WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

Формально задача переопределена: для системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений известны значения искомых функций y и как при = 1, так и при = 2 (на основании разложений (6.6) и (6.7). Поэтому начиная численное интегрирование из точки = 1 и доводя его до точки = 2, в которой одна из функций, например,, принимает заданное значение, можно получить результаты, когда функция y будет отлична от значения y = - 2. Однако в действительности этого не происходит в силу особого характера точки. Достаточно интегрирование довести до точки 2, в которой = 0, как условие y = - 2 выполнится автоматически. В этом убеждают нас результаты численного интегрирования.

Таким образом, каждой фиксированной точке = 1 ставится в соответствие решение, определяемое вплоть до точки = 2. Интеграл (6.9) укажет, какому конкретному значению n отвечает построенное решение.

Если требуется найти решение для заданного n, то оно вычисляется итерациями. Следует заметить, что в коэффициент уравнения (6.2) вошло v выражение, зависящее от интервала интегрирования 2,1 и (1 - 2) 2 комбинации. Для определения решения с заданной комбинацией v v применяется метод, в котором неизвестный коэффициент находится вместе с решением путем итераций.

Как уже отмечалось, в принятой модели решение будет определяться начальным перепадом плотностей n и параметром. Проведем v исследование зависимости решения от этих величин.

Вначале фиксируем n (n = 10) и рассмотрим следующие значения 2 параметра : 0.0018; 0.061;. Параметр, как будет показано в § v v 7, определяет степень затухания турбулентного перемешивания при выключенном ускорении, поэтому область его изменения фактически определена. Однако представляет интерес рассмотреть его влияние на профиль решения.

Результаты сравнения представлены на рис. 6.1. По пространству выбрана переменная, так что правые концы профилей совмещены.

Рис. 6.1. Профиль безразмерной плотности в зависимости от параметра при n = 10, = 0, здесь переменная =.

v Из сравнения следует, что при изменении параметра в довольно v широком диапазоне значений от 0.061 до различия между профилями (кривые 2 и 3) несущественны. С другой стороны, для значений в v интервале 0 < < 0.0018 профиль безразмерной плотности (кривая 1) v мало отличается от профиля в приближении Беленького–Фрадкина на интервале от 0.1 до 0.9. На фронтах перемешивания различия будут существенными из–за негладкого примыкания профиля в рассматриваемом i-случае (см. разложение (6.6): ( = i )= i (- 1), i = 1,2 ). Из рис.6.1 также следует, что заметные отличия в профиле имеются, когда, например, изменяется от 0.0018 до 0.061.

v Изучим зависимость решения от начального перепада плотностей n при некотором фиксированном значении параметра, а именно, v = 0.061.

v Прежде всего определим величину несимметрии как функцию ln n.

1 0.Рис.6.2. Зависимость несимметрии перемешивания – кривая 3, кривая 2 0.и 3 – кривая 1 от ln n, = 0.

Из результатов численного интегрирования, представленных на рис.6.2, следует, что при n 1 перемешивание вправо и влево происходит 1 симметрично: 1. При n 0, при этом выражение 2 ограничено, так что 2 -. Это значит, что отношение полной ширины L к перемещению системы s будет неограниченно расти, так как, согласно (5.10) и (6.1), L = 1 - 2 = (1 - 2).

s Очевидно, что и отношение эффективной ширины L* к s будет, ибо L* = (1 - 2) (0.1 - 0.9).

s Поэтому, как и раньше, в исходные уравнения нужно вместо полной ширины ввести эффективную. Такая замена сводится к тому, что в формулах (6.1)–(6.3) заменяется на *, а 1 - 2 – на 0.9 - 0.1.

