WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |

D + x x 3 D + x Здесь, согласно (8.5) k = D +dt = cµ t.

t Как уже отмечалось, значок «+» в коэффициенте диффузии D + означает, что из формулы (8.4) берется только верхнее значение при x > 0.

Проведем осреднение по области, L1. Значения L1 и L2 связаны с [-L] переменной соотношениями (8.6). Здесь следует заметить, что D отношение коэффициентов, входящее в (8.7), будет в точке x = D + иметь разрыв, а это нужно учитывать при получении осредненных формул.

Окончательный результат после осреднения получим в виде:

dk k 1 t2 P- P0 + = ;

dL2 L2 41 1+ 2 2 cµ k 21L 1+ () () dt t c 2 t3 c1P1 t - P2 + = ; (8.8) dL2 L2 41 1+ 2 2 cµ k 21L 1+ 2 k () () dL2 2 k = 41 1+ 2 cµ ;

() dt t где 21 A( ) P0 =-0.5 - X ;

P 6 1 2 gA( ) P1 = ;

21 A( ) P2 =-0.5 - X.

P 3 Теперь поясним алгоритм получения выше приведенных формул. Он во многом напоминает процедуру осреднения для k–модели. А именно, использованы следующие формулы:

Lа) kdx = kM ; где M = 21 1 + 2 2 ;

() - LLD б) gdx = g 1 2 1 - 2 = gA010 2 1+ 2 ;

( ) ( ) () D + x -LL1 L k t в) dx 0; dx 0 ;

x x x x -L2 -LL г) k dx = 0 ;

-LL1 ( ) P ln D 21 A0 X Mk д) kdx = ;

x D + 4 -LL1 ( ) P ln D 21 A0 X Mt е) t dx =.

x D + 4 -LВозвращаясь к системе уравнений (8.7) с учетом соотношений а) – е) получим:

21 2 k d kM ( ) ( ) t+ M = 1 2 1 - 2 g - A0 MX ;

( ) ( ) P d cµk 6 21 2 t ( ) d tM ( ) c 2 t+ M = c1 1 g 2 1 - 2 t -A0 MX ( ) ( ) P d cµ k k 3.

Используя соотношение L = 21 1+ 2, получим (8.8).

() Если положить 2 = 1, что справедливо при числах Атвуда близких к нулю, то в системе (8.8) следует положить X = 1 и A0 = A. Такой P симметричный случай был изучен в работе [ ].

3. Свойства решений системы (8.8).

Решение при кусочно–постоянном ускорении Исследуем свойства решений системы уравнений (8.8). Заметим, что эти уравнения интегрируются в двух случаях: при постоянном ускорении g = const P1 = const, а также при отключенном ускорении () g = 0 P1 = 0. Последний случай отвечает асимптотическому режиму, ( ) на который выходит решение задачи о перемешивании слоя смеси с начальной кинетической энергией k 0, имеющего в начальный момент ( ) конечную ширину L0.

Пусть g = const. В этом случае, естественно при L = 0 принять t = k = 0. Эта точка является особой для системы уравнений (8.8).

Исследование поведения интегральных кривых, проведенное в Приложении 5, показывает, что при нулевых начальных данных решение многозначно:

существует однопараметрическое семейство интегральных кривых, удовлетворяющее нулевым начальным данным. Кроме того, помимо этого свойства, есть единственное решение, которое при постоянном ускорении обеспечивает квадратичный закон от времени. Это решение получено в Приложении 5 и имеет вид:

0.51 1+ 2 cµ c 2 - c1 P1t() () L =. (8.9) 1- 2P( )- 0.5 + 2Pci i=Пусть g = 0, P1 = 0.Система уравнений (8.8) значительно ( ) упрощается dk k t= P0 - ;

d cµk (8.10) dt t c 2 t= P2 -.

d cµ k Эта система имеет интеграл t2 3P0 -1- 2P2 k = (8.11) cµk P0 3 - 2c () Используя его, получим решения системы уравнений (8.10).

B - B k = k 1 2B -3P2 -1- 2P2 3 2B t = cµ k 12B (8.12) P0 3 - 2c () 1.5 - c B = 1- P2 + c 2 P0 -( ) k1 и 1 вычисляются согласно формулам (П.5.3) и (П.5.4) в конце интервала t0, на котором ускорение постоянно:

P1 c 2 - c()1 ;

k1 = c 2 0.5 - P0 - 0.25 + P() cµP1 c 2 - c1 t() 1 =.

