WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |

B0 t 2 821 1 g0t0 A ( ) L10 = ; B0 =.

1+ 4k0 1+ 2kПри интегрировании положены нулевые начальные данные:

t = 0; V0 = L0 = 0.

Теория [14] и эксперимент [12] при A = 0 подсказывают, что степень Bравна, следовательно, k0 = 1.25 или = 1. Значение 7 постоянной выбираем, следуя [7, 18, 19], из условия, что L1 = 0.06g0At2.

Постоянную 2 полагаем равной 1. Вспоминая, что 1 = 1.128, 1 = 0.89, окончательно получим: = 0.282, ( ) 2 = 1, = 1.62. С этими постоянными проводится дальнейшее исследование. Очевидно, что при 2 = 1 роль этой постоянной незначительна, поэтому ниже для простоты мы полагаем: 2 = 0.

5.4 Аналитические решения для постоянного и импульсного ускорений при произвольном числе Атвуда.

Как было показано выше, полученное уравнение (7.44) вместе с уравнением для ширины из (7.42) могут быть проинтегрированы как при постоянном, так и при импульсном ускорениях. Повторяя рассуждения пункта настоящего параграфа, получим:

2 1 2 1+ 2 1 A( ) () dL= J1 =. (7.47) 2ds z0 + 4ky Напомним, что 2s = g0t2, а величины 2, A0, ky и z0 зависят от числа Атвуда A. Получается сложная зависимость от A, она представлена графически на рис. 7.5.

J1, B 0.B(lv) 0.B(ke) 0.0.0.0.0.J1(lv) 0.J1(ke) A 0.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.LРис.7.5. Зависимость интенсивностей J1 = и степеней 2s затухания B от числа Атвуда A для ke и lv моделей.

Зависимость интенсивности J1 можно аппроксимировать формулой:

J1 = 0.06 1+ 0.47A A. (7.48) () Как видим, построенная зависимость заметно отличается от принятой Янгсом [ ] (7.45): в предельном случае A = 1 постоянная = 0.06 в формуле Янгса (7.45) эффективно должна быть увеличена в 1.47 раза.

Решение для импульсного ускорения получим в общем случае, когда U0tL0 0 0 и вводится безразмерный параметр =. Тогда, как и ( ) Lраньше, решение для полной ширины L получится из следующей системы уравнений 2 dV V ( ) z0 + 4ky = gA0 ; (7.49) dL L 1 1+ () dL = 21 1+ 2 V. (7.50) () dt Действие импульсного ускорения приводит к тому, что при начальной шероховатости L0 0 за малое время t0 формируются значения V1 и ( ) L01, которые в рассматриваемом случае получаются как и раньше в разделе 7.2, но теперь будут следующими:

z0 +4ky - % z0 A ( ) L10 1 L10 zV1 = U0 2 - ; (7.51) ( ) 21 z0 + 4ky L0 L() z 2 %% % 1+ 81 1 A, если A ;

( ) 2 % 32ky1 ( ) L= % L0 4ky z0 1 A ( ) z% % + 4, если A.

2 % z0 + 4ky 1 32ky1 2 z0 + 4ky ( ) () (7.52) Здесь переписаны ранее полученные формулы раздела 7.2. Формально % % введены величины A,, чтобы уравнения (7.49) и (7.50) подогнать под вид уравнений (7.12) и (7.13):

z0 =1+ 2 1+ 2 A0 2 ( ) () 1+ () 2A% % A = ; =.

1+ 2 z() Решение после действия импульсного ускорения будет определяться формулами (7.25), (7.26). Значения V1 и L01 следует теперь вычислять ( ) согласно (7.51), (7.52):

1-B L10 B V = V1 ;

( ) L B % (7.53) L = L10 1+ 81 V1 t - t0 ;

( )( ) L10B zB =.

z0 + 2ky Как видно из формулы (7.53) ширина области турбулентного перемешивания после действия импульсного ускорения будет расти по степенному закону со степенью B, а скорость турбулентного 1- B перемешивания будет убывать, т.к. степень < 0. Интересно B проследить изменение степени B в зависимости от числа Атвуда A. Эта зависимость изображена на рис. 7.5. Она может быть аппроксимирована простой формулой:

B = + 0.074 1+ 0.64A A.(7.54) () 5.5 Переменное ускорение.

