WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

Профиль скорости получается симметричным при n = 1, симметрия нарушается, если n > 1: максимальное значение скорости сдвигается в сторону легкого вещества с возрастанием n. Фронт перемешивания также будет более продвинутым в сторону легкого вещества. На рис. 9.6 демонстрируется выход на автомодельный режим задачи с начальными данными (9.13) при = 12.5. Первоначально неавтомодельные профили скорости и плотности также стремятся в пределе к автомодельным, изображенным на рис. 9.4и 9.5.

2.4. Приближенное решение Анализируя профили получаемых решений (см. рис. 9.4), видим, что турбулентная скорость в области перемешивания имеет колоколообразный вид. Поэтому можно, как и в §7, построить приближенное решение, заменив турбулентную скорость в области смеси постоянной величиной. С этой целью усредним уравнение (9.12) по области смеси:

2 dV kV 2A=-, k = 0.25 + + ; (9.24) 2 2d 160 d = lVdt ; (9.25) x = 0.51+ ; (9.26) 0. 0.L = 4, 0 = 0.906. (9.27) Здесь также выписано решение для L и ; – интеграл вероятности:

= ( ) ( ) 0.5 exp -2 d. При выводе (9.24) использовано решение для плотности (9.26). Усреднение проведено путем интегрирования по L области перемешивания x. Предварительно в (9.12) введена вместо времени t переменная, а после интегрирования по области перемешивания соответствующие интегралы заменены приближенными выражениями V M ( ) V dx, L x V V dx dx = 0, x x x x L x=0 L x x ln ln U dx U M, x x x=L x 0 1 + 2 ln A M = dx = L, =.

0. 2 x ( ) L x=x Уравнения (9.24)–(9.27) интегрируются, и решение выписывается в виде 12k L3 -1+2k L = L3t1+2k, V = t. (9.28) 80 1+ 2k ( ) Здесь L3 – постоянная, определяемая начальными данными (9.13).

Сравнивая формулы (9.28) и (9.17), находим явное выражение B =, (4.6) 1.5 + + A802 применимое и при n = 1. Зависимость для этого случая изображена кривой на рис. 9.2. Заметим, что формулу (9.29) можно также получить, конструируя приближенное решение для системы (9.18), (9.19). Это сделано в приложении 8. Формула (9.29) вполне удовлетворительно работает и в общем случае. На рис.9.3 линией показана степень B в формуле (9.29) при n = 3. Сравнение результатов численного интегрирования с приближенной формулой (9.29), представленное на рис. 9.2 и 9.3, свидетельствует о хорошей точности приближенной формулы. Численные результаты [1, 2] согласуются с кривойрис. 9.2.

§ 10. ks и k s модели для описания турбулентного перемешивания в условиях, приводящих к сепарации Введение Помимо диффузионного подхода для описания турбулентного перемешивания существует еще подход многокомпонентной смеси с уравнениями сохранения для каждой компоненты, имеющей свою скорость.

В этом подходе вводятся неизвестные обменные члены, которые затем определяются из общих соображений. Этот подход развивается в работах [5–7]. Его достоинством является возможность описания сепарации области турбулентного перемешивания, которая может происходить при смене знака ускорения, когда неустойчивое состояние переходит в устойчивое.

Однако, как показано в [6], динамика процесса, связанная со сменой знака ускорения, передается неправильно. Многокомпонентная модель не описывает режим с выключенным ускорением.

Янгс в [6] предложил комбинированную модель. В обменные члены были введены потоки, которые обеспечили диффузионность модели. Для определения коэффициента турбулентнойдиффузии D было использовано уравнение баланса для кинетической энергии турбулентности. Такой подход позволил описать эксперименты с ускорением, изменяющем знак во времени. Естественно, что комбинированная модель приобрела положительные свойства диффузионной модели.

