WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

b g Для замыкания уравнений необходимо определить способ вычисления ширины области перемешивания, так как из (9.2) следует, что профиль плотности не имеет фронта из–за линейности исходного уравнения диффузии. Поэтому, как и раньше, введем ширину эффективно, используя для этого безразмерный профиль плотности :

xx F I F - 2LI - G J G J - 0 H K H K 2 = =. (9.3) L L0, 0 F I b gG J H K Значение изменяется монотонно от 1 при x = L0 до 0 при x =-.

Введем новую пространственную переменную :

x - L =.

Определим фронт перемешивания из равенства d =- m (9.4) z Здесь фронт m определяется эффективно, если функцию представить прямой, соединяющей точки 0 и m.

При больших временах функцию можно приближенно заменить экспонентой:

e- (9.5) Это следует из (9.3), если воспользоваться разложением функции в окрестности нуля. Подставляя (9.5) в (9.4) получим ( ) m =- ; Lm - L0 =-2m. (9.6) Зная зависимость ширины области перемешивания от, вернемся к уравнению баланса для кинетической энергии, предварительно заменив время t на на основании соотношения = Dt (см.(7.6)):

2 2 F I F I V vV V 1 V 1 ln 2 + = g + +- V + V G J G J 2 2L2 x x x 2 x x 3 x H K H K m (9.7) Усредним последнее уравнение по области перемешивания, проинтегрировав его по переменной x в интервале -Lm, L0 и заменив LLV dx = V m, где m = dx. При этом для плотности смеси z - Lm - Lm используем решение (9.2) или его приближенное представление в виде LL0 - 0 + 1 - 0 e.

c h 2 Опуская промежуточные выкладки (см. Приложение 7), получим дифференциальное уравнение для V :

2 2 gL0 1- e ( )(n -1); =.

V V + 1+ = 2 2 2 m (9.8) Постоянная скорость V будет решением последнего уравнения 2gLV = 1- e- n -1. (9.9) ( ) ( ) v + Уравнение (9.8) не применимо в окрестности =0. Поэтому, чтобы удовлетворить начальным данным при = 0: V = V02, следует вернуться к полной постановке задачи. Однако это можно и не делать, т.к.

очевидно, что каким бы ни было поведение функции в окрестности нуля при больших временах, а следовательно и, функция V будет стремиться к постоянному значению, определяемому выражением (9.9). В зависимости от начальной скорости V0 это стремление будет либо сверху, либо снизу.

Возвращаясь к исходным переменным t и Lm с помощью (9.6) и (7.3), Lm получим предельный наклон, устанавливаемый, когда >> 1:

LdLm = 2V, dt или dLm 3 1- e= 22 2 n -1 (9.10) d 2sL0 v + gtгде s =.

Другой случай в) может быть рассмотрен аналогичным образом. Фронт перемешивания более легкой смеси распространяется вверх от устойчивой границы, находящейся в точке x = 0. Профиль безразмерной плотности при больших временах, как и раньше, описывается формулой (9.5), а скорость перемешивания представляется формулой, подобной (9.10), только n -n -1 нужно заменить на.

n dLm 3 1- e- n -= 222 (9.11) v + n d 2sLЕсли эмпирические постоянные и v были уже выбраны, то имеем дополнительную проверку правильности их выбора.

1.2 k –модель. В случае k уравнений решение в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии строится аналогично тому, как это проделано для k–модели в предыдущем пункте. После осреднения по всей области турбулентного перемешивания L0 получим два [-Lm, ] уравнения для k и t функций.

Lm При >> 1 решением будут соотношения:

L ck = R0 ;

1- c c1 Lm = 2cµm R0 ;

1- c gL0 0 - iR0 = 1- e-.

( ) i0m После чего, вспоминая уравнение d = cµDtdt и соотношение (9.6) получим:

dLm 2cµc 2 c1 0 - i= 1- e- 1-, c1 c id 2sL 0 здесь, если i = 1, то 0 = 2 (тяжелое в легком); если i = 2, то 0 = (легкое в тяжелом).

