WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

Здесь S n = S n - Sn-1, 2 S n = S n - Sn-1.

Каждый класс эквивалентности ai * (полный подграф) можно для краткости называть «кольцом» зависимости порядка К, если он состоит из К элементов (вершин).

Среди состояний П-системы имеются такие, которые описываются одинаковым числом колец, но разного порядка. Назовем появление таких состояний вырождением.

Справедливо следующее утверждение 1.

Утверждение 1. П-система мощности п имеет ровно п состояний, отличающихся друг от друга числом колец зависимости. Все остальные состояния возникают за счет вырождения.

Доказательство.

Рассмотрим П-систему мощности п. Пусть структура взаимоотношений этой системы описывается нуль-графом. Очевидно, такое состояние содержит п колец зависимости порядка 1 каждое.

Пусть теперь какие-либо два элемента образовали кольцо зависимости порядка 2, а все остальные элементы П-системы образовывают кольца зависимости порядка 1. Это состояние описывается уже п - 1 числом колец зависимости.

Пусть теперь какие-либо три элемента образовали кольцо зависимости порядка 3, а все остальные элементы образовывают кольца зависимости порядка 1. Общее число колец этого состояния равно п - 2. Продолжая аналогичным образом, получим состояния, содержащие п - 3, п - 4,... 3, 2, (n) кольцо зависимости. Назовем эти состояния опорными и обозначим C, C(n-1),…,C(2), C(1). Опорные состояния различны по построению.

Поскольку состояние П-системы не может содержать число колец зависимости, большее чем число элементов П-системы, то любое из оставшихся S n - n состояний (назовем их вырожденными) будет содержать число колец зависимости, равное числу колец одного из вышеперечисленных опорных состояний.

Отсюда непосредственно следует, что общее число вырожденных состояний равно R n = S n - п. Утверждение 1 доказано.

Таким образом, число R n = S n - п, зависящее от мощности П-системы, является ее количественной характеристикой. Назовем это число числом расщепления. Из утверждения 1 следует, что R n 0.

Поясним смысл этого числа.

Оно показывает, сколько у П-системы имеется состояний (без учета опорных), содержащих одинаковое с опорными состояниями число колец зависимости.

В терминах теории графов то же самое можно определить следующим образом: число R n показывает, сколько у П-системы может быть неопорных состояний, описываемых графами, которые можно представить объединениями одинакового (с опорными состояниями) числа полных подграфов.

Ниже приведены значения числа расщепления для П-системы мощности п = 1,2, …7, 8:

п 1 2 3 4 5 6 7 R n 0 0 0 1 2 5 8 Наличие связей (понимаемых в каком-либо смысле) между элементами является необходимым, но недостаточным условием образования П-системы.

В этом проявляется свойство целостности П-системы. Поясним сказанное графически (на примере П-системы мощности n=4).

а) 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 б) в) Рис. 1. Изображение в виде графов состояний П-системы мощности n = Рядом с графами представлены соответствующие матрицы инциденций;

а - состояния, представимые объединением полных подграфов; б, в - состояния, запрещенные принципом транзитивности бинарной зависимости.

У этой П-системы, как и у всякой П-системы, существует строго определенное число состояний, что отмечалось выше. На рис. 1 они представлены пятью графами. Связи (зависимости) между элементами- вершинами - изображены ребрами графа. Рядом с соответствующим графом представлены матрицы инциденций, структура которых и позволяет (k ) различать состояния этой П-системы ( S - ее состояние, k = 1,2,…,5 ).

Рассмотрим теперь ситуацию, изображенную на рис. 1,б Она характеризуется наличием четырех элементов и связей между ними. Однако эта ситуация, хотя и представлена неориентированным графом кратности 1, не соответствует состоянию П-системы.

В самом деле, согласно принципу «кольцевой» зависимости (условие транзитивности), существование установленной связи между элементами № 1 и № 2 (см. рисунок), а также между элементами № 2 и № 3, обеспечивает ее существование между элементами № 1 и № 3 и далее № 3 и № 4.

n Это обстоятельство резко сокращает число состояний, равное 2, которое возможно в общем случае (принцип необходимого разнообразия).

Заметим, что с ростом п увеличивается доля вырожденных состояний в их общем числе S n. Так, для n = 8 эта доля равна уже 0,636.

Впервые вырождение наступает как раз у П-системы мощности п = 4. В самом деле, R = S - 4 = 5 – 4 = 1. Это означает, что у одного из опорных 4 состояний имеется «двойник» в том смысле, что он представим объединением подграфов, содержащих такое же число колец зависимости.

Действительно, как видно из рис.1 а), состояния S(2) и S(3) представимы объединением подграфов, содержащих по два кольца зависимости, но разного порядка.

Таким образом, каждая П-система характеризуется мощностью n, а также числами S n и R n.

Для числа состояний S n П-системы не выполняется свойство аддитивности, т. е.

S n1 + n2 > S n1+ S n2.

Здесь S n1 + n2 - число состояний П-системы мощности п + п. Это следует и 1 из наших данных, и из таблицы, приведенной в книге Эндрюса [6], что говорит о том, что П-системы являются суперсистемами.