*2 Полагая = 0.061, снова построим зависимость 3 от ln n и v L L* от ln n. Хотя по–прежнему, отношение будет конечно, так s s как L* 2* = 0.1 - 0.9. (6.10) () s 0.Несимметрия перемешивания изменяется в интервале 0.0.78 1.0 при n, изменяющемся в интервале 1,. В сравнении с () ( ) несимметрией, полученной в § 5 (там интервал 0.9 1.0 ), имеем, что в () модели настоящего параграфа несимметрия в перемешивании несколько больше при больших значениях n, но при n 1 1 также стремится к единице.

Профиль безразмерной плотности для различных n при *фиксированном параметре = 0.061 представлен на рис. 6.3.

v Рис.6.3. Профиль безразмерной плотности для различных n при = 0.v Существенная зависимость его от n имеет место, в основном, при значениях n < 10 (кривые 2 и3). Если n > 10, то профили слабо различаются между собой (кривые 1 и 2).

2. Модель перемешивания в случае 2 = 0, Будем считать 2 = 0 и изучать модель с тремя постоянными:

, v,. Случай = 0 рассмотрен выше. Когда коэффициент V велик, можно считать, что = 0. Это приближение изучено в §7.

x Исходные уравнения возьмем в автомодельных переменных. Это будет система (5.9) с граничными условиями (5.11) и (5.12). В коэффициенты уравнений входят постоянные, v,. Как уже отмечалось, существует преобразование (6.1), приводящее к системе, в которой постоянные и v войдут только в комбинации. Одно из уравнений (5.9) перейдет в v следующее:

v 2 2 + 4 + + (1 + 2 )y2 - *2(0.1 - 0.9) (6.11) - + - + y2 y2 = 0.

1 3 Здесь введена эффективная ширина L*, так как при полной ширине, как и раньше, получается нефизичная зависимость решения от параметра n.

Остановимся на изучении зависимости решения от параметра n.

*Значение отношения выберем согласно закону «2/7» равным 0.061.

v Физический смысл этого закона будет пояснен в §7.

Проведем анализ разложения решения в окрестности фронта перемешивания. Разложение при = i, i = 1,2 есть 8 20 - 3 + - 8 (1 - 4 ) i 9 y = i 1 - 4 + 1 - 4 (i - )+L, 3 12(1 -7 ) 8 - 1 - (1 + 18 )(1 - 4 )i = i( - 1)+ (i - ) +L, 3 12(1 -7 ) (6.12) 1 если < и ; и 4 4 - y = ci i -, ( ) если >. (6.13) i i -, = ( ) ci – произвольная постоянная. В случае > решение на фронте имеет неаналитический характер.

Как видно из представленных разложений, коэффициент при диффузионном члене имеет несколько критических значений. При = и = разложение теряет аналитический характер. Вспоминая связь 1 y2 =, отметим, что при 0 < < и решение y на фронтах 4 1 и 2 принимает определенные конечные значения, поэтому производная от безразмерной плотности имеет ненулевое значение.

Особенность в разложении при = была замечена Орловым Г.В.

При > y обращается в нуль, следовательно и производная равна нулю.

Из полученных разложений можно также сделать выводы о знаке производной y и тем самым установить знак второй производной. Из (6.12) следует, что при выполнении равенства (3 - 20 ) 1 = получаем (1) = 0.

(1 + 28 )(1 - 4 )Построение решения системы уравнений (6.11) и (6.3) с граничными условиями (6.12), (6.13) можно осуществить только численно. Появление диффузионного члена с коэффициентом в сравнении со случаем = 0 существенно усложнило задачу – повысился порядок одного из уравнений.

С другой стороны, фронт перемешивания является особой точкой, причем характер ее таков, что вести численное интегрирование всей системы уравнений, выходя из этой точки, невозможно в силу расходящегося характера интегральных кривых. Это замечание относится и к правому и к левому фронту. Поэтому здесь применен специальный итерационный метод численного интегрирования системы (6.11), (6.3), предложенный Яковлевым В.Г. Суть его состоит в том, что исходная v система интегрируется поочередно: при заданном значении y v определяется решение из (6.11). Последнее уравнение относительно второго порядка, и для его решения применяется метод прогонки. Затем с v v+известной функцией интегрируется уравнение (6.3) и находится y.