1.3 Обобщение. Выше рассмотренная задача допускает обобщение, если слой с плотностью 0 находится в окружении жидкостей разных плотностей. Тогда возможны ситуации, когда плотность смеси 0 больше плотностей окружающих сред, меньше или лежит в промежутке между ними:

0 0 0 0 0 0 a)0 > 1, 0 > 2 ; б)0 < 1, 0 < 2 ; в)1 > 0 > 2 ; г)2 < 0 < Эти случаи представлены на рис.5, а, б, в, г. Замена в окружении легкого вещества на тяжелое в случаях а и б отвечает новым случаям д и е (см. рис.5, д,е). На рис. 5 извилистыми кривыми изображены границы все время неустойчивые, жирными линиями – все время устойчивые и обычными линиями – устойчивые ограниченное время 0 t t0.

Анализ устойчивости на границах раздела, выполненный в §3, приводит к условию неустойчивости g > 0. В противном случае x граница устойчива и генерационный член в k и k моделях полагается равным нулю. Однако наличие отличного от нуля коэффициента диффузии D D приведет к тому, что в условиях, когда граница устойчива, ( ) образуется протекающий через нее турбулентный поток. Это будет в случае в, когда возникает движение примеси в условиях устойчивой стратификации. Эта задача изучалась в работе автора [15], где был получен закон изменения ширины области перемешивания во времени со степенью B, зависящей от постоянных и. Здесь приводится уточнение этой зависимости.

Случай г, когда обе границы неустойчивы, асимптотически выходит на известное автомодельное решение [12, 18] для двух несжимаемых жидкостей. Ширина области перемешивания примеси развивается с течением времени по квадратичному закону.

Случаи а и б приводят к постановке, когда одна граница устойчива, а другая нет. Неустойчивость одной из границ в зависимости от 0 расположения тяжелого 1 и легкого 2 веществ может иметь место ( ) ( ) только до некоторого момента t0 (в случае д и е на рис. 5). Начиная с момента t0, обе границы станут неустойчивыми, что будет эквивалентно случаю г.

Рис. 5 разные случаи начального расположения турбулизованной примеси с 0 плотностью 0 и легкой и тяжелой жидкостей с плотностями 2 и 0 0 0 0 0 соответственно: a - 2 < 1 < 0; б - 0 < 2 < 1 ; в - 1 > 0 > 2 ;

0 0 0 0 0 г - 2 < 0 < 1 ; д - 2 < 1 < 0; е - 0 < 2 < 1.

Для определенности будем полагать величины V0 и 0 в интервале 0 x L0 постоянными. Рассмотрим решения уравнений (9.8), (7.12) и (7.13). Со сформулированными выше начальными условиями при достаточно большом времени, которое можно связать с шириной области L перемешивания L. Следовательно, определим решение, когда 1.

LL Окончательно асимптотические решения при 1 будут Lследующими:

1) случаи г, д, е:

V 1 AL0 4k ( ) L 81 -, k - модель, dL =, g0 21 1+ 4k L ( ) d 2s k - модель.

k –модель, 2) случаи а и б:

0 - 1 L2., k - модель;

dL + 2 = d 2s c1 2cµc 2 0 - 1 L, k - модель.

0.9781- c c1 3) случай в:

1+ 4 A, k - модель, 1.L ~ tB, где B = + + 4 + 0.11 A() k - модель.

Здесь в случаях 1) и 3) использованы результаты §7 и §8.

2. Расплывание турбулизованного слоя смеси В этом разделе отдельно рассмотрен случай в. Изучена задача о расплывании турбулентного слоя смеси, образованного на границе двух несжимаемых сред с постоянными, но разными плотностями. Показано, что при больших временах решение стремится к автомодельному, причем степень автомодельности не может быть определена из анализа размерностей, а находится в процессе решения краевой задачи. Степень есть функция эмпирических постоянных модели. Для ряда параметров построены автомодельные решения и даны графики зависимости степени автомодельности от постоянных модели. В приближении постоянства турбулентной скорости по пространственной переменной получена формула для степени автомодельности, а решение для плотности смеси выражено через интеграл вероятности. Частный случай задачи для однородной среды рассмотрен в [1,2]. Приводимые там результаты вычислений согласуются с полученными в настоящей работе.