В работе автора [ ] в приближении несжимаемости были получены уравнения первоначальноймодели Янгса. Система из 5 уравненийсведена к двум уравнениям для плотности смеси и для масштаба длины L.Изучение свойств решений полученных уравнений позволило провести оптимальный выбор обменных членов. Предложенная модификация модели Янгса существенно улучшила согласие с результатами экспериментов по описанию турбулентного перемешивания на неустойчивой стадии.

Анализ модели Янгса подсказал, как следует модифицировать k и k модели, чтобы описать явление сепарации. Предложения по учету сепарации с помощью переносных членов делались также Г.Н.Рыковановым и позже А.В.Полионовым [ ]. Поскольку, как показали эксперименты Ю.А.Кучеренко и А.А.Пылаева, интенсивность перемешивания и сепарации значительно отличаются, постоянная сепарации почти на порядок (в семь раз) меньше постоянной перемешивания, то естественно попытаться в рамках диффузионных k и k моделей учесть эффект сепарации с помощью переносных членов.

Оказалось, что переносные члены, обслуживающие сепарацию, лучше добавлять только в устойчивых ситуациях, начиная с момента, когда турбулентная кинетическая энергия обращается в нуль.

Если имеет место неустойчивость, то диффузионная модель вполне удовлетворительно описывает все известные тестовые эксперименты, тогда как такое описание на основе переносных членов затруднено, особенно в случае выключенного ускорения. Поэтому в неустойчивом случае следует использовать только диффузионную модель без сепарационных добавок, а последние использовать только в устойчивых ситуациях.

2. Анализ экспериментальных результатов Ситуация, когда ускорение на границе раздела сменяется замедлением, является типичной в процессе сжатия оболочечных мишеней в проблеме ЛТС. Качественно это показано на рис. 1, где изображены траектория границы раздела, и ускорение на нейв зависимости от времени.

Рис. 1. Типичная картина поведения границы раздела x0 легкого 2 и тяжелого 1 вещества при смене знака ускорения g. t0, t1 – времена обращения ускорения в нуль. 0;t0 t > t1 – неустойчивые I и III этапы, t0,t1 –устойчивый. Lmin и [ ] [ ] Lmax – минимальное и максимальное значения ширины области перемешивания.

В некоторый момент времени t0 ускорение меняет знак. Если в области x < x0 находится тяжелое вещество плотности 1, то I стадия до t t0 будет неустойчивой. На этой стадии граница раздела разрушится и начнется перемешивание. После смены знака ускорения наступит II устойчивая стадия. Как будет вести себя турбулизовавшаяся смесь Для ответа на этот вопрос были поставлены эксперименты вначале в Алдермастоне [6], затем в Снежинске [14].

В экспериментах ампула с двумя несжимаемыми жидкостями сперва ускорялась до t = t0. В этот момент ускорение меняло знак, и затем при t = t1 снова происходила смена знака ускорения. В [14] были предприняты попытки сделать ускорение на каждом этапе по возможности постоянным.

Это обеспечивало автомодельность процесса турбулентного перемешивания на I стадии:

h1 = m Ag0t2.

В [14] показано, что и на II стадии устанавливается режим, который описывается следующей формулой:

& h1 = hmax - s 2 s - sc - sc t - tc, (10.1) ( ) где s – новая эмпирическая постоянная сепарации в отличие от & постоянной перемешивания m метится индексом “s”, hmax, sc и sc соответственно максимальное значение ширины области смеси в сторону тяжелого, координата первоначальной границы раздела и ее скорость в момент tc. Последняя формула является обобщением на случай переменного ускорения. Обработка экспериментов [14], проведенных для A = 0.5, дала s = 0.01. Постоянная сепарация оказалась в 7 раз меньше постоянной перемешивания m = 0.07.

В экспериментах на III этапе, когда ускорение снова сменило знак [14], наблюдается рост ширины области перемешивания после прохождения второй экстремальной точки, когда h1 принимает максимальное значение.

