WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Корректировка смещения для уменьшение искажения размера KPSS теста при наличии структурного сдвига Антон Скроботов† Институт Экономической политики имени Е. Т. Гайдара, Российская Академия Народного Хозяйства и Государственной Службы при Президенте РФ 15 ноября 2012 г.

Аннотация В этой статье мы обобщаем тест на стационарность, предложенный Kurozumi and Tanaka (2010), для уменьшения искажения размера на случай наличия структурного сдвига. Мы получаем смещение до порядка 1/T на конечных выборках для четырёх типов моделей, содержащих структурный сдвиг. Симуляции на конечных выборках показывают уменьшение искажения размера по сравнению с другими тестами, при этом получая высокую мощность.

Ключевые слова: Тест на стационарность, KPSS тест, корректировка смещения, искажение размера.

JEL: C12, C22 Введение Тестирование временных рядов на наличие единичного корня является необходимым элементом анализа данных. Стандартным и наиболее распространённым подходом, идущим от работ Дики и Фуллера (Dickey and Fuller, 1979), является проверка гипотезы о наличии единичного корня во временных рядах. Но начиная с работы Kwiatkowski et al. (1992) (далее KPSS) получило развитие противоположное направление, в котором в качестве нулевой гипотезы выступает предположение о том, что временной ряд является стационарным около детерминированного тренда. Общей и одной из основных проблем во всех этих тестах является предположение о харатере детерминированной компоненты.

В работах, начатых Perron (1989), было показано, что в обычных тестах на наличие единичного корня происходит существенное снижение мощности, если в данных присутствует We thank Eiji Kurozumi for providing his GAUSS code and for his helpful comments, and Marina Turuntseva for her helping in preparing this article.

† E-mail: antonskrobotov@gmail.com 1 структурный сдвиг в детерминированном тренде. Аналогичная проблема возникает и в тестах на стационарность, то есть при наличии структурного сдвига происходят серьёзные искажения размера. Соответственно, для решения этой проблемы появились исследования, рассматривающие тесты на стационарность при наличии структурных сдвигов.

Lee and Strazicich (2001) использовали аналог KPSS теста, рассматривая две модели: модель сдвига в уровнях и модель со сдвигом в уровнях с изменением наклона тренда. Если дата сдвига неизвеста, авторы вывели её оценку путём минимизации тестовой статистики. Однако было показано, что тест имеет низкую мощность, так как минимизация тестовой статистики приводит к наименее благоприятному исходу против альтернативы.

Kurozumi (2002) рассматривал локальную асимптотику KPSS-теста при наличии четырёх типов структурных сдвигов. Он получил предельные распределения тестовой статистики для каждой из рассмотренных моделей, функцию асимптотической локальной мощности (используя подход, изложенный в Tanaka (1996, chapter 9)) и исследовал мощность тестов в зависимости от местоположения сдвига. Он также предложил другой тест, предельное распределение которого не зависит от датировки сдвига. При неизвестной дате сдвига автор предложил использовать её оценку, полученную при минимизации сумм квадратов остатков.

В Busetti and Harvey (2001) была рассмотрена аналогичная проблема тестирования стационарности при фиксированной альтернативе. Авторы рассмотрели KPSS тесты для четырёх моделей и получили соответствующие предельные распределения и критические значения.

Важно заметить, что Harvey and Mills (2003) обнаружили ошибку в итоговом распределении для модели сдвига в уровнях, хотя доказательство было корректным, и критические значения были получены, используя корректное распределение. Harvey and Mills (2003) предложили модификацию исходной KPSS-статистики, предельное распределение которой не зависит от датировки сдвига, и её обобщение на случай произвольного количества сдвигов.

Busetti and Harvey (2003) рассмотрели различные способы получения оценки даты сдвига, если она неизвестна. Тест Busetti and Harvey (2001) основывается на предположении небольших сдвигов (уменьшающаяся величина сдвигов при росте выборки), и дата сдвига вычисляется, используя минимизацию тестовой статистики. Тогда возникает естественный вопрос, насколько небольшим должен быть сдвиг, чтобы удовлетворять этому предположению, потому что при больших сдвигах происходит слишком частое отвержение нулевой гипотезы.