2.1 Постановка задачи Пространство заполнено двумя несжимаемыми жидкостями с плотностями 0 1 и 2. Граница раздела проходит по плоскости. Пусть в начальный момент времени в окрестности границы создается плоский турбулентный слой ширины L0, состоящий из смеси обоих веществ. Такое состояние может возникнуть, например, благодаря ускоренному движению границы в интервале времени t0 при соответствующем знаке ускорения, так что за время t0 генерируется зона турбулентной смеси шириной L0 и с некоторой начальной турбулентной скоростью V x,t0. В отсутствие источников ( ) турбулентности начальный слой смеси расширяется, вовлекая соседние жидкости. Турбулентная энергия, определяемая через характерную турбулентную скорость, при этом затухает, диссипируя в тепло.

Для описания возникающего турбулентного перемешивания будем применять k –модель, основанную на уравнении баланса для кинетической энергии турбулентности и описанную выше в §§ 5–7. Исходные уравнения здесь возьмем в виде (5.4) и (5.5). Для удобства уравнение (5.5) перепишем в виде:

23 2 2 V D ln V V V 5V ln ln -= - + D + - D 2t 2 x x l x x 6 t x.

(9.12) В (9.12) в отличие от (5.5) отсутствует генерационный член. Первый член в правой части порождает диссипацию турбулентной энергии и фактически определяет закон затухания турбулентности. Второй (диффузионный) член с коэффициентом вводится [4] для описания пространственного растекания турбулентности.

Для системы (9.12), (5.4) ставится следующая задача: определить решение при t > 0, если в начальный момент t = ( ) LV 0, x = V0 x, 0, x = 0 x, x, (9.13) ( ) ( ) ( ) ( ) (V0 x, 0 x – функции, характеризующие турбулентную смесь).

( ) ( ) Начало координатной оси возьмем в середине слоя (рис. 9.1).

Рис.9.1. Распределение начального состояния V0 x и 0 x в момент t = 0.

( ) ( ) Краевые условия на левом и правом фронтах перемешивания x = x2 t и ( ) x = x1 t имеют вид ( ) x = x2 t : V x2 t,t = 0, 2 x2 t,t = 2, ( ) ( ) ( ) (9.14) x = x1 t : V x1 t,t = 0, 1 x1 t,t = 1.

( ) ( ) ( ) Поставленная задача неавтомодельна, но при больших временах, когда t t0 и L L0, начальные данные забываются и решение, вообще говоря, стремится к автомодельному.

2.2.Автомодельное решение Система (9.12)–(5.4) допускает преобразование подобия:

BB-B+%%2 B+x = x0, V = x0, = 1. (9.15) % Здесь x0 – размерная постоянная, определяемая начальными данными (9.13); B – пока произвольная безразмерная постоянная, показатель автомодельности;, и – безразмерные представители ( ) ( ) длины, скорости и плотности; – новая переменная, связанная со временем уравнением d = L. (9.16) dt В отличие от ранее введенной переменной, здесь.

Из (9.15) следует B B+% L = x0 0.9 - 0.1, (9.17) () где 0.9 и 01 отвечают координатам, при которых безразмерная плотность n-1 = n = принимает значения 0.9 и 0.1.

n -1 Используем новые переменные для приведения (9.12), (5.4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого (9.15) подставим в (9.12), (5.4):

B y - - = y3 + 2 y ;(9.18) ( ) B + + + 1+ 2 y2 - - - y( ) ( ) BBB -1 B +1 B + ( - 0.1 B +1 0.) (9.19) Штрих означает дифференцирование по. При выводе (9.18) и (9.19) использована замена y2 =, позволившая понизить порядок первого уравнения.