При обработке результатов экспериментов по определению постоянных теории турбулентного перемешивания чаще всего приходится иметь дело с непостоянным ускорением. Поэтому используют хорошо измеряемую в опыте характеристику – перемещение системы s, оно связано с ускорением очевидным соотношением s = gdt dt.

zz Одна из главных постоянных характеризует интенсивность развития перемешивания во времени и определяется на основании формулы (7.47) 2 1 1+ 2 1 A( ) () dL = (7.55) 2ds z0 + 4ky Пусть ускорение имеет вид g = g0tm, (7.56) где степень m может быть как положительной, так и отрицательной.

Значение m =-1 является особым ввиду расходимости интеграла от ускорения, поэтому будем считать m >-1. Решение при переменном ускорении построено в § 7. В общем случае оно не получается в явной форме, а представляется в виде функциональных и дифференциальных соотношений.

4ky L 4ky % 1 A ( )L gL dL, % dL z0 zV == 81V. (7.57) 21 dt Для простоты здесь рассматриваются нулевые начальные данные: при t = 0: L0 = V0 = 0.

L Основная цель исследования – получить формулу для отношения 2s при ускорении (7.56). Используя (7.56) вычислим перемещение s :

g0tm+s = (7.58) m +1 m + b gb g В (7.57) от t перейдем к s и получим:

z0 m +L ( ) 2 % % = 81 1 A (7.59) ( ) 2s z0 m +1 + 2ky m + ( ) ( ) zПри m = 0 (постоянное ускорение) сомножитель обращается в и z0 + 4ky формула (7.59) переходит в (7.55). При m > 0 интенсивность увеличивается за счет увеличения сомножителя до предельного значения. При m < 0 интенсивность уменьшается. Формально при m =-1+ 2k сомножитель обращается в нуль. При ky = 1.25 имеем:

L m +% % = 812 1 A.

( ) 2s 3.5m + Отметим один предельный случай. Если ky = 0, то сомножитель в (7.59) не зависит от m.

6 Влияние начального размытия профиля плотности на затяжку в развитии турбулентного перемешивания Известно, что если граница раздела первоначально размыта, то это существенным образом может повлиять на развитие турбулентного перемешивания. Прежде всего непрерывность профиля плотности приводит к ограничению в значении инкремента 2 = g. Так выглядит x инкремент для коротких волн, при больших значения волнового числа k.

При разрывной плотности имеем 2 = gAk, где k. Поэтому при L L имеем неограниченный рост инкремента, в отличие от случая с размытым профилем плотности.

Экспериментально получено, что при непрерывном распределении плотности может происходить задержка в развитии турбулентного перемешивания. Получены количественные оценки такой задержки. Ниже проведено теоретическое исследование этого явления и получены аналитические формулы, устанавливающие зависимость величины задержки от параметров задачи.

Пусть Lc эффективная ширина, на которую размыта плотность у границы раздела.

Рис.7.В области заданы начальные возмущения, приводящие к развитию турбулентности. В экспериментах это частички промежуточной плотности.

В нашем рассмотрении это может быть задание некоторой начальной кинетической энергии турбулентности k L0. Оказывается, если ( ) определить время задержки как время tc, при котором ширина перемешивания сравняется с шириной размытия L = Lc, то справедлива формула Lc 1gA = exp 2 tc (7.60) L0 1+ 2k Lc ( ) Получим ее.

Уравнение (7.12) следует переписать в виде:

1gA L, если L Lc, 21 Lc dV V + 4k = dL L 1gA, если L > Lc.

Интегрирование полученного уравнения приводит к решению 1gAL, L Lc, 41 Lc 1+ 2k ( ) V = (7.61) 1+4k 1gAL 1- Lc V +, L > Lc.

c 21 1+ 4kL ( ) 1gALc Vc2 =.

