WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

Здесь учтены оба процесса: диффузии и переноса. Переносной член играет основную роль в определении решения. Это уравнение при некоторых ограничениях сводится к известному обобщенному уравнению Бюргерса [13], свойства решений которого хорошо изучены. Переносной член с коэффициентом s является главным в определении интенсивности турбулентного перемешивания, диффузионный член становится добавкой, размывающей основное решение. Причем в нашем случае это размытие происходит на фронтах перемешивания.

Поэтому наиболее естественный способ учета сепарации раздельный.

На неустойчивой стадии g > 0 следует применять только x диффузионную модель = 0, на устойчивой g < 0 – только (s ) x сепарационную D = 0. Как осуществлять переход с одних уравнений на ( ) другие Для этого нужно привлечь уравнение баланса кинетической энергии турбулентности (5.5). Отметим, что теперь генерационный член Dg следует учитывать при любом знаке.

x Переход к сепарационной модели D = 0, s 0 увяжем со () значением турбулентной скорости. После смены неустойчивой стадии на устойчивую скорость V начнет падать, стремясь к нулю. Сепарация, как показывают эксперименты, наступает не сразу после смены знака ускорения, а через некоторый промежуток времени. Этот промежуток определяется из уравнения (5.5), когда скорость на устойчивой стадии обратится в нуль. Конечно, обращение турбулентной скорости в нуль скорее всего является недостатком модели. Поэтому в п.6 рассматривается случай, когда эта скорость принимает некоторое постоянное значение.

Точные количественные соотношения будут получены после осреднения уравнения (5.5).

Осредненное уравнение для V и уравнение для ширины удобно записать в следующем виде: (7.12) и (7.13) 2 1, dV V ( ) (10.17) + 4k = gA dL L dL, (10.18) = 81mV dt где m =.

Полученная система уравнений (10.17), (10.18) интегрируется при любом законе ускорения g. Рассмотрим ступенчатое ускорение согласно (10.5). Для простоты будем полагать в начальный момент нулевые начальные данные V 0 = 0, L 0 = 0. (10.19) ( ) ( ) Тогда из (10.17) и (10.18) следует решение I этапа. Мы продолжаем его во второй этап до тех пор, пока скорость V не обратится в нуль. Этим самым определится переходное время tc, при котором происходит смена моделей.

Решение уравнений (10.17) и (10.18) при условии (10.19) и (10.5) есть 1 g0AL ( ), 0 t t0, 21 1+ 4k ( ) V = 1+4k 1 g1AL ( ) L V + 1-, t0 t tc, 21 1+ 4k L ( ) 2 8m1 1 g0At( ), 0 t t0, L = 1+ 4k L0 L Lc, t0 t tc.

Зависимость ширины от времени на интервале t0 t tc определится после интегрирования уравнения (10.18). Значение ширины Lc вычисляется как решение уравнения 4k Lc L0 g-= -. (10.20) L0 Lc g При значении ширины L2 скорость V обращается в нуль:

V Lc = 0, (10.21) ( ) поэтому согласно (10.18) при t = tc ширина достигает своего максимального значения.

Lc tc Заметим, что экспериментально измеренные отношения и дают L0 tвозможность дополнительного контроля правильности выбора степени 4k, которая на I этапе при A = 0 есть 5.

Время tc получается интегрированием (10.18):

Lc 1 tc = t0 + dL.

81m L0 V Подынтегральную функцию на интервале L0 L Lc можно приближенно заменить следующей:

21 1+ 4k - L1 ( ) Lc -.

V 1 g1AL0 L - L( ) Тогда интеграл легко берется, и для tc имеем 2 1+ 4k 1 ( ) tc = t0 + - Lc ( - L0.

) 4m 1 g1AL( ) Время tc служит для переключения на сепарационное уравнение -2g1L =- s 1 + 2 - 2. (10.22) () t 1 x ( - 2 1 + )() Начальными данными для этого уравнения будет распределение плотности из (7.4) на момент t = tc :

1 + 2 1 - 2 2x x,tc =+.

( ) Lc Уравнение для ширины определится из характеристического уравнения d L =- s -2g1A 1 (10.23) ( ) dt при условии t = tc, L = Lc.