Busetti and Harvey (2003) предлагают другую процедуру, которая имеет хорошие свойства размера, но теряет мощность при небольших сдвигах. Она заключается в том, чтобы предварительно оценить дату сдвига путём минимизации суммы квадратов остатков, а затем использовать обычную тестовую статистику, используя полученную оценку как истинную дату сдвига. Симуляции показали, что минимизация тестовой статистики слишком часто отвергает нулевую гипотезу стационарности даже для таких небольших размеров сдвига, как одно стандартное отклонение ошибок. Хотя для больших сдвигов эмпирический размер никогда не выше 0.17, размер теста, основанного на использовании суперсостоятельной оценки доли даты сдвига как истинной близок к номинальному при любой величине сдвига1. Однако мощность теста мала для небольшого сдвига, но увеличивается с ростом его величины, то есть в ситуации, когда более легко идентифицировать сдвиг. Если сдвиг фактически не происходит, инфимум-тест является более мощным, чем тест, использующий состоятельную оценку доли даты сдвига, полученную путём минимизации суммы квадратов остатков. Таким образом, если существует неопределённость относительно наличия сдвига, то инфимум-тест являетЭто может не выполняться, если рассматривать локальную асимптотику.

ся предпочтительным. С другой стороны, если есть уверенность в том, что сдвиг существует, но его местоположение неясно, предпочтительнее использовать двухшаговую процедуру, при которой тестовая статистика строится для оцененной даты сдвига путём минимизации суммы квадартов остатков.

Carrion-i-Silvestre and Sanso (2005) рассмотрели возможность двух структурных сдвигов в KPSS-тесте. Авторы использовали подход Sul et al. (2005) (далее SPC) для оценки долгосрочной дисперсии. Для каждой из семи рассмотренных в работе моделей в работе было получено предельное распределение. Поиск неизвестных дат сдвигов проводился путём минимизации сумм квадратов остатков.

Ещё одна проблема KPSS тестов была рассмотрена, среди прочих, в Carrion-i-Silvestre and Sanso (2006). Они показали, что на конечных выборках SPC тест с AR(1) коррекцией ширины окна (AR(1) prewhitening) является предпочтительнее других, так как контролирует размер. Однако тест SPC с AR(1) коррекцией имеет серьёзные искажения размера, когда процесс порождения данных (DGP) является AR(2) процессом (или более высокого порядка). Kurozumi and Tanaka (2010) (далее KT) расширили подход SPC (однако в случае отсутствия сдвигов), где для оценивания долгосрочной дисперсии использовали авторегрессионную апроксимацию, используя граничное условие (boundary rule), предложенное SPC для гарантирования состоятельности долгосрочной дисперсии. Авторы также исследовали проблему смещения вниз числителя KPSS-статистики. Для корректровки размера они получили смещение на конечных выборках и предложили скорректированную на смещение версию KPSS статистик. Симуляции показали, что эмпирический размер модифицированного теста хорошо контролируется в случае AR(2) ошибок, а также тест имеет более высокую мощность по сравнению с SPC.

В этой работе мы предлагаем обобщение теста KT на случай единственного структурного сдвига. Используя модификацию граничного условия как в SPC с авторегрессионной апроксимацией, мы находим смещение числителя тестовой статистики в случае наличия в DGP структурного сдвига. Если дата сдвига неизвестна, можно использовать её оценку, полученную через минимизацию сумм квадартов остатков. Однако можно улучшить эту оценку, используя подход Harvey and Leybourne (2012). Симуляции показывают превосходство полученной модификации теста при наличии структурного сдвига даже в случае MA ошибок.

Работа состоит из следующих частей. В разделе 1 описывается модель, тестовая статистика, граничное условие SPC с модификацией KT и параметр смещения на конечных выборках числителя KPSS статистики при наличии структурного сдвига различных типов. В разделе описываются возможные процедуры получения датировки структурного сдвига. В разделе исследуются свойства на конечных выборках модифицированного теста. В заключении формулируются полученные результаты.