0.25 - P2 + ci (P0 - 0.5) i=Получим формулу для ширины L. Решение (8.12) подставим в третье уравнение (8.8), которое может быть представлено в виде:

d k = cµ.

dt t Окончательно получим сперва выражение для, а затем для ширины L при t t0 :

B cµk1 3 - 2c 1 ()) = 1 1+ t ( - t0 ;

B 3P0 -1- 2P2 () B cµk1 3 - 2c 1 ()) (8.13) L = L10 1+ t ( - tB 3P0 -1- 2P2 () где L10 = L t = t0.

( ) Обратим внимание, что при t = t0 кинетическая энергия k принимает значение k1, а значение фиксированной функции t будет разрывным в силу того, что при ее вычислении используются разные выражения (П.5.2) при t t0 и (8.11) при t = t0. Именно:

( t2 t0 - 0 = 1 cµ ( )0.25 - P2 + c1 P0 - 0.5) kc1 - c 2 P0 -1+ 2P2 kt2 t0 + 0 = cµ.

( ) P0 3 - 2c 2 () Однако, значение t будет в точке t = t0 непрерывным в частном случае выбора постоянной c =1.5.

Таким образом, решение для полной ширины будет определяться формулой (8.9). на интервале 0,t0 постоянного ускорения и (8.13) при [ ] выключенном ускорении. Формулу (8.10) можно представить в более общем виде, пригодном в и случае медленно изменяющегося ускорения, если перейти, как и раньше в §7 для lv–модели, от времени t к gtперемещению s =.

cµ1A0 1+ 2 2 c 2 - c1 s () () L =. (8.14) 0.5 - 2P2 + c1(2P0 -1) Обратим внимание, что зависимость от числа Атвуда A проявляется через параметры A0, 2, P0, P2, которые определены выше. Позже эта зависимость будет исследована более детально.

Из формул (8.13) и (8.14) вытекают важные следствия относительно постоянных ke –модели:

1) степень затухания турбулентного перемешивания при выключенном ускорении определяется только постоянной c 2, 2)интенсивность dL турбулентного перемешивания J = зависит линейно от постоянной 2s cµ и разности c 2 - c1, входящей в степени 2. 3) степень затухания () турбулентности B и интенсивности турбулентного перемешивания J зависят от числа Атвуда A через параметры A0, P0, P2. Однако, чтобы получить окончательные формулы, следует как и в §7 уточнить решение за счет учета дополнительного ускорения.

4. Учет дополнительного ускорения Прежде чем это сделать, перейдем к частному случаю модели, когда c1 =1.5. Тогда уравнения (8.8) допускают интеграл, верный как при постоянном ускорении, так и при нулевом. Эта будет формула (8.11). Ее можно переписать, если перейти от к L :

2 18 - 22A0 X k P t2 =1 cµ 1+ 2 (8.15) () 3 2c 2 - 3 L() Значения A0 и X определены в §7 (7.39). Учтем дополнительное P ускорение, возникающее за счет перемещения u :

ln u =-D.

x Усредним эту скорость по области перемешивания [-L2 x L1, ] предварительно умножив обе части равенства на. Как и раньше в §7, учтем разрывность коэффициента D. Получим L u =D -d + D +d =-cµ1A0 2 1+ 2 ()kL M t -L2 3 2c 2 - 1A0 () - cµ2 k.

18 - 22A0 X P Здесь использовано соотношение (8.15). Дифференцируя полученную скорость по времени, получим значение дополнительного ускорения 6 - 3 Adu () =-cµ 2 1+ 2 2.

()182c 22A0 XP dk dt dL Если его добавить к ускорению g в правые части системы уравнений (8.8), то окончательно получим:

1g0A0 dk k 0 + 2P3 = ; (8.16) dL L 21 1+ () 3 2c 2 - dL () = 41 cµ 1+ 2 2 k ; (8.17) () dt 18 - 22A0 X P 18 - 22A0 X P P3 =-P0 + ;

12 2c 2 - () 2 3 2c 2-3 2cµ1 A( ) 0 =1+.