41 1+ 2k ( ) Подставим эту зависимость в уравнение для ширины L (7.13) и получим:

1gA L0 exp 2 t L < Lc, 1+ 2k Lc, ( ) L = 1gA ( ) Lc + 21 1+ 4k Lc t - tc, L > Lc.

( ) Здесь при L > Lc выписано приближенное представление решения.

Обратим внимание на существенную зависимость решения от начальной затравочной шероховатости L0. Нулевому значению Lотвечает тривиальное решение. Это подтверждается и в экспериментах.

Если не задавать начальных возмущений, то перемешивание не развивается.

Формула (7.60) получается, если в (7.62) положить L = Lc.

Как уже отмечалось, зависимость задержки перемешивания изучалась экспериментально. Наличие формулы (7.60) позволяет обработать эксперименты, перейдя к плоскости переменных (x,y):

Lc sc x = ln ; y =, L0 Lc gtc где sc = – смещение системы при t = tc. Тогда результаты 1.экспериментов должны ложиться на прямую с наклоном ;

A 1.y = x +1.5.

A Результаты обработки изображены на рис. 7.6.

Рис.7.Коэффициент при x почти совпадал с экспериментальным. Заметим, что его теоретическое значение может быть уточнено за счет учета несимметрии перемешивания. Таким образом получено косвенное подтверждение правильности проведенного ранее выбора постоянных и.

Экспериментальная прямая в отличие от теоретической не проходит через начало координат (x=0, y=0). Это можно объяснить разными способами определения шероховатости в опыте и в теории. Если положить L0 = c0Lexp, то прямая пройдет через нуль при c0 = 0.§8k – модель и ее свойства Модель турбулентного перемешивания, основанная на уравнении баланса для кинетической энергии турбулентности (lv или k моделей), может с успехом применяться для численного моделирования довольно широкого класса задач [1]. Модель описывает известные лабораторные эксперименты по гравитационному перемешиванию [2], а также позволяет получать количественные оценки влияния турбулентного перемешивания при решении конкретных задач [3].

Однако обратим внимание на один недостаток k–модели – она требует вычисления эффективной ширины перемешивания. Этот недостаток проявляется при расчетах взаимодействия перемешанных областей между собой, а также при обобщении модели на многомерный случай. Он легко устраняется введением еще одного уравнения для скорости диссипации кинетической энергии турбулентного перемешивания, аналогичного уравнению для кинетической модели турбулентности. Модели такого типа называют k–моделями. Они широко применяются для описания сдвигового перемешивания, особенно в струйных течениях [5], k–модели также использовались и для описания гравитационного перемешивания [6].

Изучению свойств k–модели на автомодельных решениях посвящена работа [7].

В настоящем параграфе рассмотрена k–модель, содержащая уравнение баланса для кинетической энергии турбулентности k и уравнение скорости диссипации турбулентной энергии t. В разделе 1 приводятся уравнения модели, в разделе 2 в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии получена осредненная по области перемешивания система обыкновенных дифференциальных уравнений (8.8). Эта система справедлива для закона ускорения, зависящего произвольным образом от времени. Заметим, что уравнения получены с учетом несимметриии турбулентного перемешивания. В разделе 3 система (8.8) интегрируется при кусочно–постоянном ускорении. Решение при нулевых начальных данных представляется в аналитическом виде.

Этот вид довольно громоздок, поэтому для практических приложений приводятся простые приближенные выражения, устанавливающие зависимости интенсивности и степени затухания турбулентного перемешивания от числа Атвуда. Вразделе 4 подробно исследуется случай ненулевых начальных данных.

1 Уравнение k–модели в приближении несжимаемости Полуэмпирическая модель с балансным уравнением для кинетической энергии турбулентности, в которой масштаб турбулентности l связывается с шириной области перемешивания L, обладает тем недостатком, что в момент взаимодействия нескольких областей ширина области перемешивания изменяется скачком, что в свою очередь приводит к скачку в значении коэффициента диффузии D = lv, а это вряд ли отвечает действительности. Поэтому для полной ширины приходится искать всякого рода интерполяционные зависимости.