1 Модель Как обычно, мы рассмотрим DGP согласно yt = d t + ut, t = 1,..., T, (1) где dt – некоторая детерминированная функция времени, а процесс ut может быть либо I(0), либо I(1), удовлетворяющий следующему стандартному предположению (см. также Phillips and Solo (1992)).

Предположение 1 Процесс ut может быть либо I(0), либо I(1):

• если ut I(0), то это – линейный процесс, такой что ut = (L)et = iet-i i= с (z) = 0 для всех |z| 1 и i|i| <, где et – мартингал-разность с услов i=ной дисперсией e и supt E(e4) <. Краткосрочная и долгосрочная дисперсия t T 2 2 -1 определяются как u = E(u2) и u = limT T E ut = e(1)2, соответt t=ственно;

t • если ut I(1), то его можно представить как ut = et, где et I(0).

j=Также, как и в Perron (1989), мы рассмотрим три типа моделей: Модель 0 (“изменение в уровнях”, или “модель краха”), соответственно с наличием или отсутствием тренда, Модель I (“модель изменения роста”) и Модель II (“совместный эффект”). Соответственно, детерминированная компонента dt записывается тогда как:

для Модели (1, DUt), (1, t, DUt), для Модели 0t d t =, (1, t, DTt), для Модели I (1, t, DUt, DTt), для Модели II где DUt = I(t > T1 +1), DTt = (t-T1)I(t > T1+1), I(·) – индикатор-функция, принимающаая знак 1, если выражение в скобках выполнено и 0 в противном случае, T1 - дата структурного сдвига. Определим долю даты сдвига как 1 = T1/T.

Мы тестируем нулевую гипотезу стационарности ut I(0) против альтернативы ut I(1).

Обычно предлагается использовать следующую KPSS статистику для тестирования стационарности против альтернативы единичного корня:

T t -T s t=1 s=KP SS(1) = (2) u где t = yt - d t – остатки от OLS-регрессии yt на dt, где dt = [1, DUt], = (µ0, µ1) для Модели 0, dt = [1, t, DUt], = (µ0, 0, µ1) для Модели 0t, dt = [1, t, DTt], = (µ0, 0, 1) для Модели I, dt = [1, t, DUt, DTt], = (µ0, 0, µ1, 1) для Модели II, а оценка долгосрочной дисперсии u строится согласно непараметрическому подходу используя ядро Бартлетта или QS.

Статистика (2) имеет следующее предельное распределение, полученное в Busetti and Harvey (2001) (с исправлениями в Harvey and Mills (2003)):

Лемма 1 При нулевой гипотезе KP SS(1) (W (r, 1))2 dr, где для Модели 0:

r W (r) - W (1), для r W (r, 1) = ;

r-(W (r) - W (1)) - (W (1) - W (1)), для r > 1-для Модели 0t:

6r(r-1) r - W (1) W (r) 1 1-31+ 1 1+ rdW (r) - W (1) - (W (1) - W (1)), для r 0 2 W (r, 1) = ;

r-(W (r) - W (1)) - 1-1 (W (1) - W (1)) - 6(r-1)(r-1) 1-31+ 1 rdW (r) - 1 1+W (1) - (W (1) - W (1)), для r > 0 2 для Модели I:

- rW (1) W (r) 3(1-1) ar - a1r + r (a2 - b(1 - 1)2) J 2 + br - b1r + r (b2 - c(1 - 1)2) J2, для r 2 W (r, 1) = ;

W (r) - rW (1) - 3(1-1) 2 r -a + br -2 - b1(r - 1) + (a2 - b(1 - 1)2) J1 2 2 2 r + -b + cr -2 - c1(r - 1) + (b2 - c(1 - 1)2) J2, для r > 1 2 2 для Модели II:

6r(r-1) r - W (1) W (r) 1 1 rdW (r) - 1 W (1), для r 0 W (r, 1) = ;

r-(W (r) - W (1)) - 1-1 (W (1) - W (1)) - 6(r-1)(r-1) (1-1) 1 rdW (r) - 1+(W (1) - W (1)), для r > 1 Здесь a = (1 - 1)3(1 + 1), b = -32(1 - 1)2, c = 3(4 - 31), J1 = rdW (r) 1 2 (1-1)1W (1) + W (1) и J1 = rdW (r) - 1(W (1) - W (1)) - W (1).

