WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

[] k= Преобразуем уравнения системы (3), для чего выведем предварительно некоторые формулы.

p p I. Определим сначала значения сумм cos mxk и sin mxk. Для этого l l k=1 k=умножим вторую сумму на i и сложим с первой суммой. Будем иметь p p p mxk p i2mk i p l = cos mxk + isin mxk = e = e l l k=1 k=1 k=1 k=i2m i2m2 i2mp i2m ei2m -p p p p = e + e+ K + e= e.

i2m p e -i2m p У нас m = 1, 2, K, n ; 2n < p, а потому и 2m < p. Следовательно, e 1.

Так как ei2m = 1, то p p cos mxk + isin mxk = 0 (4) l l k=1 k=p p (5) cos mxk = 0; sin mxk = 0.

l l k=1 k=II. Определим теперь значения нижеследующих сумм:

p p p cos mxk cos qxk ; sin mxk sin qxk ; cos mxk sin qxk, l l l l l l k=1 k=1 k=где m = 1, 2,K, n ; q = 1, 2,K, n. Имеем:

p p p cos mxk cos qxk = 1cos (m + q)xk + 1cos (m - q)xk, l l 2 l 2 l k=1 k=1 k=p p p sin mxk sin qxk = 1cos (m - q)xk - 1cos (m + q)xk.

l l 2 l 2 l k=1 k=1 k=На основании (5) все суммы правых частей последних равенств при m q равны нулю, а при q = m получаем:

p p p = cos mxk cos mxk = cos mxk = 11+ cos 2mxk l l l 2 l k=1 k=1 k=p p p = + cos 2mxk = 2, 2 2 l k=14 = p p p = sin mxk sin mxk = sin mxk = 11- cos 2mxk p.

l l l 2 l k=1 k=1 k=Имеем далее:

p p p cos mxk sin qxk = 1sin (m + q)xk + 1sin (q - m)xk l l 2 l 2 l k=1 k=1 k=p на основании (5) cos mxk sin qxk = 0 как при q m, так и при q = m.

l l k=Перепишем систему (3) в виде:

p p yk = ), (xk k=1 k= p qxk p qxk yk cos = )cos, (6) (xk l l k=1 k= p qxk p qxk yk sin =)sin.

(xk l l k=k= Имеем:

p p n ~ mxk ~ mxk ~ 1) ) = cos + bm sin = (xk A + am l k k=1 k=1 m=p p n ~ ~ ~ ~ = A p + (7) amcos mxk + bmsin mxk = A p;

l l m=1 k= k=114243 4 4 4 = 0 = p n qxk p ~ mxk ~ mxk qxk ~ 2) )cos = cos + bm sin cos l = (xk A +am l l l k=1 k=1 m=p p p n ~ ~ ~ = A cos qxk + amcos mxk cos qxk + bmsin mxk cos qxk = l l l l l k = m=1 k =1 k == = p n p ~ ~ = (8) amcos mxk cos qxk = 2 aq, q = 1, 2, K, n ;

l l m=1 k=p n qxk p ~ mxk ~ mxk qxk ~ 3) )sin = cos + bm sin sin l = (xk A +am l l k k=1 k=1 m=p p p n ~ ~ ~ = A sin qxk + amcos mxk sin qxk + bmsin mxk sin qxk = l l l l l k = m=1 k = k == = p n ~ ~ p = (9) bmsin mxk sin qxk = 2 bq, q = 1, 2, K, n.

l l m=1 k=Поэтому будем иметь вместо (6) p ~ yk = A p, k= p qxk ~ p yk cos = aq, q = 1, 2,K, n, l k= p qxk ~ p yk sin = bq, q = 1, 2,K, n l k= p ~ A = yk, p k= p qxk ~ aq = yk cos, q = 1, 2, K, n, (10) p l k= p ~ qxk bq = yk sin, q = 1, 2, K, n.

p l k= qxk q 2l 2 Так как = k = q k, то, положив =, получим:

l l p p p p ~ A = y1 + y2 + y3 + K + yp =yk, () p p k =p 2 ~ a1 = y1 cos + y2 cos2 + K + yp cos p = yk cos k, () p p k =p ~ 2 b1 = y1sin + y2 sin 2 + K + yp sin p = yk sin k, () p p k =p 2 ~ a2 = y1 cos2 + y2 cos4 + K + yp cos2 p = yk cos2k, () p p k =p ~ 2 b2 = y1sin 2 + y2 sin 4 + K + yp sin 2 p = yk sin 2k, () p p k =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK p 2 ~ an = y1 cos n + y2 cos2n + K + yp cos pn = yk cos kn, () p p k =p ~ 2 bn = y1sin n + y2 sin 2n + K + yp sin pn = yk sin kn.

() p p k =Как обычно, синусоиду, определяемую суммой ~ mx mx mx+ m, ~ am cos + bm sin = rm sin l l l входящей в состав многочлена (x), называют гармоникой m-го порядка функции f (x), заданной эмпирически. Амплитуда rm и начальная фаза m этой гармоники определяются равенствами ~2 ~ ~ ~ rm = am + bm ; am = rm sin m; bm = rm cosm.

Замечание. Существует большое количество весьма разнообразных методов разложения функций, заданных эмпирически, на составляющие гармоники. В большинстве своем они служат непосредственной цели определения коэффици~ ~ ~ ентов A, am, bm. Найдя последние, уже затем определяют амплитуды и начальные фазы гармоник. Почти все эти методы допускают теоретически нахождение любого числа гармоник.

Литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Т. 2. – М.: Физматгиз, 1959.

2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.–Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

3. Аксёнов А.П. Математический анализ. Теория рядов. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

Оглавление ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ..................................................... §1. Тригонометрические ряды......................................................................... §2. Интеграл Дирихле....................................................................................... §3. Теорема Римана – Лебега........................................................................... §4. Проблема разложения функции в ряд Фурье........................................... §5. Ряды Фурье четных и нечетных функций................................................ §6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в «неполном» промежутке................................................................................................ §7. Сдвиг основного промежутка.................................................................... §8. Растяжение основного промежутка........................................................... §9. Интеграл Фурье........................................................................................... §10. Различные виды формулы Фурье............................................................ §11. Формулы Фурье для функции, заданной на промежутке [0, +)...... §12. Гармонический анализ непериодических функций............................... §13. Преобразование Фурье............................................................................. ГЛАВА 2. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ............................... §1. Метод средних арифметических (метод Чезаро)..................................... §2. Теоремы Вейерштрасса.............................................................................. §3. Средние квадратические приближения функций.................................... §4. Полнота тригонометрической системы.................................................... §5. Метод Абеля – Пуассона суммирования рядов....................................... §6. Применение метода Абеля – Пуассона к рядам Фурье........................... Дополнение 1. Применение метода Абеля – Пуассона в теории степенных и числовых рядов.................................................................................................. Дополнение 2. Гармонический анализ функций, заданных эмпирически.......... Литература.................................................................................................................

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.