Очевидно, что на втором этапе при t tc ширина после интегрирования (10.23) примет вид L = Lc - s -2g1A 1 t - tc. (10.24) ( )( ) Последнее уравнение дает выражение для следующей критической точки, когда L = 0 :

Lc tcc = tc +.

s -2g1A ( ) В нашем случае при t = t1, если ускорение снова меняет знак, наступит неустойчивая стадия, на которой будут действовать уравнения диффузионной модели (10.17) и (10.18) при условии, что V t1 = 0; L1 = L t1 = Lc - s -2g1A 1 t1 - tc, ( ) ( ) ( )( ) где ширина L1 заведомо не равна нулю.

Решением на этом этапе будет 1 g2A 1 + 2 1 - 2 2x ( ) =+ ( ) L, L = L1 + 41 1+ 4k t - t.

6. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения (10.16) Построенная теория п.5 базируется на переключении диффузионной модели на сепарационную, причем момент переключения определяется по обращению в нуль кинетической энергии области турбулентного перемешивания. В таком приближении полная сепарация наступит через конечный промежуток времени.

Однако от этого, видимо, неестественного свойства можно легко избавиться, если в рамках рассматриваемых моделей предположить, что переключение определяется по некоторому ненулевому значению кинетической энергии области турбулентного перемешивания. Для этого следует определить это значение, например, как часть N от кинетической энергии в момент переключения ускорения:

Vc2 = NV02, N 1, и это значение может быть подсказано экспериментом.

Если дальнейшее поведение кинетической энергии области турбулентного перемешивания предположить известным и постоянным, то естественно на сепарационном этапе, в отличие от проведенного выше рассмотрения, учесть диффузионный член (уравнение (10.16)), где D = 0LVc, т. е. турбулентная скорость на всем интервале сепарации полагается постоянной.

Такая постановка приводит к тому, что на сепарационном этапе полного разделения смеси не происходит, а при t устанавливается некоторый асимптотический профиль плотности, определяемый уравнением s -2g1L = ( - - 2.

)() x sLVc 1 - 2 1 + ()() При этом эффективная ширина L установившегося профиля будет связана с параметрами задачи следующим образом:

20 1 N ( ) () gL = L0.

31s gОчевидно, при N = 0 получается рассмотренное в п.5 решение.

Выбор параметра N остается свободным. На этапе сепарации уравнение для кинетической энергии турбулентности нуждается в уточнении.

Заключение Проведен анализ модели турбулентного перемешивания Янгса, основанной на использовании системы уравнений многокомпонентной многоскоростной жидкости.

Показано, что в случае несжимаемых жидкостей уравнения модели могут быть сведены к квазилинейному уравнению переноса, свойства которого хорошо изучены. Проанализирована несимметрия перемешивания и установлено, что при больших числах Атвуда она существенно отличается от экспериментальной. Сделано предложение по совершенствованию модели.

Изучена сепарация в условиях применения диффузионных k и k моделей. Задача сведена к известному уравнению Бюргерса. Показано, что сепарационную добавку следует учитывать только на устойчивом этапе действия ускорения, причем не сразу, а с некоторой затяжкой, определяемой из решения уравнения для кинетической энергии турбулентности.

Проанализированы опыты с сепарацией Янгса и Кучеренко–Пылаева.

В результате анализа определена постоянная сепарации s :

d h=- s A, s = 0.& d 2 s - sc - 2sc t - tc ( ) ( ) (10.25) На основании построенных точных решений возникают следующие вопросы и предложения:

1) Справедлива ли зависимость (10.25) для произвольного числа Атвуда Здесь постоянная s вычислена при значении A = 0.5.

2) Какое решение установится на устойчивом этапе при достаточно большом времени Для этого в опытах Кучеренко–Пылаева следует продолжить интервал действия устойчивого этапа по сравнению с неустойчивым более чем в 2 раза.

3) Проверить вывод теории об автомодельном характере плотности: в безразмерных переменных он остается одним и тем же на всех этапах. В зависимости от знака ускорения профиль плотности самоподобно «расширяется» либо «сужается».

ПРИЛОЖЕНИЕ Рекомендации для самостоятельного изучения:

1. Условия на ударной волне и контактном разрыве.

2. Уравнения газовой динамики в Эйлеровых координатах.

3. Одномерный случай: независимые переменные x и t.

4. Разрывные решения. Понятия об ударной волне и контактном разрыве.