2 1 Мы можем асимптотически контролировать размер, однако на конечных выборках KPSS тест имеет серьёзные искажения размера. Для их уменьшения SPC предложили использовать AR(1) коррекцию ширины окна долгосрочной дисперсии с граничным условием (AR(1) prewhitening method with a boundary rule). То есть мы сначала оцениваем AR(p) модель для остатков от регрессии (1), t, то есть t = 1t-1 + · · · + pt-p + et.

Тогда оценка долгосрочной дисперсии строится согласно e u =, (3) (1 - ) p где = min j, 1 - 1/ T и e – оценка долгосрочной дисперсии остатков t2. KT j=предлагают модификацию оценки SPC на случай авторегрессионной оценки долгосрочной дисперсии u, то есть:

e u,AR =, (4) (1 - ) T p - где e = T 2 и = min j, 1 - c/ T, а c – некоторая конечная констан t t=1 j=та. Однако пока авторегрессионная оценка долгосрочной дисперсии применяется достаточно хорошо, возникает проблема смещения вниз числителя статистики (2) на конечных выборках.

KT показали для случая константы и тренда, что их модификация оценки долгосрочной дисперсии всё ещё приводит к слишком редкому отвержению нулевой гипотезы из-за этого смещения вниз, что приводит к существенной потере мощности при альтернативе. Для предотвращения смещения на конечных выборках в числителе KPSS статистики, KT предлагают скорректированную на смещение версию KPSS статистики:

T t -T T s - b t=1 s=KP SS =. (5) u,AR Здесь компонента bT отвечает за смещение. Чтобы его вычислить, авторы предлагают использовать разложение Бевериджа-Нельсона. Пусть ut = (L)et, тогда процесс ut можно записать как:

ut = (1)et + t-1 - t, где t = jet-j, j = i. Остатки t определяются как j=0 i=j+-T T t = ut - d t dtd t dtut t=1 t=-T T = (1)et + t-1 - t - d t dtd t dt((1)et + t-1 - t) t=1 t== (1)t - t, где t и t – остатки от регрессий et и t на dt, соответственно. Тогда KT раскладывают числитель статистики (2) на три компоненты:

Для случая AR(1) ошибок Carrion-i-Silvestre and Sanso (2006) показали, что размер теста, используя подход SPC с AR(1) коррекцией, близок к номинальному и предпочтительнее других рассмотренных тестов, когда истинный DGP есть AR(1) процесс, в то время как тест имеет либеральные искажения размера, если действительный DGP является AR(2) процессом.

2 T t T t 1 2(1) s = s 2 T T t=1 s=1 t=1 s=T t T t t 1 2(1) + s - s s 2 T T t=1 s=1 t=1 s=1 s=T t 2(1) = s + R1 - R2.

T t=1 s=Вторая и третья компоненты есть op(1), в то время как первая компонента имеет невырожденное предельное распределение. Таким образом, смещение числителя зависит от R1 и R2.

KT тогда определяют смещение в числителе как математическое ожидание R1 - R2 вплоть до -O(T ). Это смещение обозначается как bT :

-E[R1 - R2] = bT + o(T ). (6) Теорема 1 Пусть 0 = E[t ], лаговый полином (L) = c(L)(1-L) и (1) = d(z)/dz|z=1.

Тогда смещение bT в числителе KPSS статистики (5) выражается как b0 (1) bT = 0 + e (7) T 3(1) 2854-5763+4982-2131+1 1 где b0 = 5/3 для Модели 0, b0 = для Модели 0t, b0 = 7/6 для 30(1-31+32)Модели I и b0 = 19/15 для Модели II3.

Примечание Заметим, что в случае Моделей 0, I и II смещение не зависит от датировки структурныго сдвига. Однако это не так для Модели 0t.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.