Также отметим, что в экспериментах [14] было показано, что максимальное значение ширины hmax наступает через некоторое время tc - t0 после смены знака ускорением. предлагаемые ниже ks и k s модели передают и эту особенность эксперимента.

3. Модель Янгса. Аналитические решения Анализ системы уравнений для многокомпонентной жидкости [ ] приводит в частном случае двух несжимаемых жидкостей к системе двух уравнений для плотности и для масштаба длины L :

g0L = ( - - 2 (10.2) )( ) t x 1 - 2 c( ) 2 ) Lg0L L ( - 2 g0L + 1 + 2 - 2 =, () t 1 1 + 2 c( - 2 c1 x ) () (10.3) Эти уравнения получены в предположении, что g0 1 - 2 > 0. В ( ) противном случае выражение под корнем должно браться по модулю, а перед корнем знак меняется на противоположный. Напомним, что знак выражения g0 1 - 2 связан со знаком инкремента и характеризует ( ) соответственно неустойчивую > 0 и устойчивую < 0 ситуации. В ( ) ( ) первом случае ширина области перемешивания возрастает и масштаб L растет, во втором случае имеет место сепарация и L убывает. Это следует из уравнения (10.3). c1 – дополнительная эмпирическая постоянная, введенная в работе [ ].

Для уравнений (10.2), (10.3) рассмотрим простейшую задачу. Будем полагать, что при t = 0 имеем две несжимаемые жидкости, граничащие в точке x0 = 0 :

= 2 при x < 0;

(10.4) = 1 при x > 0;

причем, как и раньше, 2 <. Пусть ускорение g0 со временем дважды меняет знак:

g0 > 0, 0 t t0;

g g = < 0, t0 t t1; (10.5) g2 > 0, t1 t.

Заметим, что сформулированный пример необходим для оценки влияния сепарации. В эксперименте при таком законе ускорения ширина на первом этапе будет расти, достигнув максимального значения начнет уменьшаться, и затем снова расти.

Цель настоящего параграфа – построить точное решение при постоянном ускорении; на основании профиля смеси получить формулу для ширины области смеси и сравнить ее с известной зависимостью h1 = m Ag0t2, (10.6) где h1 – ширина области перемешивания в сторону тяжелого вещества.

Соответственно, через h2 обозначим ширину в сторону легкого вещества.

Это позволит получить связь введенной постоянной c1 с эмпирической постоянной m.

Сделаем одно предположение, которое существенно упростит задачу.

Анализируя поведение коэффициента при втором члене в уравнении (10.3), видим, что он в зоне перемешивания меняет знак и обращается в нуль при 1 + 2 1 + 2 - =. Изменение коэффициента происходит в ( - ) 1 - 2 1 - интервале. При малом числе Атвуда есть все - 1, основания этим членом пренебречь, но мы делаем это и в общем случае для любого A. Как легко видеть, при таком допущении уравнение (10.3) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для масштаба длины Lt и легко интегрируется. В этом разделе, если масштаб длины зависит только от времени, будем метить его индексом t внизу. Значение Lt зависит только от времени, поэтому уравнение (10.2) для плотности смеси интегрируется.

Итак, при постоянном ускорении имеем ( - 2 g) Lt = L0 + t (10.7) 1 + 2 2c() В уравнении (10.2) перейдем к автомодельной переменной x =. (10.8) Lt После несложных преобразований получим () () ( )( ) d - 1 1 + 2 2 2 - 1 - 2 - - 2 - 1 = d 2 1 - 2 ( ). (10.9) Чтобы удовлетворить краевым условиям (10.4), достаточно приравнять нулю выражение в фигурных скобках.

Заметим, что устойчивое разрывное решение (10.4) имеет место при g0 < 0. Это следует из поведения характеристик исходного уравнения (10.3). В этом случае они будут пересекаться по оси x = 0, и первоначально заданное разрывное решение будет сохраняться во времени.