Задача о поршне.

5. Литература: А.А. Самарский, Ю.П.Попов, Разрывные схемы газовой динамики. Глава 1.

6. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. Глава 2. § 4.

Условия на ударной волне Уравнения:

+ U = 0 - закон сохранения массы, ( ) t x u P + U + = 0 - закон сохранения импульса, ( ) t x x s s + u = 0, или t x UU P - = 0 - закон сохранения энергии.

+ + 2 + t (П.1.1) Здесь – плотность, U– скорость, Р – давление, – внутренняя энергия, =,T ; P = P,T – уравнения состояния для идеального газа.

( ) ( ) cp P = cp - cv T; = cvT; = ;

( ) cv cp и cv – постоянные. s –энтропия s = s,T. Для идеального газа ( ) R P S = ln ; R = cp - cv.(П.1.2) -В (П.1.2) опущена произвольная постоянная, с точностью до которой определяется энтропия каждой частицы газа.

Ударная волна – разрыв, перемещающийся со скоростью D по массе вещества. Все величинына фронте УВтерпят разрыв.

Условия на разрыве – условия Гюгонио:

1) условие сохранения массы:

1 U1 - D = 0 U0 - D ( ) ( ) 2) условие сохранения импульса:

1 U1 - D + P1 = 0 U0 - D + P( ) ( ) 3) условие сохранения энергии:

U1 U) P0 ( - D ) P1 ( - D 1 U1 - D 1 + + = 0 U( ) ( - D 0 + + ) 1 2 0 ПРИЛОЖЕНИЕ Вывод дисперсионного уравнения (3.6) В § 3 после подстановки (3.5) в (3.6) получена система шести уравнений относительно шести неизвестных функций UI x1, i = 123, x1, P x1, s x1 :

,, b g b g b g b g F I i + ik3U3 + ik2U2 + U1 = 0,(П.2.1) H K x 1 P iU1 =- - g0,(П.2.2) xP iU2 =-ik2,(П.2.3) P iU3 =-ik3,(П.2.4) s is =-U1,(П.2.5) x F I =+ s + P.(П.2.6) G J H K s P Ps С учетом введенных ранее обозначений 1 P 1 ln g0 =- ; c0 = ; a0 = ;

x1 xP s 0 =-g0 g0 + c0a0.

c h из (П.2.5) и (П.2.6) следует:

1 0 P = U1 +.(П.2.7) 2 i g0c0 cПри выводе (П.2.7) использовано равенство s P =+ x1 s x1 P xPs или s g0 = a0 + = -.

2 s x1 c0 g0cP Из (П.2.1), (П.2.3), (П.2.4) следует:

P F I i - ik12 + U1 = 0 (П.2.8) H K xВ (П.2.8) подставим из (П.2.7) и получим F 1 k12 I F I - iP + U1 + U1 = 0.(П.2.9) G J H K c2 cH K x1 g0cПоследнее уравнение преобразуется в (П.2.10):

F 1 k12 I U1 g- iP + - U1 = 0 (П.2.10) G J c2 H K x1 cУравнение (П.2.10) продифференцируем по x1 и получим (П.2.11):

F I F 1 k12 P g0 UI F I - i = U1 -. (П.2.11) G J G J H K G J c2 2 x c0 xH K x1 xH K Подставим из (П.2.7) в (П.2.2) и получим:

F I 0 P gi + U1 =- - P (П.2.12) G J 2 H ic0 K x1 cP Наконец, находим из (П.2.10) и (П.2.11) P и и подставляем в x(П.2.12). Темсамымполучаемуравнение (3.6).

ПРИЛОЖЕНИЕ Покажем, что искомое решение должно выходить из точки (6.4) и входить в точку (6.5). Для этого нужно установить, что y1 = y 1 = 1.

b g Рассмотрим все допустимые значения y1: y1 = 0; y1 = ; y1 > 0 и конечно.

4) y1 = 0. Система уравнений (6.2)–(6.3) в окрестности точки 1,0,b g примет вид 3 1 y F I = 1 - y2, y =-.

G J H K 2 3 Можно показать, что среди решений, выходящих из точки 1,0,0 нет b g искомого, удовлетворяющего очевидным условиям > 0, y > 0.