2.3 Информационные показатели синтеза П-систем Элементы, образующие П-систему, могут иметь как стохастическую, так и не стохастическую природу. При этом если удовлетворение отношения R условиям рефлексивности и симметричности зависит исключительно от природы элементов, то для удовлетворения транзитивности требуется выполнение некоторых условий. Эти условия удобно сформулировать в виде ограничений, накладываемых на информационные показатели П-систем.

Пусть ai,a,ak - элементы стохастической природы, i j; i,j,k= 1,2,…п.

j В качестве R для таких элементов естественно выбрать стохастическую взаимозависимость, выражаемую в терминах теории информации через условную и безусловную энтропию [3]. Очевидно, она удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности.

Но для удовлетворения транзитивности достаточно выполнения следующего условия:

Н ( ai, a ) Н ( ai / ak ) + Н ( aj / ak ), (2.1) j где Н ( ai / ak ), Н ( aj / ak ) - средние условные энтропии элементов ai и a ; Н j ( ai, a ) - их совместная энтропия. Именно его выполнение приводит к тому, j что для любых ai, ak,a A из взаимозависимостей (рефлексивность и j симметричность) ai и ak, а также ak и a, следует взаимозависимость ai и a.

j j Другими словами, П-система возникает, если при рассмотрении любых трех элементов такой системы информация об одном из них не настолько уменьшает сумму условных энтропий двух других, чтобы она стала меньше их совместной энтропии.

Условие (1.1) следует рассматривать как условие синтеза П-системы из стохастических элементов, для бинарных отношений между которыми выполняются аксиомы симметричности и рефлексивности.

Заметим, что совокупности элементов, которые могут вступать между собой в бинарные отношения только функциональной, или детерминированной, взаимозависимости, являются только П-системами, поскольку для них соотношение (2.1) выполняется всегда.

Покажем достаточность ограничения (2.1) для выполнения требования транзитивности зависимости между стохастическими элементами.

Доказательство Допустим, что ak взаимозависима в каком-либо смысле с ai и a, по j отдельности. Тогда справедливы следующие соотношения [3]:

Н ( ai / ak ) < Н ( ai ) и Н ( a / ak ) < Н ( a ), j j где через H (.) обозначены энтропии от аргумента (.).

Сложим левые и правые части этих неравенств.

Имеем Н ( ai / ak ) + Н ( a / ak ) < Н ( ai )+ Н ( a ).

j j Допустим, что соотношение (1.1) выполнено. Тогда, очевидно, имеем Н ( ai, a ) Н( ai / ak ) + Н ( aj / ak ) < Н ( ai ) +Н ( a ), т. е. Н ( ai, a ) < Н ( ai ) +Н j j j ( a ), что означает, что элементы ai и ai взаимозависимы. Таким образом, j достаточность доказана.

Но тогда величина K= Н( ai / ak ) + Н ( aj / ak ) - Н ( ai, a ) может служить j информационным показателем синтеза П-системы.

В самом деле, если K 0, то П-система возникает, и если K<0, то не возникает; i k j; i, k, j = 1,2… п.

Выясним на конкретном примере, какой содержательный смысл можно вложить в условие (1.1).

Приведем пример совокупности стохастических элементов, не являющейся П-системой, и убедимся, что соотношение (2.1) для нее не выполняется, т. е. K< 0.

Пример Рассмотрим опыт, в результате которого могут возникать следующие три случайных события: А - выпадение двух очков при бросании экспериментатором правильной игральной кости левой рукой; А - выпадение двух очков при бросании другой правильной игральной кости правой рукой; А - выпадение хотя бы на одной кости двух очков. Бросания производятся одновременно.

Очевидно, случайные события А1и А3, а также А и А3 зависимы, в то время как случайные события А1 и А независимы ( A1 A, A A ).

2 3 2 Свяжем с этим опытом дискретные случайные величины X, Y, Z со следующими законами распределения:

Х X =1 x =(если наступило событие не А1) (если наступило событие А1) Р 1/6 5/Y Y1= 1 y = (если наступило событие А ) (если наступило событие не А ) 2 Р 1/6 5/Z z1 == 1 z == (если наступило событие Аз) (если не наступило событие Аз) Р 11/36 25/В самом деле, P ( z = 1 ) = P ( А1+ А ) = P ( А1) + P ( А ) – P ( А1)P ( 1 2 А ) = 1/6 + 1/6 – 1/6 1/6 = 11/36.

Ясно, что совокупность этих случайных величин не образует Псистему, так как Х и Z, а также У и Z взаимозависимы, а Х и Y независимы по построению.

Покажем, что H (X,Y) > H(X/Z) + H(Y/Z), т. е К < 0.

В самом деле, 2 Н (X, Y) = - p(xi, y )ln p(xi, y ) = j j j=1 i== - 1/36 ln(1/36) – 5/6 1/6 ln (5/36) – 1/6 5/6 ln (5/36) – 5/6 5/6 ln( 25/36) = 0.910.

2 Н (X/ Z) = - p(xi, z ) ln p(xi / z )= j j j=1 i== - 1/6 ln ( 6/11) - 5/6 1/6 ln (5/11) - 0 - 5/6 5/6 ln 1 = 0.206.