Для сдвиговых течений со свободными границами известны модели с уравнениями для масштаба l или для коэффициента диффузии D, пропорционального l k. В этом случае турбулентность описывается двумя дополнительными уравнениями: для кинетической энергии турбулентности k и, например, для масштаба турбулентности l. Эти два уравнения дополняют газодинамические уравнения, полученные после осреднения и содержащие турбулентную вязкость и турбулентную теплопроводность. В качестве второго дополнительного уравнения часто используется уравнение переноса для скорости диссипации турбулентной кинетической энергии, обозначаемой t и связанной с масштабом l и кинетической энергией k соотношением t = k l-1. Модель такого типа называют в отличие от k–модели с одним уравнением k –моделью.

Исходные уравнения подсказаны обзорной работой П.Харши [5].

dk k 2 d + t = D2 +k D + k, (8.1) ( ) dt x x 3 dt dt t3 t t t 4 d + c 2 = c1 D2 + D + t ( ) dt k k x x 3 dt (8.2) Здесь ln L g ;

2 = g + t c Vk2 d ln k = ; D = cµ ; = - D, (8.3) 2 t dt t x x cµ, c1, c 2,, k – постоянные модели, c – скорость звука. В настоящем рассмотрении c =. Новая функция t определяет скорость диссипации кинетической энергии турбулентности. В k–уравнения не входит в явном виде ширина области перемешивания, и этим она выгодно отличается от k–модели, позволяя описывать перемешивание произвольного числа веществ.

Уравнения (8.1) и (8.2) часто используются в приложениях.

Подчеркнутые члены другими исследователями не всегда учитываются, хотя они получаются в результате осреднения исходных уравнения газовой динамики. Уравнение для скорости диссипации t составляется по аналогии с уравнением баланса для кинетической энергии турбулентности k, вывод которого был дан в § 4. Как будет показано ниже, роль подчеркнутых членов может быть заметной при числах Атвуда, близких к единице.

2. Приближение кусочно–постоянного коэффициента диффузии Будем рассматривать две несжимаемые жидкости, находящиеся в поле силы тяжести g. Построим приближенную модель, полагая, что в области перемешивания функции k и t являются функциями времени, а по пространственной переменной x эти функции постоянны.

Для уравнений k–модели так же, как это было сделано в §7 для k–модели, можно применить приближение кусочно–постоянного коэффициента диффузии D :

k cµ, если x > 0, t D = (8.4) c 2 k, если x < 0, µ t где 2 – коэффициент, определяемый эмпирически, согласно формуле (7.31). Энергия k и интенсивность t являются функциями только времени, получаемые в результате осреднения исходных уравнений модели (8.1) и (8.2) по области перемешивания L1. Таким образом, полагая [-L2, ] коэффициент турбулентной диффузии D разрывным, удается описать наблюдаемую в экспериментах несимметрию перемешивания и получить аналитические формулы, пригодные для обработки широкого класса прикладных задач.

Как и раньше, рассмотрим сперва уравнение для плотности смеси (2.1), которое с учетом допущения (8.4) перейдет в следующее:

=, при x > 0, x (8.5) = 2 при x < 0, x k = cµ t.

t Эти уравнения совпадают с ранее полученными (7.32). Определение эффективной ширины остается прежним [см. (7.2)]:

L1 = 21 ; L2 = 21 2 ; L = L1 + L2 = 21 1+ 2. (8.6) () Прежде чем провести осреднение уравнений (8.1) и (8.2) разделим их на коэффициент диффузии D +. Аналогично мы поступали в §7 для k– модели.

Перейдем к эйлеровым координатам и получим:

k t D 8 k + = g + D + D + D + x D + x x D ln D ln k ++ k - ;

D + x x 3 D + x (8.7) t c 2t2 cµc1k 8 t += g +D + kD + D + x D + x x D ln D ln t ++ t -.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.