1 18 - 22A0 X () P Уравнение для интенсивности t исключено из рассмотрения с помощью соотношения (8.15). Таким образом, получим систему уравнений (8.16) и (8.17) в переменных k, L, t. Свойства подобных уравнений хорошо изучены в §7. В том числе и зависимость от ненулевых начальных данных.

Вернемся к решению уравнений (8.8) для ускорения, заданного ступенчатой функцией (7.17), описываемого формулами (8.13) и (8.14).

Уточним за счет дополнительного ускорения. Получим, что формула (8.13) и (8.14)перейдут соответственно в следующее:

B 21 1+ 2 cµk1 3 - 2c () ()(t - t0) ; (8.19) L = L10 1+ L10B 3P0 -1- 2P 12cµ 1+ 2 21A0 c 2 - c1 2c 2 - () () (). (8.20) L = 0 + 2P18 - 22A0 X P Обратим внимание, что вид решения (8.13)сохранился за исключением степени B.

Теперь B =.

0 + PПолучились довольно громоздкие формулы. Чтобы установить dL зависимость интенсивности турбулентного перемешивания J = и 2ds степени затухания турбулентности B как и в §7. Построим графики при фиксированных эмпирических постоянных. cµ = 2, 15 c1 =1.5, c 2 =,1 =, 1 = 0.89, 2 = 0.97.

Подчеркнем еще раз, что постоянная cµ выбрана так, чтобы интенсивность перемешивания J для ke и k моделей совпадали при малых числах Атвуда A. Тогда приходим к следующим простым апроксимационным формулам:

dLJ1 = = 0.06 1+ 0.42A A ; (8.21) () 2ds B = + 0.05A2L. (8.22) Сравнение результатов двух моделей показывает, что зависимость интенсивности перемешивания от числа Атвуда получается фактически одной и той же, степень затухания в ke модели – несколько ниже. Эту несущественную разницу трудно заметить экспериментально.

Подчеркнем основной результат, следующий из полученных аналитических формул, как для ke модели – (формулы (8.19), (8.20)), так и для k модели (формулы (7.48) и (7.54)). Интенсивность турбулентного перемешивания J1 и степень затухания турбулентности B довольно заметно зависят от числа Атвуда. Для J1 в литературе принято считать зависимость от числа Атвуда линейной. Здесь установлена нелинейность, из которой следует, что при A =1, постоянная перемешивания как бы возрастает на 42%. Также степень затухания B возрастает на 18%.

5. Влияние начальных возмущений Ограничимся частным случаем ke уравнений, когда c1 =1.5, т.е.

будем изучать поведение решения уравнений (8.16), (8.17). Сперва заметим, что подобная система уравнений уже была исследована в §7. (уравнения (7.12), (7.13), а с учетом несимметрии это система (7.44). Здесь будем исследовать систему уравнений (8.16), (8.17) при ненулевых начальных условиях t = 0; L = L0; k = k0.

При постоянном ускорении из (8.16) имеем решение для k 21AL k =+ 2 1+ 2 1 0 + 4P() (). (8.23) 4P 21g0A0Lk0 L+ 2 1+ 2 1 0 + 4P3 L () () Заметим, что при определенных начальных данных, приводящих к занулению квадратной скобки, получается сразу автомодельное решение. В других случаях будет иметь место выход на автомодельное решение, которое определяется первым слагаемым в выражении (8.23). Второе слагаемое с ростом L стремится к нулю.

Уравнение для ширины (8.17) после подстановки в него решения (8.23) примет вид:

4 1+ () 3 2c 2 - dL () = cµ d 2s 2 18 - 22A0X P 4P 21AL 21AL0 2k0 2 L0 0 + 1 1+ 2 0 + 4P3 g0 1+ 2 0 + 4P3 L () () () () (8.24) Из полученного уравнения видно, как происходит выход на автомодельное решение. Пусть начальные данные таковы, что 21AL2k=.

g0 1+ 2 1 0 + 4P() () Тогда (8.24) можно проинтегрировать и получить L = L0 + 3 2c 2 - 3 21A() +2 1+ 2 cµ s () 18 - 22A0XP 1+ 2 0 + 4P() () (8.25) Заметим, что, как и раньше в §7 (7.28) Шероховатость входит в качестве слагаемого, если решение представить в переменных L, s. Такая зависимость имеет место только при определенных начальных данных, отвечающих автомодельному решению. Такие переменные рекомендуются для обработки экспериментальных результатов. Они позволяют на более ранней стадии выявить автомодельный характер течения.