Если g0 > 0 и согласно (10.4) легкое вещество находится слева от начала координат, то разрывное решение неустойчиво. В этом случае решением будет функция 1 1 + 2 2 2 - 1 - 2 - ( - 2 - () () )( ) = 2 1 - 2 ( ) (10.10) Определим три характерные точки профиля : 1 и 2, соответствующие фронтам перемешивания, и 0 в точке = 0.

1 + 2 = 1 + 1 =- (10.11) 1 0 = = 0 = 1 + 2 + 1 + 2 + ( ) () () Если использовать (10.7) и (10.8), то получим 1 + 2 1 - 2 g0th1 = 1Lt =.

21 1 + 2 2cСравнение с (10.6) дает искомое выражение для c1 :

1 + 2 c1 =.

21 2m Рассмотрим решение при условии смены знака ускорения. Легко заметить, что при t t0 оно будет определяться выше полученными формулами (10.8), (10.10), (10.11). После смены знака ускорения, согласно (10.8), будем иметь g0 gLt = A t0 + A t0 - t.

( ) 2c1 2c gОчевидно, разрыв восстановится при tcc = -. Здесь, как и в 1+ t g1 [6], использовано одно и то же значение постоянной c1 независимо от знака ускорения, хотя, как показано выше, этоне так.

4. Модификация модели Янгса Для того, чтобы оценить свойства полученного решения, необходимо обратиться к результатам экспериментов Кучеренко–Пылаева [9] и Янгса– Рида [6]. Лучше всего сравнивать профили для смеси. Выберем две характеристики профиля: значение плотности смеси в точке начального hположения границы x = 0 и меру несимметрии. Совокупный анализ ( ) hэкспериментальных профилей вместе с теоретическим изучением приводит к выводу [2]: если ширины области перемешивания h1 и h2 определять эффективно, отходя от фронта перемешивания внутрь области hперемешивания, то несимметрия изменяется в ограниченных пределах.

hНесимметрия решения предыдущего пункта значительно отклоняется h2 L2 от допустимой: = = - = n. Это видно из рис. 7.4. Так для h1 L1 h2 hn = 3 в экспериментах = 1.19 1.27, в теории по Янгсу = 1.73.

[] h1 hПлотность 0 в модели Янгса согласно (10.11) есть ( ) lim 0 = 0.331, тогда как из [6] и [9] следует, что в опытах.

( ) lim 0 = 0.451. Таким образом, профиль с симметричным ( ) перемешиванием в обе стороны будет меньше отклоняться от экспериментального, т.к. тогда lim 0 = 0.51.

( ) Модель с такими свойствами легко получается, если в формуле (10.2) 1 + плотность заменить ее средним значением. Уравнение для ширины L берется в форме (10.3). Уравнение для плотности смеси примет вид 2g0L = ( - - 2. (10.13) )( ) t t 1 - 2 1 + 2 c( )() Если, как и раньше, пренебречь переносным членом в (10.3) (второй член в левой части), то решение получим в виде линейной функции от :

1 + 2 1 - =+. (10.14) 1 + Очевидно, 1 =-2 = 1 и 0 =. Постоянная c1 связана с m равенством c1 =.

m 5. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения переноса (ks – модель) Выше было показано, что диффузионные k и k модели вполне удовлетворительно описывают широкий класс задач с переменным ускорением, в том числе задачи с выключенным ускорением и с тонким слоем. Сепарация может быть описана путем введения переносных членов по схеме предыдущего пункта, однако подключение ее требует особого исследования.

Для написания исходных уравнений модели используем уравнение (10.13). Запишем его вместе с диффузионным членом:

2 g L = D ± s ( - - 2, )( ) t x x ( - 2 1 + )() (10.16) где D = 0LV ; если g > 0, то берется знак “+”, если g < 0, то берется знак “–“.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.