WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

X Любую функцию–решение можно разложить в ряд Фурье. Полагаем, что границы рассматриваемой области – жесткие стенки, поэтому U1 x1=0,X1 = 0. Тогда уравнение (3.6) после подстановки в него Uпримет вид дисперсионного соотношения 2 2 4 2 2 k1 4n2 +2X1 a0 c0 2 + k10 = 0. (3.7) - + 4 X Теорема: Условие 0 =-g0 g0 + a0c0 0 необходимо и () достаточно для устойчивости.

Действительно, при 0 < 0 один из корней квадратного (по отношению к ) уравнения (3.7) отрицателен, поэтому всегда найдется корень с чисто мнимой отрицательной частью и согласно (3.5) решение будет экспоненциально возрастать.

2 4n2 + X12a0 2 = y; b2 = k12 + ;

4X12 c b2 ± b4 - 4ky2 - b2 y + k120 = 0; y1,2 =.

При 0 0 сумма и произведение корней положительны, также положителен и дискриминант уравнения (3.7), поскольку 2 2 22 4n2 + X1 a0 4 a0 k12 + c0 - 4k120 > k12 + c0 + 4X12 a0 2 2 4k12 g0 + g0a0c0 = k12 - c0 + k12 2g0 + a0c0 0, ()() поэтому все четыре корня уравнения (3.7) будут вещественны и решение устойчиво.

3 Свойства дисперсионного уравнения (3.7) Дисперсионное уравнение (3.7) получено для общего случая.

Рассмотрим предельный случай c0, отвечающий несжимаемой жидкости. Уравнение (3.7) перейдет в следующее соотношение:

k1 g0a = -, (3.8) 2 2 4n2 + X1 ak1 + 4 Xчто совпадает с результатом Забабахина Е.И. Формула (3.8) дает наглядное представление зависимости инкремента от начальных условий задачи, в частности, от длины начальных продольных (n) и поперечных 2 2 (k1 = k2 + k3 )возмущений.

P Если градиент давления g0 = - и градиент плотности x a0 = имеют разные знаки, то течение будет неустойчивым для x любых номеров гармоник n, k2, k3, т.к. тогда < 0.

Пусть c0. Рассмотрим короткие волны, когда k1.

Очевидно в этом случае 0 g1,2 = = -g0 a0 +. (3.9) 2 c0 c один из корней 1 приводит к неустойчивости, если 0 < 0.

Проанализируем все возможные ситуации.

g0 ln Если >> a0 =, то неустойчивость имеет место xcgвсегда так как в этом случае - < 0. Другими словами, с учетом cсжимаемости для достаточно больших ускорений (замедлений) движение неустойчиво всегда.

g0 ln Если << a0, то -g0, т.е. как и в случае xcнесжимаемой жидкости c0 = неустойчивость зависит от знаков () P градиентов и.

x x g0 ln Если имеет тот же порядок, что и, то возможны разные xcситуации: как устойчивые, так и неустойчивые, определяемые знаком выражения 0.

В дальнейшем полученное выражение (3.9) используется при выводе уравнения турбулентной энергии, а именно для записи члена, генерирующего турбулентность. Условие 0 < 0 отвечает неустойчивому случаю, приводящему к турбулентному перемешиванию.

cЕсли газ идеальный и P =, то (3.9) сведется к формуле 1 ln P ln = g0 (3.10) x1 - x1, что множителем отличается от результата Фрадкина Е.С. для изотермического случая [50] и совпадает с частотой колебаний внутренних волн, полученной в [52].

4. Совместное действие гравитационной и сдвиговой неустойчивостей Если дополнительно к распределению плотности и давления имеет место еще поперечное течение, например, в направлении оси ox3 U3 0, U1 = U2 = 0, то вопрос об устойчивости такого течения усложняется.

