WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |

0 d 2 1 - () Получим уравнение d D =. (5.3) dt x x Из сравнения этого уравнения с уравнением (4.16) следует (5.2). Из (5.2) и (5.3) получим уравнение для плотности смеси:

= D. (5.4) t x x Уравнение, выражающее закон сохранения турбулентной кинетической энергии, согласно (4.20), имеет вид:

23 1 dV ln V V = Dg - v + D + 2 dt x l x x. (5.5) 4 d ln 5 d ln F I + 2D + V G J H K 3 dt 6 dt d ln Здесь = - D.

dt t x x (5.5а) Напомним, что D = lV, U (5.6) V l = L.

W В итоге имеем систему двух уравнений с неизвестными плотностью и турбулентной скоростью V, где, v,, 2 – эмпирические постоянные.

Для системы (5.4), (5.5) ставится следующая задача Коши: найти решение при t > 0, если в начальный момент известны V 0, x и 0, x :

b g b g V 0, x = 0, ( ) (5.7) 0, x = ( )1, если x 0,, если x 0.

Анализ исходных размерностей показывает, что полученные уравнения имеют автомодельное решение и при степенном законе ускорения:

g = g0tm.

Введем безразмерные величины с тем, чтобы от уравнений в частных производных перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого обозначим через s перемещение системы под действием ускорения g0 :

g0ts =, а через u – скорость перемещения системы:

ds u = g0t =.

dt Безразмерные представители длины, турбулентной скорости и плотности введем следующим образом:

x V =, =, =. (5.8) s u Подстановка (5.8) в (5.4) и (5.5) приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям:

= -, ( ) (1- 2) 4 + 8 + 2 + 1+ 2 = ( ) ( ) 1 - ( ) 2 2v -1+ = + + + 3 1 - 1 - 2 2 1 - 2 ( ) ( ) ( ) - 2 + 1 - ( ), (5.9) где ' означает производную по.

Здесь мы воспользовались тем, что ширина области перемешивания L есть L = 1 - 2 s. (5.10) d i Условия соответственно на левой и правой границах области перемешивания имеют вид:

1 = 2: = 0, = =, (5.11) n = 1: = 0, = 1. (5.12) Таким образом, получили краевую задачу с неопределенными границами для системы из двух уравнений, содержащих вторые производные от искомых функций и. Условий (5.11) и (5.12), вообще говоря, недостаточно, чтобы найти решение. Общие методы решения таких задач неизвестны.

Однако, как легко заметить, на концах области интегрирования система (5.9) имеет особенности: коэффициенты при старших производных обращаются в нуль. Дополнительное исследование характера поведения интегральных кривых в окрестности границ позволяет найти разложение искомого решения.

Для изучения свойств модели турбулентного перемешивания рассмотрим ряд упрощений. Все они будут относиться к уравнению для кинетической энергии турбулентности (5.5).

2. Приближение Беленького–Фрадкина Беленький и Фрадкин в работе [1] для турбулентной скорости использовали явное выражение vV =2L2g0, (5.13) x которое получили из размерных соображений, положив V l, где под понимается мнимая часть инкремента. Основным источником, порождающим турбулентное перемешивание, является член, пропорциональный инкременту (3.9). Из длины L и инкремента можно составить единственную комбинацию, имеющую размерность скорости.

Выражение (5.13) после перехода к безразмерным величинам примет вид 2 1 - d i 2 =. (5.14) 2v Возвращаясь к исходному уравнению (5.5), нетрудно заметить, что выражение (5.14) получается, если в (5.5) оставить только генерационный и диссипативный члены (первые два слагаемых в правой части).

Подстановка явного выражения для безразмерной скорости (5.14) в первое уравнение системы (5.9) приводит к одному уравнению для плотности :

2 v 3 -( ) - 2. (5.15) = ( ) 1 - ( ) Введем новую переменную y2 =. (5.16) Эта замена понижает порядок уравнения (5.15) v 3y + y3 = -. (5.17) 1 - ( ) Из граничных условий (5.11) и (5.12) и соотношения (5.14) следует:

= 1 : y 1 = 0, ( ) (5.18) = 2 : y 2 = 0.