Краевые условия (9.14) в безразмерных переменных (9.15) примут вид = 2 : 2 = 0, = ; = 1 : 1 = 0, = 1. (9.20) n Решение задачи для системы (9.18), (9.19) с краевыми условиями на фронтах (9.20) весьма проблематично, тем более, что в точках (9.20) уравнения имеют особенность: коэффициент при старшей производной обращается в нуль.

Однако можно указать универсальный способ решения возникшей краевой задачи – численное интегрирование исходных уравнений в частных производных (9.12), (5.4) с начальными данными (9.13). Численно интегрировались исходные газодинамические уравнения (4.16)–(4.20), при этом несжимаемость имитировалась заданием достаточно большой начальной скорости звука. Таким образом, устанавливается факт выхода на автомодельное решение, которое одновременно и определяется. Прежде чем переходить к обсуждению результатов численного интегрирования, сделаем два замечания.

Замечание 1. Для однородной среды n = 1 уравнение (9.18) имеет тривиальное решение y = 0, а (9.19) приводится к виду 2 B - + - - = 0. (9.21) ( ) BB 2 (0.9 - 0.1) B + +Этот случай рассмотрен [1,2], где отмечено, что показатель автомодельности B должен определяться в процессе решения краевой задачи. Действительно, фронты перемешивания в этом случае расположены % симметрично 1 =-2 = 0. Задачу в новых переменных и % % =, = можно свести к краевой на интервале [0,1] с 0 % условием симметрии в точке = % = 0 (9.22) % и полностью определяемым решением в точке = B % =- 1- - 1- +L (9.23) ( ) ( ) B +1 4 B +1 ( ) ( ) % Уравнение (9.21) в переменных и будет 2 B - + - - = 0.

( ) BB % 4 0.1 B +1 % 2 +Решение находится численным интегрированием последнего уравнения.

% Выходя из точки = 1 по разложению (9.23) и интегрируя до точки % = 1, значение параметра автомодельности подбираем таким, чтобы удовлетворять условию в центре симметрии (9.22).

Замечание 2. Степень автомодельности B – функция постоянных модели, и, причем последние две постоянные входят в виде отношения. Это обстоятельство не замечено в [1,2], где коэффициенты уравнения зависят от параметров и. Замена искомого решения в [1,2] % % на новое = 2 приводит к уравнению с одним коэффициентом, () пропорциональным отношению (в [1,2] = c, = 0.25 ).

2.3. Результаты расчетов и их обсуждение.

Результаты численного интегрирования исходных уравнений в частных производных представлены на рис. 9.2–9.6.

Рис. 9.Рис.9.Рис.9.Рис. 9.Рис. 9.Решение осуществлено по программе ТУРИНБ методом [3]. В качестве начальных данных принимались значения V0 x и 0 x : V0 x = V0 – ( ) ( ) ( ) x 0 0 постоянная, 0, x = 2 + 1 - 2 + 0.5 x.

( ) () L0 L, Рассмотрена зависимость решения от начальных параметров,, n. Установлено слабое влияние значений и n на степень автомодельности B. Это следует из рис. 9.2, где при n = 1 приведена зависимость степени B от отношения, точки – результаты численного интегрирования при = 0.25, кривая – приближенная зависимость, доставляемая формулой (4.6). Численно определялось решение и при = 0.75. отличие в значении B меньше 1% и на рисунках неразличимо.

На рис. 9.3 представлены результаты расчетов при фиксированном значении коэффициента = 0.25 и n = 3;10; 20 (точки 1–3) в () зависимости от.

Профили безразмерной скорости и плотности изображены соответственно на рис. 9.4 и 9.5. Структура решения в окрестности фронта Bi следует из разложения = i ( - +L, ) 4 B +( ) 4 -y = Di i - +L, i = 1, 2 ( Di – постоянные). Разложение ( ) ( ) получено при ограниченных значениях 1 и 2. Фронт перемешивания отсутствует только в приближенном решении п.2.4, когда турбулентная скорость полагается не зависящей от пространственной координаты.

Разложение для функции y носит неаналитический характер. Значение = 0.25 в этом смысле критическое, для него существует разложение в виде ряда по целым степеням, а функция y в точках 1 и 2 принимает ограниченное значение.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.