Действительно, разделив одно уравнение на другое, получим d 3y2 - =.

dy y Видно, что среди кривых, лежащих в квадранте > 0, y > 0, нет решения, проходящего через начало координат.

5) y1 =. В этом случае уравнения (6.2)–(6.3) эквивалентны урезанной системе 2 1 U F I F I 1 + y2 + 1- y2 y2 = G J G J | H K H K 3 | (П.3.1) V I 2 F 2 y F I | -G J 1 + = y2 + G J H K 3 H y K | W Безразмерная комбинация y2 в точке = 1 равна нулю.

Действительно, если вернуться к исходным величинам, то y2 D, x т.е. выражение y2 есть поток смеси и поэтому на фронте перемешивания равно нулю.

Система (П.3.1) после сделанного замечания заметно упрощается:

2 3 y =- y2, y =.

3 Поделив одно уравнение на другое и проинтегрировав, получим:

dy y -=-, y = c.

d 6) y1 > 0. y1 – постоянная. Урезанная система примет вид F I 2 2 2 y F I 2 1 +, y1 + =- y1, -G J = 1 G J H K 3 3 H y1 K откуда неминуемо следует, что 2 y1 = 1, 1 =- 1.

b g 3 Аналогично исследуется другая точка и показывает, что 2 y2 = 2, 2 =- 2.

b g 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4.

Усреднение уравнения (9.7) по области -Lm x L0.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.7) в указанных пределах. Предварительно оценим ряд интегралов:

L0 L2 a) V dx = V m, где m = x.

z z - Lm - Lm Lm При больших временах >> 1:

L F 1 - 0 LF IJ m 0 + Lm 1 Lm, G JI G H K H 2 2 K Lg 1 - 0 Lc h в) g dx = 1- e- ;

c h z x - Lm L0 V c) dx 0 ;

z x x - Lm 2 L0 1 c - h ln V F I d ) V dx ;

G J z H K x 1 - Lm L Lee) dx 1 - 0 0.

c h z - Lm Пренебрегая членами более высокого порядка малости, получим уравнение:

Vm g 1 - 0 L0 1- ec h c h c h vV m + =.

2 2Lm Если в это уравнение подставить вместо массы m ее значение 1 Lm, а вместо ширины Lm 2m, то получим уравнение (9.8).

Приложение Исследование поведения интегральных кривых системы уравнений (8.8) в окрестности точки L = k = t = 0.

В уравнении (8.8) перейдем от L к. Получим:

dk k t2 P- P0 + = ;

d cµk ;(П.5.1) d t c 2t3 c1P1 t - P2 + =.

d cµk3 k а) Пусть в окрестности нуля t2 k P< P0 +.

cµk Тогда систему уравнений (П.5.1) можно заменить следующей dk k P= P0 + d.

dt t t P= P2 + c k Полученные уравнения имеют семейство интегральных кривых, выходящее из нуля.

2P k = 1- 2P0 ;(П.5.2) c 1 0.5-P0 +P( ) t = const б) пусть в окрестности нуля t2 k P> P0 +.

2 cµk Тогда от (П.5.1) перейдем к урезанной системе уравнений.

dk t=- ;

d cµk dt c 2 t=-.

d cµ k Решения полученной системы уравнений приводят к отрицательным значениям k, поэтому не рассматриваются.

в) Наконец, остается случай, когда имеет место равенство, т.е.

t2 k = c0P0, cµkгде c0 – постоянная. Найдем ее. Из первого уравнения системы (П.5.1) следует kk k P=-c0P0 + P0 +.

Решением, выходящим из нуля, будет 2Pk =.

1- 2P0 1- c( ) Из второго уравнения системы (П.5.1) получаем выражение для c0.25 - P2 + c1 P0 - 0.() c0 =.

P0 c1 - c () Таким образом, в случае «в» получается единственное нетривиальное решение, имеющее вид P1 c 2 - c() k = c 2 0/5 - P0 - 0.25 + P() 0.25 - P2 + c1 P0 - 0.2 () t2 = cµ c 2 - c1 P() 0.25 - P2 + c 2 P0 - 0.() (П.5.3) К этому следует добавить, что помимо решения (П.5.3), будет также существовать бесчисленное множество решений, имеющих разложение (П.5.2).Естественно, возникает вопрос о выборе нужного решения.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.