( ) Кроме того, функция y, очевидно, удовлетворяет условию. (5.19) y d = ln n Это получается, если воспользоваться соотношением (5.16).

Далее можно построить приближенное решение, верное при n, близком к 1. Для этого поступим, как в [1], и положим, что перемешивание происходит симметрично, т.е.

1 =-2 = 0.

В уравнении (5.17) пренебрежем членом y3 :

2 v 3y =-.

2 1 - d i Это уравнение интегрируется. Его решением будет парабола:

v y = 2 - 2. (5.20) d i 1222 Из условия (5.19) определится 0 :

0 = 270 ln n.

v Окончательная формула (5.10) для ширины области перемешивания примет вид L = 270 ln n 2s. (5.21) b g v А для плотности получится следующее выражение:

3 F I F I -1 5 15 - + + G J G J 2 8H 0K 16 0 16H 0K = n. (5.22) Как показано в [1], построенное решение верно для малых перепадов плотности вплоть до n = 4. Если n > 4, то нужно численно интегрировать уравнение (5.17).

Здесь ради простоты рассматривалось постоянное ускорение. Можно построить автомодельное решение и для произвольного ускорения, зависящего только от времени. Это будет сделано ниже.

3. Асимптотические свойства решения уравнения (5.17) Рассмотрим свойства решения Беленького–Фрадкина во всем диапазоне перепада плотностей n: 1 < n <. При n, близком к 1, решение построено в предыдущем параграфе. Если n заметно больше единицы, то требуется численное интегрирование уравнения (5.17). В правую часть его вошла безразмерная длина 1 - 2 и постоянные и v.

От них можно избавиться, если перейти к новым переменным и z :

U L O | z = 1 - 2 y, d i M P | v N Q | (5.23) V L O | v M P =.

| M P 24 1 - | d i N Q W Подстановка (5.23) в (5.17) приведет к уравнению 3z + z3 = -2 (5.24) с граничными условиями при = 1,2; z = 0. (5.25) Получилось уравнение (5.24), свободное от неизвестных коэффициентов.

Рис. 5.1. Поле интегральных кривых уравнения (5.24), (1)–предельное решение для n =.

Поле интегральных кривых уравнения (5.24) представлено на рис.5.1.

Видно, что существует решение (1), разделяющее плоскость на две области.

Все положительные по z решения, лежащие ниже этой кривой, удовлетворяют граничному условию (5.25): решение пересекает ось z = 0.

Каждая интегральная кривая отвечает решению с соответствующим начальным перепадом плотностей n, определяемым интегралом z2d = ln n. (5.27) z -Разделительная кривая (1) отвечает предельному решению, получаемому при n. Численное интегрирование уравнения (5.24) показывает, что 1 при этом конечно, а 2 -:

lim 1 = 16,.

n lim 2 =-.

n При n, близком к 1, решение приближенно можно заменить параболой. При n >> 1, как следует из рис.5.1, оно имеет куполообразный вид с вершиной zmax, смещенной влево. При n 2 - и zmax, так что z =. Предельное решение (1) имеет bg приближенное представление:

9 z3 + z2 + z = 2 1 -, 1 = 1.6.

b g 41 Таким образом, при n 1 16 и 2 -. Возвращаясь к.

исходным безразмерным координатам фронтов перемешивания 1 и 2, получим, что обе эти координаты при n стремятся к.

Действительно это так, потому что, согласно (5.23) U 24 1 = 1 - 2 1, b g | | v (5.28) V 24 | 2 = 1 - 2 2.

b g | v W Поэтому отношение полной ширины L к перемещению системы s также неограниченно растет:

L 24 = 1 - 2 = 1 - 2.

b g sv Это происходит за счет того, что при n фронт перемешивания в сторону легкого вещества, определяемый через безразмерную величину 2, распространяется с неограниченной скоростью. Может показаться, что в целом все нормально, если фронт в сторону тяжелого вещества имеет ограниченную скорость. Однако, этоне так.