§9. Перемешивание слоя конечной ширины Во многих экспериментах на границе раздела присутствует пленка.

Сложные мишени в проблеме ЛТС как правило имеют тонкие прослойки.

К постановке задачи с тонким слоем приводят также некоторые задачи атмосферы и океана, в которых предметом исследования является определение законов распространения начально турбулизованной примеси.

Рассмотрим закономерности поведения тонкого слоя при больших временах в присутствии поля силы тяжести. Сперва рассмотрим самый простой случай (п.1), когда тонкий слой одного вещества помещен в среду другого вещества. Задача интересна тем, что при больших временах, L когда >> 1, устанавливается линейный закон от времени. В Lэкспериментах определяется коэффициент этой зависимости, и Ав теории вычисляется зависимость этого коэффициента от констант модели.

В п. 1.1 в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии получены аналитические формулы для k–модели.

В п. 1.2 приводятся формулы для k –модели и обсуждается сравнение с k–моделью.

В п. 1.3 рассмотрена более общая постановка о перемешивании тонкого слоя, помещенного между двумя средами разной плотности.

Анализируются все возможные ситуации. В зависимости от соотношения плотностей примеси и окружающей среды может представиться несколько характерных ситуаций. Если плотность примеси имеет промежуточное значение, то в зависимости от расположения легкой и тяжелой сред со временем будет иметь место либо интенсивное перемешивание по квадратичному закону (тяжелое вещество сверху), либо слабое 2 перемешивание со степенью (легкое вещество сверху). Примесь 7 будет растекаться примерно по одинаковому закону вверх и вниз. Если же примесь тяжелее окружающих сред, то в случае, когда тяжелая среда находится вверху, имеет место перемешивание с постоянной скоростью только в сторону тяжелого вещества. Аналогичная картина наблюдается, если примесь легче окружающих сред. Тогда перемешивание происходит в сторону легкого вещества, расположенного внизу, и также с постоянной скоростью, т.е. по линейному закону от времени.

Все эти случаи изучаются на основе полуэмпирических моделей.

Частный случай для тонкого слоя, погруженного в тяжелый, в рамках k– модели впервые был рассмотрен в работе [1]. Обобщенное рассмотрение содержится в работах автора [20, 21], где изучался тонкий слой у дна и крышки ускоряющегося сосуда, а также была рассмотрена автомодельная задача о расплывании турбулентного слоя смеси.

1. Решение в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии 1.1. k–модель. Итак, слой вещества, помещенный в среду другой плотности, перемешается в любом случае, независимо от знака ускорения, так как одна из границ будет неустойчивой всегда.

На первой стадии до выхода области перемешивания на устойчивую границу решение будет автомодельным. Затем начнется вторая стадия, неавтомодельная, решение асимптотически стремится к решению третьей стадии. Оно будет автомодельным.

Если сделать предположение о постоянстве коэффициента турбулентной диффузии по пространству, то решение задачи о перемешивании слоя можно свести к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а случай перемешивания тонкого слоя описать аналитически [46].

Пусть слой ширины L0 0 x L0 помещен в более легкую среду b g плотности 0 (случай а) и в более тяжелую 1 (случай б). В поле силы тяжести g0 одна из границ будет всегда устойчива, на ней задаются условия непротекания, а другая неустойчива и перемешивается. Основная задача последующего изучения – определить профиль смеси, а также закон расплывания ее во времени.

Как и раньше применим приближенный подход § 7 и положим коэффициент диффузии постоянным. Для простоты ограничимся симметричным случаем, когда 2 = 1. Тогда задача сведется к решению уравнения диффузии = (9.1) xдля слоя плотности 0, имеющего начальную толщину L0. Точное i решение уравнения (9.1) для случая i = 1 (случай а)) имеет вид:

1 xx F - 2LIP = 0 + 1 - 0 (9.2) c hL F I -, G J G JO 2 M H K H KQ 2 2 N где – интеграл вероятности.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.