Известны условия устойчивости для границы раздела в предположении несжимаемости. Если 1 и 2 – плотности соответственно тяжелой и легкой жидкостей, а U31 и U32 соответствующие тангенциальные составляющие скорости, то инкремент роста малых возмущений выражается формулой [61] g0 2 - 1 k1 12 U31 -U32 k1U31 + 2U32 () () = k1 ±1 + 2 1 + 1 + (). (3.11) Условие неустойчивости получается при отрицательных значениях подкоренного выражения, когда 2 g0 2 - () U( -U32 >. (3.12) ) k1 1 Это неравенство для коротких волн (большие значения k1) имеет место всегда. В этом случае для одного из корней Jm < 0, поэтому, согласно (3.5), возмущения растут экспоненциально.

При непрерывном изменении величин (x) и U3(x) значение Jm из размерных соображений и на основании формул (3.10) и (3.11), по–видимому, будет эквивалентно выражению Ug0 +1.

x Хотя, конечно, эту формулу следовало бы получить строго, осуществив вывод дисперсионного уравнения. Последнее выражение можно переписать в виде:

g s U Jm = - + 1. (3.13) s x1 x P В п.4 условие неустойчивости произвольного течения будет получено из энергетических соображений.

§4. Методы изучения турбулентных течений 1. Стадии развития начальных возмущений.

Переход к турбулентности Покажем, как развиваются возмущения в неустойчивом случае.

В предыдущем параграфе найдены условия, при которых начальные возмущения растут. Для того чтобы определить, как эти возмущения развиваются во времени, нужно иметь дело с исходной системой уравнений (3.1)–(3.3) не переходя к линеаризованным уравнениям. Эта задача может быть решена только с помощью численных методов. Или постановкой соответствующего эксперимента.

Исторически сперва были поставлены опыты, затем результаты этих опытов многократно использовались для проверки численных программ. В качестве примера можно привести фотографии границы раздела двух жидкостей, полученные в экспериментах Льюиса [ ], и газов – в экспериментах Василенко [ ] и Зайцева [ ].

Общая картина движения такова: амплитуда первоначально 2 x заданного синусоидального возмущения =0 sin ; k = растет сперва симметрично, а затем несимметрично вверх и вниз, в сторону легкого с большей скоростью, с некоторого момента гладкость поверхности теряется и образуются вихри. Возникает сложное течение, переходящее в турбулентное. Условно можно выделить три стадии.

1) Линейная стадия, когда 0 0.1. В этом случае справедливы линеаризованные уравнения. Возмущение на этой стадии растет вверх и вниз симметрично согласно формуле = 0ch gkA t. Однако вскоре наступает несимметрия и признаки нелинейности – негладкость в поведении границы.

2) На второй стадии, когда 0.1 0.4, имеет место образование пузырей в сторону тяжелого вещества и с выходом на закон 1 g t, и струй в сторону легкого 2 gt2. Время выхода существенно зависит от 1 - числа Атвуда A =. При близких к нулю значениях А 1 + симметричность течения сохраняется дольше, чем при А близких к 1.

3) На третьей стадии, когда 04, происходит разрушение.

регулярной структуры, которое возникает в силу общей неустойчивости течения. Она длится ограниченное время по двум причинам.

Во–первых, при проваливании тяжелых струй в легкое вещество происходит скольжение слоев относительно друг друга, которое приводит к гельмгольцевой неустойчивости и к разрушению границы. На концах тяжелых струй образуются вихри, приводящие в конце концов к разрушению струи. Ширина зоны, в которой происходит это перемешивание, будет возрастать.

Во–вторых, всплывающие пузыри легкого вещества также неустойчивы: в процессе всплывания будет происходить их объединение [63].

Эти два неустойчивых процесса приводят к разрушению границы раздела и появлению турбулентного характера перемешивания. Скорость фронта возмущения в сторону тяжелого вещества при каждом укрупнении (объединении) должна возрастать, выходя со временем на линейный закон.

В целом возникает область турбулентного перемешивания, развивающаяся, вообще говоря, несимметрично, но по одному и тому же квадратичному закону.

Если при t = 0 начальные данные заданы не в виде синусоиды, а хаотическим образом, то турбулентное течение возникает сразу при t > 0.

Мы здесь пренебрегли вязкостью, которая может существенно изменить картину течения, затянув ее развитие во времени. Но полностью сделать течение устойчивым вязкость не может.

