 ] (3).

y* Arg max f ( y) yA Задача (3) является игрой типа Г2 (в терминологии теории иерархических игр [38, 40, 56]) и может рассматриваться как детерминированная задача стимулирования второго рода (в терминологии теории активных систем [22, 78]). Ее решение дается следующей теоремой1.

* Теорема 2.3. Оптимальное решение (y) задачи (3) имеет вид:

c( y*), y = y* * (4) (y) =, 0, y y* где оптимальное действие АЭ y* определяется следующим выражением:

(5) y* = arg min (y).

y[0,T -T0 ] При использовании центром системы стимулирования (4) (называемой в теории активных систем квазикомпенсаторной [22, 78, 79]), максимальное значение целевой функции равно нулю * и принимает это значение в двух точках, то есть P( ) = {0} {y*}.

В [78, 79] доказано, что оптимальной является такая допустимая система стимулирования, на которой достигается минимум затрат центра на стимулирование по реализации действий АЭ.

Поэтому докажем, что система стимулирования (4)-(5) характеризуется минимальными затратами центра на стимулирование. Пусть существует система стимулирования ~, такая, что * y* P( ~ ), ~ (y*) < (y*). Условие реализуемости имеет вид:

В теории активных систем существует семейство теорем, дающих оптимальное решение задачи стимулирования в различных моделях АС [22, 79]. Поэтому теорема 2.3 может рассматриваться как результат применения этой общей методологии к конкретной модели оперативного управления продолжительностью проекта.

y A ~ (y*) – c(y*) ~ (y) – c (y).

Подставим в это условие y = 0. Получим: ~ (y*) – c(y*) ~ (0).

В силу введенных предположений ~ <0, что противоречит А.2.4. • Пример 3. В частном случае, когда штрафы центра линейны:

(t) = t, действие (5) единственно (так как штрафы линейны, а функция затрат АЭ строго выпукла), следовательно на отрезке [0; T – T0] функция {c(y) - y)} достигает единственного максимума. Более того, оптимальное решение оказывается устойчивым по параметрам модели в следующем смысле.

Обозначим = c’ –1( ), где c’ –1( ) – функция, обратная производной функции затрат АЭ (она существует в силу А.2.5). Тогда оптимальное решение задачи (3) можно записать в виде:

T - T0, T T0 + (6) y*( ) =, T T0 +.

Содержательно, в случае линейных штрафов центру не обязательно знать «точную» оценку реального времени T завершения проекта (неизвестного и приближенно оцениваемого в ходе его реализации), если оптимистичная оценка задержки T – T0 времени завершения проекта превышает величину, которая зависит от внешних штрафов и функции затрат АЭ, то оптимальное с точки зрения внешних выплат центра сокращение продолжительности проекта «не зависит» от оценки будущей его продолжительности. • Итак, мы рассмотрели задачу оптимизации продолжительности проекта за счет использования механизмов стимулирования в одноэлементной активной системе. Перейдем к описанию многоэлементного случая.

Пусть имеется многоэлементная АС с n 1 активными элементами, каждый из которых отвечает за соответствующую операцию (комплекс которых и составляет проект) и может сокращать ее продолжительность, независимо от продолжительности других операций. Обозначим yi 0 – время сокращения i-ой операции, i I, где I = {1, 2, …, n} – множество АЭ.

Время сокращения продолжительности проекта T зависит от порядка выполнения и технологической связи операций и является функцией от сокращений каждой из операций (как критических, так и околокритических), то есть: T = Y(y1, y2, …, yn). Получили многоэлементную активную систему со слабо связанными элементами [79].

