WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Параметр 0 можно получить рекурсивно, решая уравнения Юла-Уокера (подробности см. в Kurozumi and Tanaka (2010, section 3.2)).

2 Случай с неизвестной датой сдвига Тест, рассмотренный в предыдущих разделах, основывался на предположении, что дата сдвига известна априори. Однако во многих случаях она не может быть известна исследователю.

Тогда можно заменить истинную дату сдвига её состоятельной оценкой. Тогда предельное распределение тестовой статистики останется тем же самым. Состоятельную оценку доли даты сдвига 1 = T1/T можно получить, минимизируя сумму квадартов остатков в модели по всем возможным датам сдвига. Можно показать, что эта оценка является суперсостоятельной и в случае I(0), и в случае I(1) (см., например, Perron and Zhu (2005)).

Альтернативная процедура нахождения неизвестной даты сдвига была предложена в Carrioni Silvestre et al. (2009), используя предварительное (квази) GLS-детрендирование ряда yt.

Например, пусть оценивается следующая регерссия:

KT показали, что в случае константы b0 = 5/3, а в случае тренда b0 = 19/15.

yt = Xt (1) + ut, (8) где Xt (1) включает в себя все регрессоры, а – соответствующие параметры. Тогда GLS оценка вектора есть OLS-оценка вектора коэффициентов в уравнении yt = Xt (1) + u, (9) t где yt принимает значения y1, (1 - L) y2,..., (1 - L) yT, а Xt (1) – значения x1, (1 - L) x2,..., (1 - L) xT.

В (Carrion-i Silvestre, Kim and Perron, 2009) предлагается выбирать = 1 + c/T в зави симости от датировки структурного сдвига, так как мы априори не знаем порядок интегрированности ряда ut. Тогда оценка доли даты сдвига будет равна:

= arg min S(, 1), (10) 1(e) где S(, 1) – сумма квадратов остатков в регрессии (9). Полученная оценка доли даты сдвига также будет суперсостоятельной и в I(0), и в I(1) случаях.

Harvey and Leybourne (2012) предложили модификацию этой оценки даты сдвига, использующую дополнительную информацию, если ряд является I(1). В этом случае оценка доли даты сдвига, полученная при GLS-детрендировании, будет также состоятельной, но эффективной будет оценка, полученная при минимизации модели, оцененной в первых разностях.

Авторы предлагают использовать гибридную оценку:

m D = arg min S(, 1), (11) 1(e),Dm где Dm = { 1, 2,..., m-1, 1} – m-элементное множество, в котором | i| < 1 для любого i и, без потери общности, -1 < 1 < 2 < · · · < m-1 < 1.

Асимптотические результаты показали, что необходимо установить m-1 достаточно близко к единице, чтобы оценка (11) имела требуемые асимптотические свойства (если действительное значение > m-1, то оценка доли даты сдвига будет неэффективной). В качестве Dm авторы предлагают использовать Dm = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 0.9, 0.95, 0.975, 1}. Причина заключается в том, что отрицательная серийная корреляция обычно не наблюдается на практике, а также что серийная корреляция часто может быть строго положительная, поэтому включение значения 0.975 допускает малый интервал 0.975 < < 1 для неадекватного асимптотического выбора.

Полученную оценку доли даты сдвига мы будем использовать далее. Заметим также, что так как оценка доли даты сдвига состоятельна, можно использовать те же самые критические значение (полученные Busetti and Harvey (2001) или Kurozumi (2002)), что и при известной датировке сдвига.

3 Свойства на конечных выборках В этом разделе мы исследуем поведение тестов на конечных выборках через симуляции. Мы рассмотрим следующий DGP:

yt = d t + ut, ut = ut-1 + t - t-1, (12) то есть мы допускаем MA составляющую в DGP. Также t i.i.d.N(0, 1). Мы рассматриваем значения параметра от 0.5 до 1, значения параметра в MA компоненте – {-0.8, -0.4, 0.0, 0.4, 0.8}, долю даты структурного сдвига 1 = 0.5. Параметры детерминированной компоненты – µ0 = 0 без потери общности, µ1 = -4, 0 = 0.3, 1 = -0.1. Уровень значимости – 0.05, число повторений – 5,000. Начальное значение u0 устанавливается равным 0.

Мы рассматриваем поведение четырёх тестов. Первый – скорректированный на смещение KPSS тест, полученный нами при наличии структурного сдвига в Разделе 1 (на графиках обозначен как BC). Второй – SPC тест с AR(1) коррекцией (обозначен как SPC). Также T для сравнения мы рассматриваем KPSS тест при отсутствии корректирующего параметра b (обозначен как NC), а также тест KPSS при наличии структурного сдвига с предложенной Kurozumi (2002) шириной окна:

1/3 1/2T 4k2T lAk = min 1.447, 1.447.