2. Осреднение по Рейнольдсу Как описать турбулентность Это можно сделать на основании уравнений гидродинамики, если произвести их осреднение. Все характеристики движения представляются в виде двух слагаемых: гладкое, отвечающее некоторому осреднению–сглаживанию, и второе слагаемое – включает в себя весь хаос – так называемая пульсационная добавка:

e = e + e (4.1) Ui =Ui +Ui; = + ;

P = P + P ; T = T + T.

Прежде чем провести осреднение уравнений (3.1)–(3.3) сформулируем, следуя [ ] 5 гипотез Рейнольдса:

1) f + g = f + g; 2) af = af, если a – постоянная; 3) a = a, если a f f – постоянная; 4) =, где s = x1, x2, x3, t ; 5) fg = f g.

s s Выпишем четыре очевидных следствия из этих гипотез:

1) f = f ; 2) f = f - f = 0 ; 3) f h = f h ; 4) fh = f h = 0.

3 Осреднение уравнений газовой динамики К исходным уравнениям (3.1)–(3.3) применим операцию осреднения, удовлетворяющую условиям Рейнолдьса. Истинные значения плотности, энергии е, давления P, скорости Uk заменим соответственно значениями,e, P,Uk и пульсациями,e, P,Uk, согласно () () (4.1). Предварительно в энергетическом уравнении (3.3) от энтропии s перейдем к переменным e и P. При осреднении будем пренебрегать третьими корреляциями и произведениями вторых. Тогда уравнения (3.1)– (3.3) перейдут в следующие:

~ + Uk = 0, (4.2) t xk ~ ~ ~ Ui UUk P UiUk i + + =-, (4.3) t xk xixk %% % % e Uke Uk ++ P = t xk xk. (4.4) Uke P UkP P =- + Uk - +Uk xk xk xk xk Uk % e % Здесь обозначено Uk = Uk +, e = e +. В дальнейшем ~ % функции Uk и e примем за основные.

Если имеется примесь, то уравнение для массовой концентрации ci будет:

cUk ci ( ) i -= 0. (4.6) t xk После осреднения оно перейдет в следующее:

% % % ci ciUk =- ciUk, (4.7) t xk xk где c % ci = ci +. (4.8) Левые части уравнений (3.1)–(3.3), (4.6) совпадают с левыми частями уравнений (4.2)–(4.4), (4.7). В правые части вошли неизвестные выражения UiUk, UkP, Uk, Uke, Ukci. Прежде, чем их определить, получим уравнение баланса для вновь введенной величины – плотности кинетической энергии турбулентности Et :

Et = UkUk.

4. Уравнение баланса для плотности кинетической энергии турбулентности Из уравнений (3.1), (3.2) для плотности кинетической энергии E = UkUk (4.10) следует E EUk P + + Uk = 0 (4.11) t xk xk Проведем осреднение последнего уравнения, имея ввиду, что ~ E = E + Et, где ~ ~ ~ E = UkUk.

Пренебрегая, как и выше, третьими и последующими корреляциями, получим %% Et UkEt Uk P Uk P += - UkUi -Uk. (4.12) t xk xk xi xk При выводе этого уравнения использовано равенство % % % E UkE P UkUi %% + +Uk +Uk = 0, t xk xk xi которое является следствием уравнений (4.2) и (4.3).

Заметим, что балансное уравнение (4.12) получено без привлечения уравнения сохранения энергии (3.3).

Уравнение баланса для плотности кинетической энергии турбулентности Et дополняет осредненные уравнения (4.2)–(4.4), (4.7). Для замыкания этих уравнений нужно определить правые части. Обычно для определения неизвестных членов, входящих в правые части, используют гипотезу Прандтля, состоящую в том, что неизвестные величины ~ ~, ~ выражаются через потоки от средних значений Uk,, P, ci :

U Uk =-D, | xk | ~ | Uk =-D, | xk | ~ V ci Ukci =-D, | xk | ~ ~ L O | I 1 Uk Ui 2 d ln UkUi = V ki - 2D + + ki MF P | J 3 xi xk 3 dt K MG P | NH Q W (4.13) V Здесь k –символ Кронекера, 2 – некоторая постоянная, – i кинетическая энергия турбулентности, определяемая как V Et UkUk = = (4.14) 2 D = lV (4.15) Кроме этого, l имеет смысл среднего расстояния, на которое способны перемещаться турбулентные образования, сохраняя свою индивидуальность. Масштаб связывают с шириной L – характеризующей ширину области турбулентного перемешивания с помощью эмпирической постоянной. Представление неизвестного члена UkUi базируется на концепции скалярной вихревой вязкости.

