WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

T t T T T t b ft es = fs et - fs-1 et, (41) t=1 s=1 t=1 s=T1+1 t=1 s=где выражение в скобках второго слагаемого в правой части является дамми-переменной (обозначена верхним индексом b, суммирование по всем t эквивалентно суммироваT нию с момента T1 + 1), в то время как выражение fs в первом слагаемом s=T1+является константой и не зависит от t.

Используя (38) (см. KT), получим следующие элементы в математическом ожидании правой части (37):

T -T tE[(1, 1) элемент] = eT - t + O(T ) 2 t=T -T t2 E[(1, 2) элемент] = eT - t + O(T ) 6 t=T -2 t3 tT T 2 E[(2, 1) элемент] = eT - + t + O(T ) 6 2 t=T -3 t4 tT T 2 E[(2, 2) элемент] = eT - + t + O(T ) 24 6 t=T -T E[(3, 1) элемент] = eT - (t + 1T )2 t + O(T ) 2 t=T -T 2 E[(3, 2) элемент] = eT - (t + 1T )3 t + O(T ) 6 t=T -1 1 T 2 2 E[(4, 1) элемент] = eT - T (t + 1T ) + (t + 1T )3 + t + O(T ) 2 6 t=T -1 1 T 2 3 E[(4, 2) элемент] = eT - T (t + 1T ) + (t + 1T )4 + t + O(T ) 6 24 t=T -2 E[(1, 3) элемент] = eT (1 - 1)2T t + O(T ) t=T -2 3 E[(1, 4) элемент] = eT (1 - 1)3T t + O(T ) t=T -1 2 3 2 E[(2, 3) элемент] = eT (1 - 1)2(1 + 2)T - (1 - 1)2tT t + O(T ) 6 t=T -1 2 4 3 E[(2, 4) элемент] = eT (1 - 1)3(1 + 3)T - (1 - 1)3tT t + O(T ) 24 t=T -1 t2 E[(3, 3) элемент] = eT (1 - 1)2T - t + O(T ) 2 t=T -1 t2 3 E[(3, 4) элемент] = eT (1 - 1)3T - t + O(T ) 6 t=T -t3 1 2 2 3 E[(4, 3) элемент] = eT - (1 - 1)2tT + (1 - 1)3T t + O(T ) 6 2 t=T -t4 1 2 3 4 E[(4, 4) элемент] = eT - (1 - 1)3tT + (1 - 1)4T t + O(T ) 24 6 t=Используя (23), получим итоговое выражение для математического ожидания второй компоненты:

T -1 t t2 tE[R22] = eT 1 + f1 + f2 2 + f3 4 t + O(1), (42) 2 T T T t=где f1, f2 и f3 – некоторые функции, которые могут зависеть только от 1.

Рассмотрим компоненту R23:

-T T T t t E[R23] = tr dtd t E dtt es d s. (43) t=1 t=1 t=1 s=1 s=Используя (40) и (41), можно показать, что:

T t t T T - tes d s = + O(T ) et, t=1 s=1 s=1 t=T T T 3 T - t3 T (1 - 1)2 (t - 1T )+ O(T ) et, + O(T ) et - + O(T ) et, 6 2 t=1 t=1 t=T T T (1 - 1)3 (t - 1T )2 + O(T ) et - + O(T ) et,. (44) 6 t=1 t=Заметим, что в третьем и четвёртом элементах вторые слагаемые равны 0 до момента T1, то есть являются дамми-перемеными. Поэтому вычисление внутренней суммы в (38) и (39) производится, учитывая этот факт.