Рассмотрим поведение ширины области турбулентного перемешивания L1, отсчитываемой от точки x = 0 до x = x1, так что имеет место равенство L O L1 24 = 1 = 1 - 2 1.

b g M P sv N Q LИз того, что 2 при n получается, что также стремится к s. Таким образом, в перемешивание в конечный момент времени включается неограниченная масса вещества, что противоречит экспериментальным данным.

Этот недостаток модели Беленького–Фрадкина можно исправить, если в коэффициенте D (5.6) вместо полной ширины L брать эффективную L*, которую определять, например, как расстояние между точками, в которых безразмерная плотность - 2 n - == (5.29) 1 - 2 n -принимает значения от 0.1 до 0.9 или 0.01 и 0.99. Разумеется, при этом изменит свое значение и постоянная, так что l =*L*. (5.30) Окончательные выражения для полной и эффективной ширин получаются в виде 2* L = 09 - 01 1- 2 s, b g b g..

v 2* L* = 09 - 01 s.

b g..

v Рис.5.2. Зависимость безразмерной координаты фронтов перемешивания 01, 0.01, 0.9, 0.99 и безразмерной плотности 0 от ln n b g b g.

На рис.5.2 нанесены результаты численного интегрирования уравнения (5.24). Из них следует, что lim 09 - 0.1 = 087 + 096 = 1.83.

..

b g.

n Поэтому L* 2* lim = 20.5, (5.31) n s v Lт.е. предел конечен. Также будет конечно и отношение при n.

s Отношение же полной ширины L к s по–прежнему неограниченно растет.

Это следует отнести к недостаткам выбранной модели, с которым можно смириться, так как этот рост происходит за счет «хвоста» малой массы. Между тем в случае, когда в коэффициенте диффузии D использовалась полная ширина, в перемешивание включалась неограниченная масса.

В заключение приведем аналитические формулы приближенного решения, справедливые во всем диапазоне n, если за эффективную ширину L* принять L* = 2L1. Для этого воспользуемся результатами численного интегрирования уравнения (5.24), представленными на рис. 5.и 5.2. Значение 0 с хорошей точностью можно аппроксимировать b g формулой:

n - 0 = 0.5 - 0.034A - 0.006A3, A =. (5.32) b g n +Значения 1 и 2 могут быть определены, если воспользоваться формулой (5.27), переписанной в виде двух формул:

z2d =- ln 0, (5.33) b g z z2d = ln n 0. (5.34) b g z -Также будем считать, что z = 1 - 2, если 0 1 для любых n (5.35) c h z3 =-2, если -2 0 для n >> 1. (5.36) Подставим (5.32) в (5.29) и получим 1- 0.068A2 - 0.012A 0 =. (5.37) b g 1+ A Из (5.35), (5.37), (5.33) следует 915 1+ A 1 = ln, для 0 A 1. (5.38) 8 1- 0.068A2 - 0.012AИз (5.36), (5.37), (5.34) следует (-2 = ln 2n, для n >> 1.

)144189 ( ) Окончательно получим:

L1 * 1+ A = 540 ln, для 0 A sv 1- 0.068A2 - 0.012A(5.39) Здесь использована формула * 1 = 21, b g v полученная из (5.23) в предположении, что L* = 2L1. Безразмерную плотность можно получить из уравнения (5.16), которое в переменных, z имеет вид z2 =, где значок означает дифференцирование по в отличие от (5.16), где дифференцирование по. Сучетом(5.35), (5.38) получим:

3 15 x 2 x 1 x 1- - + 8 L1 3 L1 5 L= ( ) для 0 x L, где 0 зависит от A согласно(5.37).

b g §6. Свойства lv–модели турбулентного перемешивания. Автомодельные решения в общем случае В этом параграфе рассмотрены свойства автомодельных решений системы уравнений (5.9) при 2 = 0. Роль этого параметра будет отдельно рассмотрена в §7. Сперва положим также и = 0.

1. Модель перемешивания при 2 = 0, = 0.