В уравнении баланса (4.12) нет члена диффузионного типа. Он необходим для описания затухания турбулентности при выключенных источниках. Его вводят как бы за счет отброшенных третьих корреляций, формально полагая:

V UiUiUk =- D, xk xk xk где еще одна постоянная.

Для правильного описания затухания турбулентности также важен еще один член, который вводится следующим образом:

P V Uk = v, xk l где v очередная постоянная, определяемая как и все выше введенные постоянные,,2 из экспериментов.

Итак, уравнение баланса (4.12) с учетом введенных предположений примет вид:

% % % Uk Ui Uk 2 d ln dV D P =- +2D + - + 2dt xk xk xi xki xi 3 dt 1 d V V + V - v + D 3 dt l xk xk d ~ Здесь = + Uk.

dt t xk Выпишем окончательный вид всех уравнения для одномерного случая.

Значки осреднения опустим, так же как и индекс у переменной x.

d U =-, (4.16) dt x dci ci = D, (4.17) dt x x dU 1 14 U F I =- G J P + V + 2 D, (4.18) H K dt x 3 3 x x F I P + G J d P d H K D P vV F I - = D - G J +, (4.19) H K dt 2 dt x x 2 x x l d V L O c h 4 d ln vV V 5 d ln F I = D g + G J - + D + V M P H K 2dt x 3 dt x x 6 dt M P N Q. (4.20) Получили четыре уравнения для четырех неизвестных функций, U, T, V, c1, c2. Энергия и давление определяются уравнениями состояния. Для смеси будем вычислять P и по формулам:

P = Pi,T ;

b g c i = i,T b g c i Коэффициент турбулентной диффузии D определен формулой (4.15). В уравнения вошли постоянные, 2, v,, которые определяются ниже.

Уравнение баланса (4.20) может быть уточнено, если привлечь исследования § 3 по определению условий неустойчивости и произвести замену в источниковом члене турбулентности – квадратной скобки уравнения (4.20) g g g +.

x x c Эта замена сделана согласно формуле (3.9).

§5. Свойства lv – модели турбулентного перемешивания. Модель Беленького–Фрадкина В §4 получены уравнения модели турбулентного перемешивания (4.16)–(4.20). Они содержат четыре параметра, которые определяются из эксперимента. Для оптимального выбора этих параметров нужно знать свойства модели и ее поведение в различных предельных случаях. Изучение свойств модели ведется в последующих параграфах.

В настоящем параграфе свойства модели изучены для несжимаемых сред. В этом случае удается получить ряд автомодельных решений, установить их структуру и зависимость решений от числа Атвуда.

Рассмотрено решение в приближении Беленького–Фрадкина, справедливом при малых числах Атвуда. Построено решение для произвольных чисел Атвуда. Установлена нефизичность модели при числе Атвуда, стремящемся к 1. Для устранения этого недостатка модели следует перейти от полной ширины L к эффективной L*.

1 Автомодельные уравнения Ряд важных свойств полученной модели турбулентного перемешивания можно установить, если ограничиться перемешиванием двух несжимаемых жидкостей при заданном законе ускорения.

В этом случае массовые концентрации ci с плотностью смеси связаны соотношениями 1 c - h c1 + c2 = 1, c2 =.(5.1) 1 - c h 0 Здесь 1 и 1 – начальные плотности тяжелой и легкой жидкостей.

Из уравнений (4.16) и (4.17) с учетом (5.1) следует явное выражение для скорости U :

ln l U =-D. (5.2) x Действительно, перейдем в уравнении (4.17) от c2 к, используя (5.1) dc2 0 1 c2 = = -.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.