Оказывается, что такой процесс не всегда сходится, поэтому применяются специальные меры, избавляющие от этого недостатка.

*Результаты численного интегрирования получены при = 0.061 и v различных значениях параметра. Значение параметра = 0.2 выбрано путем сравнения расчетного профиля с экспериментальным при n = 3.

Результаты этого сравнения представлены на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Распределение безразмерной плотности в x зависимости от безразмерной координаты = для n = 3. – L* – – усредненные результаты экспериментов [49], [74], — точное решение при = 02 1 и = 05..

b g b g Видно, что подбором параметра можно получить вполне удовлетворительное согласие с опытом.

*С выбранным параметром = 0.2 и = 0.061 проведено v исследование зависимости несимметрии перемешивания и эффективной ширины от параметра n.

Рис. 6.5. Зависимость несимметрии перемешивания от числа Атвуда при =.

На рис. 6.5 демонстрируется изменение несимметрии, измеренной по 1 0.фронтам перемешивания, а также по эффективным фронтам, от 2 0.n - числа Атвуда. Как и раньше в §4 и §7, перемешивание развивается n + n - почти симметрично при малых значениях и несимметрично при n + 0.n - 1. Предельное значение несимметрии lim = 0.88.

n n + 1 0.0.Напомним, что при = 0 было lim = 0.78.

n 0.9L* Рис.6.6. Зависимость отношения от числа Атвуда, ––– модель §2s* = 0, ——— модель §9 =.

b g b g На рис.6.6 в сравнении с решением ( = 0 ) нанесена зависимость 9L* отношения от числа Атвуда. Решение настоящего параграфа 2s*фактически описывается прямой 9L* = 7.77 A.

2s*Введение параметра мало сказалось на несимметрии перемешивания, 0.определяемой как и на эффективной ширине. Параметр помог 0.подогнать профиль плотности под экспериментальный. Влияние параметра, в основном, проявилось на фронтах перемешивания.

На рис. 6.4 приведен профиль плотности при n = 3. Как следует из разложений (6.12) и (6.14), на фронтах перемешивания при = 0.имеет место негладкое примыкание (первая производная терпит разрыв).

7. Приближение кусочно-постоянного коэффициента диффузии Рассмотрим приближенную модель, в которой положено, что турбулентная скорость V не зависит от пространственной переменной и изменяется только во времени [45]. Такое приближение позволяет построить решение в аналитическом виде для переменного ускорения и во всем диапазоне изменения чисел Атвуда. Тем самым предоставляется возможность теоретически изучить влияние постоянных теории на асимптотические свойства решения. В частности, комбинация из постоянных может быть выбрана на основании теоретических и v экспериментальных результатов, устанавливающих закон затухания турбулентности при выключенных источниках.

Предлагаемое приближение оказывается весьма полезным для изучения свойств усложненной модели, а также для выявления роли дополнительных постоянных, таких как 2. Это приближение также будет широко применяться при изучении выхода на автомодельный режим и в задаче о перемешивании тонкого слоя.

Будем рассматривать перемешивание двух сред, имеющих постоянные 0 начальные плотности 1 и 2. Ускорение g полагаем функцией, зависящей только от времени:

g = g(t).

Сформулируем граничные условия. Как уже отмечалось ранее, естественно предположить, что на фронте перемешивания в обе стороны плотность непрерывно переходит в начальную, а кинетическая энергия равна нулю.