Рассмотрение будем вести в эйлеровых координатах. Исходные уравнения (5.9) при = 0 и 2 = 0 несколько упростятся. В коэффициенты уравнений для и войдут постоянные и v, что неудобно при исследовании общих свойств решения. Оказывается, существует преобразование, приводящее к уравнению, содержащему в коэффициентах постоянные и v только в комбинации.

v Это преобразование следующее:

21 3 y = ( - 2 2, = ( - 2, y = 1 ) ) 93 ) 2 ( - (6.1) После подстановки (6.1) в (5.9) получим 2 v + y2 - - + - + y2 y2 = 0, (6.2) 3 3 2 1 - 2 2 3 ( ) 2 y - + = y2 +. (6.3) 3 y Уравнения (6.2) и (6.3) нужно дополнить граничными условиями (5.11), (5.12) на левой и правой границах перемешивания, которые в новых переменных будут иметь вид = 2 : (2) = 0, y(2) = - 2, (6.4) = 1 : (1) = 0, y(1) = 1. (6.5) Значения функций y(2 ) и y(1) устанавливаются путем дополнительного исследования поведения решения в окрестности граничных точек, которые для системы уравнений (6.2) и (6.3) являются особыми.

Покажем, что искомое решение должно выходить из точки (6.4) и входить в точку (6.5). Для этого нужно установить, что y1 = y 1 = 1.

b g Рассмотрим все допустимые значения y1: y1 = 0; y1 = ; y1 > 0 и конечно.

1) y1 = 0. Система уравнений (6.2)–(6.3) в окрестности точки 1,0,b g примет вид 3 1 y F I = 1 - y2, y =-.

G J H K 2 3 Можно показать, что среди решений, выходящих из точки 1,0,0 нет b g искомого, удовлетворяющего очевидным условиям > 0, y > 0.

Действительно, разделив одно уравнение на другое, получим d 3y2 - =.

dy y Видно, что среди кривых, лежащих в квадранте > 0, y > 0, нет решения, проходящего через начало координат.

2) y1 =. В этом случае уравнения (6.2)–(6.3) эквивалентны урезанной системе + 1- 1 + y2 y2 y2 = 2y.

- 1 + = y2 + 3 y Безразмерная комбинация y2 в точке = 1 равна нулю.

Действительно, если вернуться к исходным величинам, то y2 D, x т.е. выражение y2 есть поток смеси и поэтому на фронте перемешивания равно нулю.

Последняя система уравнений после сделанного замечания заметно упрощается:

2 3 y =- y2, y =.

3 Поделив одно уравнение на другое и проинтегрировав, получим:

dy y -=-, y = c.

d 3) y1 > 0. y1 – постоянная. Урезанная система примет вид F I 2 2 2 y F I 2 1 +, y1 + =- y1, -G J = 1 G J H K 3 3 H y1 K откуда неминуемо следует, что 2 y1 = 1, 1 =- 1.

b g 3 Аналогично исследуется другая точка и показывается, что 2 y2 = 2, 2 =- 2.

b g 3 Разложение решения в окрестности фронтов перемешивания может быть получено в виде рядов соответственно в точках 1 и 2 :

2 1 y = i + - + 3 (i - )+ L, (6.6) i 3 4 2 1 = - i ( - i )- + 3 (i - ) + L; i = 1,2.

i 3 12 (6.7) Значения 1 и 2 неизвестны. Искомое решение должно проходить еще через одну особую точку, лежащую в интервале (2,1).

Действительно, коэффициент при в уравнении (6.2) на концах интервала (2,1) принимает разные знаки, поэтому в некоторой точке 3 обратится в нуль. Эта точка имеет седлообразный характер, поэтому при численном интегрировании преодолевается без особых затруднений.

Заметим, что особая точка 3 отвечает лагранжевой координате, которая в начальный момент совпадала с границей раздела. В этой точке выполнено условие (5.2), имеющее в безразмерных координатах вид равенства.

3 + y33 = 0, (6.8) что в свою очередь приводит к связи 1 vy3 = 3 +, 3 (1 - 2) которая является следствием (6.2) и 6.8).

Дополнительное соотношение (6.9) y2d = ln n замыкает краевую задачу и позволяет найти единственное решение.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.