В силу симметрии задачи H(X/Z)=H(Y/Z).

Тогда H(X,Y) = 0.910; H(X/Z) + H(Y/Z) = 0.412.

Полученные результаты противоречат условию синтеза П-системы, поскольку K = - 0.412.

Вернемся к исходной задаче.

Исследуется закон распределения момента «смерти» (потери спроса) одного из товаров этой группы (не важно какого), первый для всей группы.

Например, можно говорить о группе трикотажных товаров, (производимой некоторой фирмой), состоящих из четырех наименований.

Пусть это носки ( Н ), колготки ( К ), гольфы ( Г ), чулки ( Ч ). В случае «смерти» любого из членов товарной группы производитель должен принять решение об изменении ассортимента.

Пусть теперь случайные величины X, Y, Z и W характеризуют «возраст» (например, этап ЖЦ) каждого из перечисленных товаров, т.е. X – «возраст» носков, Y – колготок и т.д. Данная совокупность образует однородную группу попарно взаимосвязанных между собой товаров.

Пусть f (X,Y,Z,W) – плотность распределения вероятностей этих случайных величин. Найти эту функцию, как уже отмечалось, не представляется возможным.

Однако производителю важно знать закон распределения другой случайной величины – момента “смерти” (снятия с производства) одного из членов этой группы, первого для нее.

Обозначим его T (min {X,Y,Z,W } ). Зная закон распределения этой случайной величины, можно рассчитать длину жизненного цикла всей группы товаров.

Поскольку X, Y, Z, W -- непрерывные случайные величины, то условие (1.1) в явном виде выписывается следующим образом:

H (X, X ) = - f13 (х1, x3 ) ln f13 (x1, x3 )dx1dx0 H(X / X ) = - f12 (х1, x2 )ln f12 (x1 / x2 )dx1dx2 - 0 -H(X /X ) = - f32 (х3, x2 ) ln f32 (x3 / x2 )dx3dx2 (2.2) 3 0 Мы использовали обозначения X, X, X для любых трех элементов 1 2 множества {X, Y, Z, W}.

В маркетинговых исследованиях Х, Х, Х характеризуются 1 2 следующими дифференциальными функциями:

- законом распределения Эрланга n-1 -1 N f ( x ) = x [( N – 1 )!] exp ( - x ), где N, - параметры, - логнормальным распределением 1 / f ( x ) = 1/ ( ln (x )) ( 2 ) exp ( - ( ln x – a( ln x ) / ( ln x )), где a ( ln (x ) и ( ln x ) - параметры распределения, - распределением со следующей плотностью f (x ) = 1/ek i exp(-i xi ) /1+ i xi, i >0, x 0, (2.3) i i i k = xi-1 exp(-xi )dxi, i = 1,2,3 (2.4) Нетрудно проверить, что f (xi )dxi = 1 и fij (xi, x )dx = f (xi ), j j i 0 где f ( x, x ) = 1/ek exp ( - x - x - x x ) (2.5) ij i i j i i j j i j i j j Назовем это распределение (1.5) обобщенным экспоненциальным распределением.

Из этих соотношений следует, что f (x, x ) f (x ) f (x ), i j. (2.6) ij i j i i j j Для логнормального и обобщенного экспоненциального распределения условие (1.6) выполняется, а для распределения Эрланга не выполняется.

Отсюда вытекает важный результат теории систем бинарного типа с отношением эквивалентности (П-систем): срок жизни каждого элемента как члена однородной группы, рассматриваемый как случайная величина, должен подчиняться обобщенному экспоненциальному (однопараметрическому) или логнормальному (двухпараметрическому) распределению.

Срок жизни, возможно, может подчиняться еще какому-либо распределению, но выяснение этого - задача отдельных исследований.

Итак, рассматривается однородная группа товаров – группа из четырех наименований: носков (Н, будем обозначать также индексом 1), колготок (К, индексом 2), гольфов (Г, индексом 3) и чулок (Ч, индексом 4).

Поскольку элементы рассматриваемой группы товаров в силу однородности взаимозависят друг от друга, то эта группа товаров – Псистема, состояние которой инвариантно относительно времени и описывается одним полным графом.

Следовательно, для этой системы и ее элементов (носков, колготок, гольфов и чулок), рассматриваемой как множество мощности 4, должно выполняться транзитивное замыкание для элементов любого его подмножества, состоящего из трех элементов.

Имеем следующие четыре подмножества этого множества:

- Н – Г - Ч ( подмножество НГЧ ) - К – Г – Ч (подмножество КГЧ ) - Н – К – Ч (подмножество НКЧ) - Н – Г - К (подмножество НГК) Рассмотрим любое из этих подмножеств.

Оно будет П-системой, если выполняется транзитивное замыкание бинарных отношений между его элементами.

Следовательно, для того, чтобы однородная группа товаров, рассматриваемая как множество, была П-системой необходимо и достаточно одновременное выполнение транзитивного замыкания для всех элементов каждого из множеств НГК, НКЧ, КГЧ и НГЧ.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.