При постоянном ускорении эта задача автомодельна. Ее решения исследованы и приведены в §6. Фронт перемешивания развивается несимметрично, в сторону легкого вещества с большей скоростью. Влияние Lнесимметрии зависит от числа Атвуда A и достигает значения L1.111.15 при A = 1, если фронт перемешивания определять эффективно по значениям объемной концентрации f1 = f2 = 0.1 и 1.если f1 = f2 = 0.01. Функция кинетической энергии турбулентного перемешивания носит колоколообразный характер. Ранее была рассмотрена приближенная модель, в которой функция V полагалась в области турбулентного перемешивания зависящей только от времени.

L V x, (t), V = (7.1) L 0, x >.

Такое приближение позволяет в аналитическом виде построить решение при произвольном от времени законе ускорения.

Здесь уточняется полученное ранее решение. Делается это за счет нового определения ширины области перемешивания L. Так как в предположении (7.1) коэффициент диффузии D в уравнении (5.4) зависит только от времени, то решение для плотности не будет иметь фронта.

Поэтому фронт вводится эффективно. Это приводит к необходимости пересчета эмпирической постоянной и к некоторым неудобствам при сравнении с экспериментом.

Предлагается интегральный способ, основанный на законе сохранения перемешанной массы. Ширина области перемешивания определяется по следующему алгоритму:

f1dx f2dx L = 2 + (7.2) f1(0) f2(0), - - 2 1 - где f1, f2 – объемные концентрации f1 = ; f2 =.

1 - 2 1 - Заметим, что эта формула может быть рекомендована как для обработки экспериментальных результатов, где точно определить фронт бывает трудно, так и для численного алгоритма, где те же трудности, что при экспериментальной обработке. Геометрический смысл формулы (7.2) демонстрируется на рис. 7.1.

Рис. 7.1 Профиль объемной концентрации f2 от безразмерного расстояния x =.(1) – линейный профиль, полученный из условия сохранения перемешанной массы.

1 Приближенные уравнения. Точное решение.

Получим вместо (5.5) приближенное уравнение. Для этого проинтегрируем обе части уравнения (5.5) по области перемешивания L x. Предварительно определим L из уравнения (5.4), решение которого может быть представлено аналитически. Перейдем к новой переменной = D t. (7.3) Тогда уравнение диффузии = xбудет иметь решение 0 0 0 1 + 2 1 - 2 x = +, (7.4) 2 2 x -zгде () = e dz – интеграл вероятности, = 2.

Обратим внимание, что для объемной концентрации f2 = 1+ ( ) решение получается независимым от числа Атвуда.

Фронт перемешивания xi выбирается таким образом, чтобы площадь на рис. 7.1 равнялась площади треугольника со стороной Oxi. Следует отметить, что в сформулированном выше приближении перемешивание L протекает симметрично влево и вправо, поэтому x1 = -x2 = ; а из равенства площадей следует формула:

1 = 2 - =.

)d ( Поэтому L = 2x1 = 41 = 8 (7.5) Ширина области перемешивания входит в уравнение баланса кинетической L энергии (5.5). Зная ее (7.5), усредним по области x уравнение (5.5), предварительно перейдя к переменной :

2 2 2 V vV V 1 V + = g + + 2 L2 x x x 2 x x (7.6) 1 ln - V + V 3 x В результате получим следующее уравнение:

2 1 V M ()V A2M ( ) vV M 0 += g 1 1 - 2 ( ) () 2 L12, (7.7) где 0 M = (1 + 2)L. (7.8) Здесь использованы соотношения:

2 a) V dx = V M, L x 0 б) g dx = g 1 1 - 2, ( ) () x L x V в) dx 0, (7.9) x x L x г) V dx = V dx = 0, xLL x x ln ln A2V M д) Vdx =V dx = 21.

( ) x x LL x x При вычислении последнего интеграла принято следующее приближение:

2 0 1 + 2 2 1 e-2 d () ln d x = A x 1+ A 4 ( ) L -x 0 1 + 2 2 () A21 e-2 1- A d = 2 ( ) A2M ( ) 4 4 -Уравнение (7.7) преобразуется к виду:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.