(1 + )2(1 - )2 (1 + k)2(1 - k) с k = 0.8 (обозначен как K). Во всех случаях количество лагов выбирается согласно BIC.

Рисунок 1 показывает размер и мощность рассмотренных тестов для Модели II (результаты для других моделей доступны по запросу), предполагая дату сдвига известной (1 = 0.5) и граничное значение равным 1 - c/ T = 0.8. Данное значение предполагает, что при более, чем 0.8 нулевая гипотеза будет иметь тенденцию отвергаться чаще, если = 0. Если = 0, то мера инерционности должна основыватсья на авторегрессионном представлении ряда. В нашей ARMA(1, 1) перепишем DGP для ut как (1 - L)(1 - L)-1ut = t Тогда мера инерционности 1 + · · · + p будет ( - )/(1 - ). Мы ожиждаем, что нулевая гипотеза будет отвергаться чаще, чем номинальный размер, если эта мера инерционности будет большей, чем 0.8. То есть на Рисунке 1 скорректированный на смещение KPSS тест должен иметь корректный размер при < 0.64 и слишком часто отвергать нулевую гипотезу в противном случае для = -0.8. Для = -0.4, = 0.4 и = 0.8 тест должен иметь корректный размер при < 0.72, < 0.88 и < 0.96, сооветственно. Для = -0.8, = -0.4 и = 0 это подтверждается результатами на Рисунке 1, в то время как для = 0.4 и = 0.8 тест начинает чаще отвергаться для меньших значений, поскольку граничное знаечние слишком высоко.

В случае = -0.8 и = -0.4 полученный скорректированный на смещение тест имеет размер, ближе к номинальному, чем у остальных тестов. Для = -0.8 ни один из тестов не имеет мощность, выше, чем у скорректировнаного на смещение теста. С другой стороны, для случая = -0.4 появляются некоторые искажения размера для > 0.7, что приводит к более высокой мощности по сравнению с нескорректированным тестом. В случае обычного AR(1) процесса результаты аналогичны известным, например, Carrion-i-Silvestre and Sanso (2005). Здесь скорректированный тест явно превосходит по размеру и мощности другие. При отрицательной MA компоненте тест, предложенный Kurozumi (2002) имеет более высокую мощность одновременно с более высоким размером (для всех значений этот тест характеризуется либаральными искажениями размера). Однако скорректированный на смещение тест хотя и имеет более низкую мощность, хорошо контролирует размер.

Результаты для других значений граничного условия аналогичны и опущены для краткости. Можно заметить, что для более высоких значений превосходство скорректированного теста более заметно, хотя он и имеет более низкую мощность (для других тестов искажение размера увеличиваются), а для более низких значений наблюдается более высокая мощность, которая компенсируется искажениями размера после значения граничного условия.

Рисунок 2 показывает размер и мощность тестов при неизвестной дате сдвига, оцененной при использовании процедуры Harvey and Leybourne (2012). Как видно, результаты практически не изменились и качественно аналогичны.

Заключение В данной работе мы рассмотрели обобщение теста Kurozumi and Tanaka (2010) на случай единственного структурного сдвига. Используя модификацию boundary rule в SPC с авторегрессионной апроксимацией, мы нашли смещение числителя тестовой статистики в случае наличия в DGP структурного сдвига. Результаты аналогичны случаю отсутствия структурного сдвига. В симуляциях был рассмотрен случай неизвестной даты сдвига, используя подход, предложенный Harvey and Leybourne (2012). Симуляции показывают превосходство полученной модификации теста при наличии структурного сдвига, так как тест лучше контролирует размер. Поэтому использование корректировки смещения KPSS теста полезно в эмпирических приложениях.

A Приложение Доказательство Теоремы 14. Рассмотрим самый общий случай, когда d t = (1, t, DUt, DTt).

Как в KT, разложим R1 на три компоненты:

R1 = R11 - R12 + R13, где T t R11 = s T t=1 s=-T t t T T R12 = = - s d s dtd t dtt T t=1 s=1 s=1 t=1 t=-1 -T T T t t T T R13 = td t dtd t ds d s dtd t dtt.

T t=1 t=1 t=1 s=1 s=1 t=1 t=Некоторые матричные вычисления (умножение, обращение) выполнены, используя Wolfram Mathematica 8.

t Заметим, что s = vt - v0, тогда (см. KT):

s=-E[R11] = 0 + O(T ). (13) T Вторая компонента выражается как:

-T T T t t E[R12] = tr dtd t E dtt s d s (14) T t=1 t=1 t=1 s=1 s=Для дальнейшего доказательства мы используем следующие результаты:

T t T - t=T T T tt (T + 1)T - 0 - t t=1 t= dtt = =. (15) T T - T DUtt t=t=T T (T + 1 - T1)T - T - t DTtt t=T1+t= T t(t - 0) t=T t t T t (t - 0) s t=1 s= s d s = (16) T t (t - 0) DUs t=1 s=t=1 s=1 s=T t (t - 0) DTs t=1 s=T t T (1 - 1)DUs = + o(T ) (17) t=1 s=T t T (1 - 1)DTs = + o(T ) (18) t=1 s=T (T + T1 + 1)(T - T1) tDUt = (19) t=T (T - T1)(T - T1 + 1)(2T + T1 + 1) tDTt = (20) t=T (T - T1)(T - T1 + 1)(2T - 2T1 + 1) DTtDTt = (21) t=Используя (19)-(21) можно показать, что T dtd t = t= T (T +1) (T -T1)(T -T1+1) T T - T2 T (T +1) T (T +1)(2T +1) (T -T1)(T +T1+1) (T -T1)(T -T1+1)(2T +T1+1) 2 6 2. (22) (T -T1)(T +T1+1) (T -T1)(T -T1+1) - T1 T - TT 2 (T -T1)(T -T1+1) (T -T1)(T -T1+1)(2T +T1+1) (T -T1)(T -T1+1) (2T -2T1+1)(T -T1)(T -T1+1) 2 6 2 Тогда -T dtd t = t= 2(2T1+1) 6 2 (T1-1)T1 (T1-1)T1 T1 (T1-1)T6 12 6 - - (T1-1)T1 (T1-1)T1(T1+1) T1(T1+1) (T1-1)T1(T1+1) 2T 2T T1-T -2T1 +2T1+1. (23) ( ) 6T (T -2T1-1) 2 T1 T1(T1+1) T1(T1+1)(T -T1-1)(T -T1) T1(T1+1)(T -T1-1)(T -T1) 2 12T T -3T T1+3T1 -( ) 6T (T -2T1-1) 6 (T1-1)T1 (T1-1)T1(T1+1) T1(T1+1)(T -T1-1)(T -T1) (T1-1)T1(T1+1)(T -T1-1)(T -T1)(T -T1+1) Рассмотрим математическое ожидание в правой части (14), используя (15) и (16). Математическое ожидание (1,1) элемента равно (см. KT):

T E[(1, 1) элемент] = 0 + o(T ), (24) Аналогично для (1,2) элемента (см. KT):

T E[(1, 2) элемент] = 0 + o(T ), (25) Рассмотрим (1,3) элемент.

T t E[(1, 3) элемент] = E (T - 0) (t - 0) DUs (26) t=1 s=T t T t T t T t = T -t DUs - T DUt - t DUt + 0 DUt t=1 s=1 t=1 s=1 t=1 s=1 t=1 s=T (1 - 1)2) = 0 + o(T ), так как t абсолютно суммируемы и T = o(1), а также используя уравнение (17). Аналогично математическое ожидание (1,4) элемента (мы используем уравнение (18)):

T (1 - 1)3) E[(1, 4) элемент] = 0 + o(T ). (27) 3 Согласно KT, (2,1) и (2,2) элементы есть o(T ) и o(T ), соответственно. Ясно, что (2,3) и 3 (2,4) элементы имеют тот же самый порядок o(T ) и o(T ), сответственно, так как DUt и DTt имеют тот же самый порядок, что и константа и тренд, соответственно.

Элементы 3-й строки матрицы отличаются тем, что в соответствующих выражениях заменяется на T, но так как T1 > p, то T = o(1). Тогда элементы 3-й строки есть o(T ), 1 3 2 o(T ), o(T ), o(T ). Элементы 4-й строки равны соответствующим элементам 2-й строки, так как имеют тот же порядок. Следовательно, можно записать математическое ожидание как:

T T t t E dtt s d s = t=1 t=1 s=1 s= 2 2 T (1-1)2 T (1-1)T 2 T 3 2 0 + o(T ) 0 + o(T ) 0 + o(T ) 0 + o(T ) 2 6 2 3 4 3 o(T ) o(T ) o(T ) o(T ) (28) 2 3 2 o(T ) o(T ) o(T ) o(T ) 3 4 3 o(T ) o(T ) o(T ) o(T ) Затем, используя (23) и (28), получим:

-20 + 330 - 340 + 50 -1 1 1 1 1 -E[R12] = 2 + o(T ) = 0 + o(T ). (29) T (1 - 1)32 T Рассмотрим теперь третью компоненту R13:

-1 -T T t t T T T E[R13] = tr dtd t ds d s dtd t E dtt td t.