Пусть центр решил n задач типа (3) – по одной для каждого АЭ. Результатом является набор { (yi)} минимальных затрат ценi тра на стимулирование по реализации1 соответствующего вектора y действий АЭ: y = (y1, y2,,…, yn). Целевая функция центра имеет при этом вид:

(y) = (T – T0 – Y(y)) - (yi).

i iI Следовательно, задача стимулирования заключается в поиске n такого допустимого (y A’ = ) вектора действий АЭ, который минимизировал бы целевую функцию центра (y). Задача (y) min является стандартной задачей условной оптимизации.

yA В качестве ограничения множества допустимых действий АЭ может выступать, например, бюджетное ограничение: если фонд оперативного управления центра ограничен величиной R, то, очевидно, допустимыми будут такие действия, для которых имеет место: A’ = {y + | (yi) R}.

i n iI В зависимости от технологической взаимосвязи показателей операций (см. раздел 1.4, посвященный проблемам агрегирования показателей освоенного объема) возможны различные зависимости Y( ). Например, если операции выполняются последовательно, то T = yi, если параллельно, то T = min yi и т.д.

iI iI Проиллюстрируем использование предложенного похода к решению задач стимулирования в многоэлементных АС на следующем примере.

Пример 4. Предположим, что штрафы линейны, а бюджетное ограничение отсутствует и T = yi, тогда получаем набор iI В случае оптимальности компенсаторных функций стимулирования минимальные затраты центра на стимулирование определяются затратами АЭ, то есть имеет место: (yi) = ci(yi), i I.

i одноэлементных задач, в каждой из которых оптимально решение -типа (6) с соответствующей функцией ( ) = ci' ( ), i I.

i Если T = min yi, тогда, очевидно, что в оптимальном решеiI нии все АЭ должны завершить свои операции одновременно, то есть v 0: i I yi = v. Следовательно, решение задачи стимулирования заключается в поиске такого значения скалярной величины v, которое минимизировало бы целевую функцию центра, то есть: (T – T0 – v) - (v) min. Получили стандартную зада i viI чу скалярной оптимизации. Если штрафы линейны, то оптимальным оказывается следующее сокращение продолжительности - проекта: v* = () ( ). • c' iI i Итак, задача оперативного управления продолжительностью проекта в случае многоэлементной АС со слабо связанными АЭ сводится к параметрическому набору одноэлементных задач стимулирования и задаче поиска оптимальных значений параметров.

Основную сложность при этом представляет решение одноэлементных задач1, так как второй этап сводится к стандартной задаче условной или безусловной оптимизации. Поэтому при изучении задач стимулирования в условиях неопределенности мы ограничимся рассмотрением, в основном, одноэлементных задач.

Рассмотрев детерминированные задачи стимулирования, перейдем к рассмотрению задач оперативного управления продолжительностью проекта в условиях неопределенности.

Для случая сильно связанных АЭ игра АЭ может быть декомпозирована.

При этом оптимальной является «компенсаторная» «одноэлементная» система стимулирования, то есть сделанные качественные выводы, относительно необходимости акцентирования основного внимания на специфике одноэлементных задач, остаются в силе и в общем случае многоэлементных АС, то есть при сильно связанных активных элементах.

2.2.2. Внешняя интервальная неопределенность относительно результатов деятельности АЭ В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе, предположим, что реальное сокращение z A0 = A = [0; + ) продолжительности проекта зависит от действия АЭ и от состояния природы. Будем считать, что, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют информацию лишь об интервале возможных значений: z Z(y) = [Q-(y); Q+(y)]. Кроме того, предположим, что действия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, которому становится известен лишь результат деятельности. Поэтому стимулирование АЭ центром уже не может (как в детерминированном случае) основываться на действиях АЭ, а должно зависеть от неопределенной величины – результата деятельности.

Целевая функция АЭ равна: f(, y, z) = (z) – c(y). Устраняя интервальную неопределенность, то есть применяя метод максимального гарантированного результата (МГР), получим, что гарантированное значение целевой функции АЭ равно:

(7) fГ(, y) = min (z) – c(y).

zZ ( y) Следовательно, в рассматриваемой модели множество реализуемых действий АЭ есть P( ) = Arg max fГ(, y).

yA Введем следующее предположение:

А.2.6. y A Q-(y) y, Q+(y) y; Q-( ), Q+( ) – строго возрастающие непрерывные функции.

Если целевая функция центра зависит от фактического сокращения продолжительности проекта z A0, то ее гарантированное значение равно:

(8) (, y) = max (z, ).