Затем, ипользуя (39) получим следующие элементы математического ожидания правой части выражения (42):

T -tE[(1, 1) элемент] = eT tT - t + O(T ) t=T -t3 t2T tT 2 E[(1, 2) элемент] = eT - + t + O(T ) 6 2 t=T -t3 T 2 2 E[(2, 1) элемент] = eT - + tT - t + O(T ) 6 t=T -2 3 t4 t2T tT T 2 E[(2, 2) элемент] = eT - + - t + O(T ) 24 4 2 t=T -2 2T T 2 E[(3, 1) элемент] = eT -1tT + tT + - t + O(T ) 2 t=T -2 3 1 t2T 1 tT 3T T 2 2 1 E[(3, 2) элемент] = eT 1t2T - - 2tT + + - t + O(T ) 2 2 2 2 6 t=T -2 3 1 tT 1 1T T 2 2 2 3 E[(4, 1) элемент] = eT 2tT - 1tT + - 3T + - t + O(T ) 1 2 2 6 2 t=T -1 1 t2T 2 2 E[(4, 2) элемент] = eT - 2t2T + 1t2T 4 2 t=3 4 1 1 tT 1 1T T 3 3 4 + 3tT - 1tT + - 4T + - t + O(T ) 1 6 2 3 24 6 T -t E[(1, 3) элемент] = eT - + T t - T 1t t + O(T ) t=T -t3 T t2 1 T t 2 2 2 E[(1, 4) элемент] = eT - + T 1t2 + + T 2t - T 1t t + O(T ) 6 2 2 2 t=T -3 3 t3 1 T T 3 T 2 2 2 1 E[(2, 3) элемент] = eT - - T 1t2 + T t - T 1t - - + t + O(T ) 6 2 3 6 t=T -2 t4 1 T t2 1 T t 2 2 3 E[(2, 4) элемент] = eT + T 1t3 - + T 2t2 + + T 2t - T 1t 1 24 6 4 4 2 t=4 4 4 T T 4 T 2 T 1 1 - + - + t + O(T ) 8 24 4 T -t E[(3, 3) элемент] = eT - + T t - T 1t t + O(T ) t=T -t3 T t2 1 T t 2 2 2 E[(3, 4) элемент] = eT - + T 1t2 + + T 2t - T 1t t + O(T ) 6 2 2 2 t=T -3 3 t3 1 T T 3 T 2 2 2 1 E[(4, 3) элемент] = eT - - T 1t2 + T t - T 1t - - + t + O(T ) 6 2 3 6 t=T -2 t4 1 T t2 1 T t 2 2 3 E[(4, 4) элемент] = eT + T 1t3 - + T 2t2 + + T 2t - T 1t 1 24 6 4 4 2 t=4 4 4 T T 4 T 2 T 1 1 - + - + t + O(T ) 8 24 4 Таким образом, используя (23), получим итоговое выражение для R23:

T -1 t t2 tE[R23] = eT 1 + f4 + f5 2 + f6 4 t + O(1), (45) 2 T T T t=где f4, f5 и f6 – некоторые функции, определяющиеся как и для (42).

Аналогично получаем выражения для R24:

T T E[R24] = tr DD E dtt etd t. (46) t=1 t=где выражение для DD получено в (32). Рассматривая математическое ожидание в правой части и используя (39), получим:

T T E dtt etd t = e(1, 2, 3, 4), (47) t=1 t=где T - t t=T - tt + O(1) t=1 =, T - (T - t)t t= T -1 -t T t + O(T ) t=2 =, T - (T - 1T )t + O(T ) t=T -1 (1-1)2T t + O(T ) t= T - t t=T - (t + 1T )t + O(1) t= 3 =, T - t t=T - tt + O(1) t= T - (T - 1T - t)t + O(1) t=T - t t=T (1+1)2-t4 =, T - (T - 1T - t)t + O(1) t=T - t + O(T ) t=T (1-1)2-tИспользуя полученное выражение для матрицы DD, можно показать, что:

T -1 19 t tE[R24] = eT + f7 + f8 2 t + O(1), (48) 2 15 T T t=где f7 и f8 определяются, как и ранее.