T t=1 t=1 s=1 s=1 t=1 t=1 t=(30) Можно показать, используя (15) и тот факт, что T и T -T1 есть o(1), что:

T T E dtt td t = t=1 t= 20 + o(1) T 0 + o(T ) 0 + o(1) T (1 - 1)0 + o(T ) 2 2 2 T 0 + o(T ) T 0 + o(T ) T 0 + o(T ) T (1 - 1)0 + o(T ) 0 + o(1) T 0 + o(T ) 20 + o(1) T (1 - 1)0 + o(T ) 2 2 2 T (1 - 1)0 + o(T ) T (1 - 1)0 + o(T ) T (1 - 1)0 + o(T ) T (1 - 1)20 + o(T ) (31) -1 -T T t Рассмотрим компоненту DD := dtd t ds t d s T dtd t. Можt=1 t=1 s=1 s=1 t=но показать, что T t t ds d s = (1, 2, 3, 4), t=1 s=1 s=где T (T +1)(2T +1) T (T +1)(T +2)(3T +1) 1 =, (T -T1)(T -T1+1)(2T +T1+1) (T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2)(3T +T1+1) T (T +1)(T +2)(3T +1) T (T +1)(T +2) 3T +6T +( ) 2 = 2 2, (T -T1)(T -T1+1) 3T +2T T1+7T +T1 +3T1+ ( ) 2 (T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2) 6T +3T T1+12T +T1 +3T1+( ) (T -T1)(T -T1+1)(2T +T1+1) 2 -T1)(T -T1+1) 3T +2T T1+7T +T1 +3T1+ (T ( ) 3 =, (2T -2T1+1)(T -T1)(T -T1+1) (3T -3T1+1)(T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2) (T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2)(3T +T1+1) 2 (T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2) 6T +3T T1+12T +T1 +3T1+( ) 4 =, (3T -3T1+1)(T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2) 2 (T -T1)(T -T1+1)(T -T1+2) 3T -6T T1+6T +3T1 -6T1+( ) Таким образом, используя (23), DD = (1, 2, 3, 4), (32) где 2 3 15T T1 -15T T1+2T1 +22T1 -8T1+15(T1-1)T -11T -5T1+ 10(T1-1)T1 =, 1-2)(T1+2) -(T 30T(T1+2)(T1+3) 10(T1-1)T -11T -5T1+10(T1-1)T 6 T1 +( ) 5(T1-1)T1(T1+1) 2 =, 1-3)(T1-2) -(T 10T1(T1+1) 6 T1 +-5(T ( ) 1-1)T1(T1+1) 1-2)(T1+2) -(T 30T 1-3)(T1-2) -(T 10T1(T1+1) 2 2 2 3 2 4 3 3 =, 2T T T1 +T T1-2T T1 -3T T1 +7T T1-T +T1 +2T1 -7T1 +2T1+( ) 15T1(T1+1)(T -T1-1)(T -T1) 3T T T1-T -T1 +2T1+( ) -5T (T1+1)(T -T1-1)(T -T1) (T1+2)(T1+3) 10(T1-1)T 6 T1 + -5(T ( ) 1-1)T1(T1+1) 4 =, 3T T T1-T -T1 +2T1+( ) -5T (T1+1)(T -T1-1)(T -T1) 2 2 2 3 4 6T T T1 +T -2T T1 -4T T1+T1 +4T1 -( ) 5(T1-1)T1(T1+1)(T -T1-1)(T -T1)(T -T1+1) В итоге мы получаем, что -E[R13] = 0 + o(T ); (33) 15T Таким образом, объединяя (13), (29) и (33), получим -E[R1] = 0 + o(T ). (34) 15T Рассмотрим теперь математическое ожидание R2. R2 раскладывается на четыре компоненты (см. KT), за исключением скаляра 2(1)/T :

R2 = R21 - R22 - R23 + R24, (35) где t T t R21 = es s t=1 s=1 s=-T t t T T R22 = s d s dtd t dtet t=1 s=1 s=1 t=1 t=-T t t T T R23 = es d s dtd t dtt t=1 s=1 s=1 t=1 t=-1 -T T T t t T T R24 = etd t dtd t ds d s dtd t dtt t=1 t=1 t=1 s=1 s=1 t=1 t=Математическое ожидание первой компоненты есть (см. KT):

T -t E[R21] = eT 1 - t (36) T t=Рассмотрим вторую компоненту:

-T T T t t E[R22] = tr dtd t E dtet s d s. (37) t=1 t=1 t=1 s=1 s=Далее мы используем лемму, приведённую в KT, с некоторыми обобщениями для дамми переменных:

Лемма 2 Пусть ft и gt – детерминированные последовательности для t = 1,..., T.

Тогда T T T -1 T -t E ftet gtt = e fsgs+t t, (38) t=1 t=1 t=0 s=T T T -1 T -t T -t- E ftet gtt = e fsgs+t - fsgs+t+1 t, (39) t=1 t=1 t=0 s=1 s=T t T T ft es = fs et (40) t=1 s=1 t=1 s=t Кроме того, так как ft может быть дамми переменной, принимающей значения 0 до момента T1, поэтому для удобства необходимо преобразовать (40) следующим образом:

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.