Г zZ ( y) Итак, задача стимулирования имеет вид:

г ( ( y* ), y* ) min M, y*[0;T -T0 ] (9).

* y Arg max fг (, y) y Задача (9) является детерминированной задачей стимулирования (см. задачу (3)).

Теорема 2.4а. Система стимулирования c( y* ), z [Q - ( y* );Q + ( y* )] (10) (y*, z) =, - + 0, z [Q ( y* );Q ( y* )] реализует действие АЭ y*. Оптимальное значение реализуемого действия АЭ определяется следующим выражением:

(11) y* = arg min max (z, (z)).

y[0,T -T0 ] zZ ( y) При этом гарантированное значение целевой функции АЭ равно нулю.

Реализуемость действия y* A системой стимулирования (10) следует из определения гарантированной реализуемости и предположения А.2.6. Справедливость остальных утверждений теорема 2.4а очевидна. • Отметим, что в условиях теоремы 2.4а не фигурирует правая граница Q+(y) диапазона возможных значений результата деятельности при заданном действии. Это объясняется тем, что при вычислении МГР в (7) и (8) используется минимум (соответственно, максимум) про множеству Z(y) (см. также [79]).

Содержательно, для того, чтобы побудить АЭ выбрать действие y* A центр вынужден компенсировать ему затраты в размере c(y*) во всем множестве Z(y).

Предположим, что функция штрафов центра монотонна, тогда целевая функция центра имеет вид:

(y) = max { (T – T0 – z) + (y, z)}.

zZ ( y) Так как функция штрафов монотонна, а система стимулирования (10) кусочно-постоянна, то (y) = (T – T0 –Q-(y)) + c(y). Задача (y) min является скалярной оптимизационной задачей.

yПример 5. Пусть левая граница множества возможных результатов деятельности имеет следующий вид: Q-(y) = (1- )y, где выполнено: [0; 1], а функция штрафов линейна. Тогда получаем, что оптимальное решение y* = arg min (y) имеет вид (3), где y ( ) = c’-1((1 – ) ).

Легко проверить, что с ростом неопределенности (увеличением [0; 1]) эффективность стимулирования не возрастает. В предельном случае (при = 0) решение задачи в условиях неопределенности переходит в решение соответствующей детерминированной задачи, что вполне согласуется с общими принципами, изложенными в [79]. • Рассмотрим теперь случай, когда на момент принятия решений участники АС информированы асимметрично (данная модель близка к задачам стимулирования, рассмотренным в [79]): АЭ знает достоверно каким будет результат деятельности z A0 в зависимости от выбираемого им действия: z = z(y), а центр имеет информацию об интервале возможных значений: z(y) Z(y). Для простоты можно положить y A z(y) = y.

Целевая функция АЭ равна: f(, y) = (z(y)) – c(y). Следовательно, в рассматриваемой модели множество реализуемых действий АЭ есть P( ) = Arg max { (z(y)) – c(y)}.

yA Если целевая функция центра зависит от фактического сокращения продолжительности проекта z A0, то ее гарантированное значение равно:

(12) (, y) = max (z, ).

Г zZ ( y) Итак, задача стимулирования имеет вид:

( ( y* ), y* ) min г M, y*[0;T -T0 ] (13).

* y Arg max { (z( y)) - c( y)} y Задача (13) является детерминированной задачей стимулирования (см. задачу (3)).

Теорема 2.4б. Система стимулирования c( y* ), z [Q - ( y* );Q + ( y* )] (14) (y*, z) =, - + 0, z [Q ( y* );Q ( y* )] реализует действие АЭ y*. Оптимальное с точки зрения центра значение реализуемого действия АЭ определяется следующим выражением:

(15) y* = arg min max (z, (z)).

y[0,T -T0 ] zZ ( y) При этом гарантированное значение целевой функции АЭ равно:

fГ(y*) = c(y*) – c(Q-(y*)) 0.

Доказательство теоремы 2.4б аналогично доказательству теоремы 2.4а и опускается. Обсудим качественное различие результатов.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.