Далее, из (36), (42), (45) и (48), получим:

T -2e(1) 19 t t2 t-E[R2] = + f6 + f7 2 + f8 4 t + o(T ). (49) T 30 T T T t= Так как |j| <, сумма в (49) сходится к (19/30)j. Замечая также, что j=0 j= (1) = 1/(1) и t = (1) = = - (1), получим:

j=(1) (1) 1 19 e (1) E[R2] = -. (50) T 15 3(1) Список литературы Busetti, F. and Harvey, A.C. (2001). Testing for the presence of a random walk in series with structural breaks. Journal of Time Series Analysis, 22, 127–150.

Busetti, F. and Harvey, A.C. (2003). Further Comments On Stationarity Tests In Series With Structural Breaks At Unknown Points. Journal of Time Series Analysis, 24, 137–140.

Carrion-i Silvestre, J.L., Kim, D., and Perron, P. (2009). GLS-based unit root tests with multiple structural breaks both under the null and the alternative hypotheses. Econometric Theory, 25, 1754–1792.

Carrion-i-Silvestre, J.L. and Sans, A. J. (2005). The KPSS test with two structural breaks.

Spanish Economic Review, 9, 105–127.

Carrion-i-Silvestre, J.L. and Sanso, A. J. (2006). A guide to the computation of stationarity tests.

Empirical Economics, 31, 433–448.

Dickey, D.A. and Fuller, W.A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74, 427–431.

Harvey, D.I. and Leybourne, S.J. (2012). Break date estimation for models with deterministic structural change. Unpublished manuscript.

Harvey, D.I. and Mills, T.C. (2003). A note on Busetti-Harvey tests for stationarity in series with structural breaks. Journal of Time Series Analysis, 24, 159–164.

Kurozumi, E. (2002). Testing for stationarity with a break. Journal of Econometrics, 108, 63–99.

Kurozumi, E. and Tanaka, S. (2010). Reducing the size distortion of the KPSS test. Journal of Time Series Analysis, 31, 415–426.

Kwiatkowski, D., P.C.B., Phillips, Schmidt, P., and Shin, Y. (1992). Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root: How Sure Are We That Economic Time Series Have a Unit Root Journal of Econometrics, 54, 159–178.

Lee, J. and Strazicich, M.C. (2001). Testing the null of stationarity in the presence of a structural break. Applied Economics Letters, 8, 377–382.

Perron, P. (1989). The great crash, the oil price shock and the unit root hypothesis.

Econometrica, 57, 1361–1401.

Perron, P. and Zhu, X. (2005). Structural breaks with deterministic and stochastic trends. Journal of Econometrics, 129, 65–119.

Phillips, P.C.B. and Solo, V. (1992). Asymptotics for linear processes. Annals of Statistics, 20, 971–1001.

Sul, D., P.C.B., Phillips, and Choi, C.-Y. (2005). Prewhitening Bias in HAC Estimation. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 67, 517–546.

Tanaka, K. (1996). Time Series Analysis: Nonstationary and Noninvertible Distribution Theory. Wiley, New York.

1.0 1.BC BC 0.8 0.SPC SPC NC NC K K 0.6 0.0.4 0.0.2 0.0.0 0.0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.(a) = -0.8 (b) = -0.1.0 1.BC BC 0.8 0.SPC SPC NC NC K K 0.6 0.0.4 0.0.2 0.0.0 0.0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.(c) = 0.0 (d) = 0.1.BC 0.SPC NC K 0.0.0.0.0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.(e) = 0.Рис. 1. Размер и мощность в случае известной даты сдвига 1.0 1.BC BC 0.8 0.SPC SPC NC NC K K 0.6 0.0.4 0.0.2 0.0.0 0.0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.(a) = -0.8 (b) = -0.1.0 1.BC BC 0.8 0.SPC SPC NC NC K K 0.6 0.0.4 0.0.2 0.0.0 0.0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.(c) = 0.0 (d) = 0.1.BC 0.SPC NC K 0.0.0.0.0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.(e) = 0.Рис. 2. Размер и мощность в случае неизвестной даты сдвига

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.